Integrali
$int_0^4 (sqrtx/(sqrtx+1)dx$
ho sostituito $sqrtx=t$ e $dx=2tdt$
quindi
$int1-(2t)/(t+1)dt$
ho scomposto tutto l'argomento dell'integrale in somma di integrali, aggiungendo al numeratore $1,-1$
e a seguito dell'integrazione ho:
$t-2t-log(t+1)|_0^4$
ho sostituito e risulta $-2-log3$ e non $2log3$ come dice la soluzione. Why?
----------------------------------
$int_(1/e)^e 1/(x(logx)^2)dx$
conviene per parti?Integrando il log e derivando 1/x? Ho provato, e vien fuori:
$1/x(-1/logx)-(-1)$
Intanto puo' andare?
Grazie :3
ho sostituito $sqrtx=t$ e $dx=2tdt$
quindi
$int1-(2t)/(t+1)dt$
ho scomposto tutto l'argomento dell'integrale in somma di integrali, aggiungendo al numeratore $1,-1$
e a seguito dell'integrazione ho:
$t-2t-log(t+1)|_0^4$
ho sostituito e risulta $-2-log3$ e non $2log3$ come dice la soluzione. Why?
----------------------------------
$int_(1/e)^e 1/(x(logx)^2)dx$
conviene per parti?Integrando il log e derivando 1/x? Ho provato, e vien fuori:
$1/x(-1/logx)-(-1)$
Intanto puo' andare?
Grazie :3
Risposte
"axpgn":
Dire proprio di no,
E certo, mi sto accorgendo ora che il delta mica era negativo!
Quindi secondo te a delta negativo non ne dovrebbero capitare?
Io mi aspetto di tutto, dopo qst :
$ int_-2^2(|x|-1)dx$ ho provato a seguire il modo dell'altra volta, però non è proprio uguale e mi risulta zero. Può essere?
"Myriam92":
Quindi secondo te a delta negativo non ne dovrebbero capitare?
Mi chiedi troppo ...
Tra quelli da te riportati non me ricordo uno e poi c'è quell'appunto ... però, chi può dirlo?
"Myriam92":
Io mi aspetto di tutto, dopo qst : $ int_-2^2(|x|-1)dx $
È una funzione pari e l'intervallo di integrazione è simmetrico, secondo te, dopo quello che abbiamo detto, come dovrebbe essere?
"Myriam92":
Seno e coseno allora si annullano sempre indipendente dai valori agli estremi dell'integrale?
"axgpn":
NO.
In primo luogo perché $sin(x)$ è dispari e $cos(x)$ è pari ... secondariamente perché l'intervallo deve essere simmetrico ... quindi per ogni funzione dispari (come il seno) sarà $int_(-a)^a\ f(x)\ dx = 0$ mentre per ogni funzione pari (come il coseno) sarà $int_(-a)^a f(x) = 2 int_(0)^a f(x)$
A giudicare da qst tua risposta, in effetti quell integrale non dovrebbe potersi annullare.. e forse si può scrivere come $int_0^2 (x-1)$ ? E seguo la procedura che ti riporto sotto?
"axgpn":
La funzione che compare nel quinto ($f(x)=|x|/x$) si chiama "segno" proprio perché restituisce $1$ se $x$ è positivo e $-1$ se $x$ è negativo (in zero non è definita); il suo grafico consiste in due rette orizzontali: $y=1$ alla destra di zero e $y=-1$ alla sinistra; il calcolo delle aree è immediato perché sono dei rettangoli di altezza $1$.
Se lo calcoliamo analiticamente ricordando che $F_1=-x$ e $F_2=x$ abbiamo $F_1(0)=-(0)=0, F_1(-2)=-(-2)=2, F_2(1)=(1)=1, F_2(0)=(0)=0$ da cui $(0)-(2)=-2$ e $(1)-(0)=1$ e sommando i due integrali $-2+1=-1$
Ma a proposito in questo, nel fare la somma finale, il 2 non l'avevi preso positivo nel passaggio prima ?
"Myriam92":
.. e forse si può scrivere come $int_0^2 (x-1)$ ?
Giusto. O meglio $2*int_0^2 (x-1)\ \ dx$
"Myriam92":
... in effetti quell integrale non dovrebbe potersi annullare..
Non puoi dirlo a priori ... è sicuramente il doppio di "qualcosa" ma quel qualcosa può anche essere zero ...
"Myriam92":
... E seguo la procedura che ti riporto sotto? ...
Non ho inteso cosa vuoi dire ma quello è un integrale facile da risolvere $2*int_0^2 (x-1)\ \ dx=x^2-2x$ e sviluppando $(4-4)-(0-0)=0$ ...
"Myriam92":
Ma a proposito in questo, nel fare la somma finale, il 2 non l'avevi preso positivo nel passaggio prima ?
Non ti seguo ... mi sono perso ...
$ 2*int_0^2 (x-1)\ \ dx $
Qui ho capito che poiché la funzione è simmetrica, studiamo l'integrale solo a destra che è positivo ( visto che dalla parte opposta la situazione nn cambia)no?
Ma quel 2 che moltiplichi però è dovuto a questo motivo ? Perché un'altra funzione pari come $int_0^1(x^2-1)dx$ viene $-2/3$ ma qui credo perché è definito solo per valori positivi...
Tornando sempre a $ int_-2^2(|x|-1)dx $
Io intendevo quella che mi hai fatto vedere per.il primo, il mio primo tentativo di risoluzione era "ispirato " a quella
(Riporto la somma finale direttamente) $[0-2]+[2-0]=0$ va bene pure?
---------
$int_0^1log(2x+1)dx$ risulta $1/2log3-1$?
---------
$ int_-7^-3 2x/(x^2+6x-16) $ risulta $2log5-2/5log9$?
[ot]PS: dubbietto: $-log6=-(log3+log2)$ si può scrivere così un log negativo con argomento "scomponibile"?
E $-log(4/5)$ come.va scritto sottoforma di differenza?(sempre se ammesso)[/ot]
Grazie mille.
Qui ho capito che poiché la funzione è simmetrica, studiamo l'integrale solo a destra che è positivo ( visto che dalla parte opposta la situazione nn cambia)no?
Ma quel 2 che moltiplichi però è dovuto a questo motivo ? Perché un'altra funzione pari come $int_0^1(x^2-1)dx$ viene $-2/3$ ma qui credo perché è definito solo per valori positivi...
Tornando sempre a $ int_-2^2(|x|-1)dx $
"Myriam92":
... E seguo la procedura che ti riporto sotto? ...
Io intendevo quella che mi hai fatto vedere per.il primo, il mio primo tentativo di risoluzione era "ispirato " a quella
(Riporto la somma finale direttamente) $[0-2]+[2-0]=0$ va bene pure?
---------
$int_0^1log(2x+1)dx$ risulta $1/2log3-1$?
---------
$ int_-7^-3 2x/(x^2+6x-16) $ risulta $2log5-2/5log9$?
[ot]PS: dubbietto: $-log6=-(log3+log2)$ si può scrivere così un log negativo con argomento "scomponibile"?
E $-log(4/5)$ come.va scritto sottoforma di differenza?(sempre se ammesso)[/ot]
Grazie mille.
"Myriam92":
... studiamo l'integrale solo a destra che è positivo ( visto che dalla parte opposta la situazione nn cambia)no?
E chi l'ha detto che è positivo? È un integrale come gli altri ... lo studiamo solo a destra perché a sinistra vale uguale (essendo pari) ma il suo valore può essere qualsiasi ... e lo moltiplico per due proprio perché ne sto calcolando la metà ...
In questa $ int_0^1(x^2-1)dx $ l'intervallo di integrazione non è simmetrico quindi cade il discorso ...
"Myriam92":
Tornando sempre a $ int_-2^2(|x|-1)dx $ ...
Non riesco a comprendere ... cita tutto quello che serve (eventualmente sotto spoiler per non allungare troppo)
"Myriam92":
$ int_0^1log(2x+1)dx $ risulta $ 1/2log3-1 $?
No.
"Myriam92":
$ int_-7^-3 2x/(x^2+6x-16) $ risulta $ 2log5-2/5log9 $?
Sì.
"Myriam92":
$-log6=-(log3+log2) $
Ok (è necessario che l'argomento sia positivo, non il logaritmo ...)
"Myriam92":
E $ -log(4/5) $ come.va scritto sottoforma di differenza?Grazie mille.
$-(log4 - log5)$
"axpgn":ok , ma poi la funzione non è simmetrica perchè sostituendo $-x$ verrebbe $-x^2-1$? ;
In questa $ int_0^1(x^2-1)dx $ l'intervallo di integrazione non è simmetrico quindi cade il discorso ...
$int_0^(pi)4senx$ questo nn si annulla nonostante dispari, visto che non è definito in un intervallo simmetrico?
"Myriam92":
$ int_0^1log(2x+1)dx $ risulta $ 1/2log3-1 $?
Colpa di un segno. E' $ 3/2log3-1 $?
"Myriam92":
... ok , ma poi la funzione non è simmetrica perchè sostituendo $-x$ verrebbe $-x^2-1$?
La funzione è simmetrica, è l'intervallo di integrazione che non lo è ... peraltro $(-x)^2=(x)^2$
"Myriam92":
$ int_0^(pi)4senx $ questo nn si annulla nonostante dispari, visto che non è definito in un intervallo simmetrico?
Non lo so se si annulla o no, quello che è sicuro è il fatto che non essendo l'intervallo di integrazione simmetrico non puoi usare quella "scorciatoia" ...
"Myriam92":
$ int_0^1log(2x+1)dx $ risulta $ 1/2log3-1 $?
Colpa di un segno. E' $ 3/2log3-1 $?
Yes.
"Myriam92":
... basandomi su questo tuo ragionamento, io avevo fatto la seguente su qst integrale: $ int_-2^2(|x|-1)dx $
$ F1(0)=0, F1(-2)=2;F2(2)=2, F2(0)=0 $ da cui $ [0-2]+[2-0]=0 $Avrei allungato, ma almeno era giusto cmq?
Giusto.
Ricapitolando: se la funzione è simmetrica(pari o dispari che sia) con intervalli dell'integrale anch'essi simmetrici, l'integrale si annulla, ok?
$int_0^1xlog(x+1)dx=1/4$?
Grazie in anticipo
$int_0^1xlog(x+1)dx=1/4$?
Grazie in anticipo
"Myriam92":
Ricapitolando: se la funzione è simmetrica(pari o dispari che sia) con intervalli dell'integrale anch'essi simmetrici, l'integrale si annulla, ok?
No ...
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Se la funzione è dispari e l'intervallo di integrazione è simmetrico allora il risultato è sicuramente zero.
Se la funzione è pari e l'intervallo è simmetrico allora puoi studiare solo il lato destro (o sinistro) perché tanto saranno uguali e raddoppiare il risultato.
Se l'intervallo non è simmetrico ... questi discorsi non valgono ... ok?
"Myriam92":
$ int_0^1xlog(x+1)dx=1/4 $?
Yes.
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Questo integrale non lo posso risolvere evitando di portare fuori 3/4 cosicché nel sistema risulti alfa=3, beta= 9/2?
Ho visto che non risulta quanto dovrebbe, e non capisco il motivo...
Se vuoi un'alternativa (ma non so se sia migliore) allora nota che il denominatore è $(2x-1)^2$ quindi $t=2x-1$ e $x=(t+1)/2$ e $dt=2dx$ ...
A parte che nn capisco da dove provenga 2x-1
Il mio metodo non è possibile usarlo ? (Evitare di portare fuori integrale 3/4)?
Edit
Si ci sono, ma la mia domanda principale è un'altra , perché non ne ho mai visti svolti partendo dal portando fuori la costante immediatamente (in questo genere almeno)
Il mio metodo non è possibile usarlo ? (Evitare di portare fuori integrale 3/4)?
Edit
Si ci sono, ma la mia domanda principale è un'altra , perché non ne ho mai visti svolti partendo dal portando fuori la costante immediatamente (in questo genere almeno)
Mah, è una strada come un'altra ... chi si trova meglio in un modo, chi in un altro ... l'abbiamo già detto diverse volte, il calcolo di un'integrale non è solo meccanica ...
Anche la via che ho indicato io alla fine ti fa portar fuori $3/4$ (perché i numeri quelli sono ...), la differenza sta nel fatto che non devi scomporre in fratti semplici (però è più lunga ...)
Anche la via che ho indicato io alla fine ti fa portar fuori $3/4$ (perché i numeri quelli sono ...), la differenza sta nel fatto che non devi scomporre in fratti semplici (però è più lunga ...)
evitando di portare fuori 3/4 all'inizio cosicché risulti alfa=3, beta= 9/2 abbiamo
$3int1/(x-1/2)+9/2int1/(x-1/2)^2=3log(x-1/2)-9/2×1/(x-1/2)$
Dove è che Sbaglio qui?
$3int1/(x-1/2)+9/2int1/(x-1/2)^2=3log(x-1/2)-9/2×1/(x-1/2)$
Dove è che Sbaglio qui?
Ma come sei arrivata lì ? Ovvio che quello va bene ma prima ?
I passaggi prima li ho fatti identici a quelli della slide però partendo da$(3x+3)/(x-1/2)^2=a/(x-1/2)+b/(x-1/2)^2$
Dove sbaglio!?? Quel risultato che ti ho scritto è sbagliato.
Dove sbaglio!?? Quel risultato che ti ho scritto è sbagliato.
Ma il $4$ dove l'hai lasciato? Perché quella forma da cui sei partita significa che il quattro è stato portato fuori ...
Ma.scusa se io il denominatore lo lascio col 4 dentro, non risulta il quadrato di quel binomio l'equazione di secondo grado??
Eh? Soggetto? Complemento oggetto?
Se il $4$ è dentro hai $4x^2-4x+1=(2x-1)^2$
Se il $4$ è fuori hai $4*(x^2-x+1/4)=4*(x-1/2)^2$
Hai mischiato le due cose ...
Se il $4$ è dentro hai $4x^2-4x+1=(2x-1)^2$
Se il $4$ è fuori hai $4*(x^2-x+1/4)=4*(x-1/2)^2$
Hai mischiato le due cose ...
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