Integrali

[myriam.92]

$int_0^4 (sqrtx/(sqrtx+1)dx$
ho sostituito $sqrtx=t$ e $dx=2tdt$
quindi
$int1-(2t)/(t+1)dt$
ho scomposto tutto l'argomento dell'integrale in somma di integrali, aggiungendo al numeratore $1,-1$
e a seguito dell'integrazione ho:
$t-2t-log(t+1)|_0^4$
ho sostituito e risulta $-2-log3$ e non $2log3$ come dice la soluzione. Why?

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$int_(1/e)^e 1/(x(logx)^2)dx$
conviene per parti?Integrando il log e derivando 1/x? Ho provato, e vien fuori:
$1/x(-1/logx)-(-1)$
Intanto puo' andare?
Grazie :3

[myriam.92]

$ (sin(x))^3/3 $ sì, va così.

"axpgn":Manco lo so da dove sei partita, ovviamente mi riferivo a quello

Sono partita da un punto che integrandolo per parti mi riconduce praticamente a quello iniziale
Esatto, questo$ int xe^x\ dx $ già sta" dentro " l'integrazione per parti che ti ho fatto vedere!

$ A/(1+x^3)+B/(1+x^3)^2 $
Dopo che qui sostituisco t cosa concludo scusa?
Eeeeh, no non sono partita da quella brutta parola araba

$int_(-2)^1$ |x|/x$ dx $ come si calcola? Ho cercato ma ho capito ben poco ... Boh il formulario non lo legge correttamente tra l'altro...

[axpgn]

Facciamola breve (anche se mi pareva di averla fatta breve ... )

$ int xe^x\ dx = xe^x-int e^x\ dx=xe^x-e^x$

Ok?

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Ho scritto che è meglio se NON usi i fratti semplici (peraltro in modo sbagliato ...)

$ intx^2/(1+x^3)^2\ \ dx$

Pongo $t=1+x^3\ \ ->\ \ dt=3x^2\ dx\ ->\ (dt)/3=x^2\ dx$ ... quindi sostituisco ...

$int 1/3*1/t^2\ \ dt\ = 1/3 int (dt)/t^2$

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"Myriam92":$ int_(-2)^1 |x|/x dx $ come si calcola?

Non saprei con certezza ma penso che basti spezzarlo in due ...

$int_(-2)^0 -x/x\ \ dx + int_(0)^1 x/x\ \ dx\ = int_(-2)^0 -1\ \ dx + int_(0)^1 1\ \ dx$

[myriam.92]

Fammi un favore, scrivimi i passaggi da questo originario non ti seccare.....
$ int 2x^2e^(x-2) $

Nel tuo "mix" tra $dx$ e $dt$:
$ int xe^x\ dx = xe^x-int e^x\ dx=xe^x-e^x $
Ci metto tempo solo per capire i passaggi, ed altro per capire la sostituzione.. ma è l'unica via!?

Per il modulo ho capito i passaggi però non so come sostituire avendo due integrali ad estremi differenti

[axpgn]

"Myriam92":$ int 2x^2e^(x-2) $

Prima di tutto porto fuori le costanti così non mi danno fastidio poi (non è sempre detto però che sia la scelta migliore)

$ 2/e^2 int x^2e^x\ dx$ ... poi lo faccio per parti ...

$g(x)=x^2\ \ \ ->\ \ \ g'(x)=2x\ dx$

$f(x)=e^x\ dx\ \ \ ->\ \ \ F(x)=e^x$

$ 2/e^2 int x^2e^x\ dx = 2/e^2 [x^2e^x - int 2xe^x\ \ dx]$ ... quest'ultimo integrale l'ho già svolto prima ...

$ 2/e^2 [x^2e^x - 2xe^x + 2e^x]$ ... fatto.

"Myriam92": ma è l'unica via!?

Quando sostituisci una variabile (p.es. $x -> t$) la devi far sparire dappertutto e quindi anche il $dx$ con il $dt$ ... come fai a sostituirlo "per bene" se non derivi entrambe le parti ?

"Myriam92":Per il modulo ho capito i passaggi però non so come sostituire avendo due integrali ad estremi differenti

In quell'integrale non devi sostituire niente ... il risultato è $F_1(0)-F_1(-2) + F_2(1) - F_2(0)$ dove $F_1(x)=-x$ e $F_2(x)=+x$ .... ho dovuto fare così perché qui con gli apici e i pedici adesso è un po' incasinato ...

[myriam.92]

Allora, se ho capito ... $ int 2x^2e^(x-2) $ questo..
Ti do conferma domani perché io qui ancora vedo integrazione nell'integrazione e spero sia perché nn connetto più

Per il modulo ti ho chiesto come sostituire perché è contenuto all'interno di un esercizio in cui ci sono altri 4 integrali, e richiede quale tra questi ha valore massimo.
[ot](In proporzione ai loro errori nei compiti, nn gli permetterei di metterci i bastoni tra le ruote in questo modo )[/ot]

Comunque ti ringrazio e ti chiedo scusa per il disturbo... Buonanotte
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EDIT

$ int 2x^2e^(x-2) $
Io su questo ci sono, ma nn puoi negarmi che stiamo facendo l'integrazione per parti dell'integrazione per parti

"axpgn":Quando sostituisci una variabile (p.es. x→t) la devi far sparire dappertutto e quindi anche il dx con il dt ... come fai a sostituirlo "per bene" se non derivi entrambe le parti ?

Entrambe? In base se stiamo derivando $x$ o $t$ forse..? Qui per esempio stiamo derivando t...
Cmq mi risulta $-1/[3(1+x^3)]$ giusto?

Ti faccio vedere l'esercizio col modulo, insieme a tutti gli altri integrali ( in cui ho messo il risultato accanto), visto che si deve determinare quale tra tutti ha valore max

[axpgn]

Penso di aver capito il tuo dubbio ... "integrazione di integrazione" ...

Quando usi il metodo di "integrazione per parti" non fai altro che sostituire un integrale con un altro integrale (e l'aggiunta di un prodotto di funzioni); tecnicamente non è cambiato niente: avevi un integrale prima , adesso ne hai un altro ...
All'atto pratico però hai cambiato un integrale con uno di più facile risoluzione (almeno si spera ... ), rimane il fatto che hai ancora un integrale da risolvere, niente di più, niente di meno ... e dato che questi non ha niente di speciale rispetto all'originario (o a qualsiasi altro integrale) puoi usare tutte le tecniche che vuoi per risolverlo, anche (e nuovamente) l'integrazione per parti ... ok?

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"Myriam92":Entrambe?

Certo, entrambi "i lati" ... se poni per esempio $t=sin(x)$, di fatto derivi entrambi i lati ed ottieni $dt=cos(x)\ dx$ ... come avevo accennato precedentemente tutte queste "operazioni" con i $dx, dt, ...$ sono sui "generis", sono degli "abusi di notazione" ma funzionano perché cmq corrette e sorrette da teoremi ...
Il risultato mi pare corretto ...

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Il primo e il secondo son giusti, il quarto no ed il terzo non mi torna ... il quinto fa $-1$ quindi il max è il primo ...

Nota: in quest'ultimo esercizio puoi osservare che il primo integrale è nullo perché $sin(x)$ è una funzione dispari e l'integrale su un suo domino simmetrico non può che essere nullo (la parte "sotto" è uguale per simmetria alla parte "sopra")
mentre tutte le altre, nell'intervallo considerato, sono SEMPRE negative (cioè stanno "sotto" e quindi il loro integrale sarà sicuramente negativo)

Nota bis: quando fai un esame ci si deve attaccare a tutto ciò che è utile ...

[myriam.92]

"axpgn":Penso di aver capito il tuo dubbio ... "integrazione di integrazione" ...

Perfetto, non sono pazza allora

Riguardo l'esercizio della foto...
Penso che ho capito del perché, essendo la funzione dispari, l'area si annulla( sopra x positiva, sotto x negativa e in più simmetrica) Di contro... Non abbiamo sempre detto che deve essere positiva l'area ?
Seno e coseno allora si annullano sempre indipendente dai valori agli estremi dell'integrale?
In generale poi, per questa tipo di domanda, mi stai consigliando di fare lo studio di funzione per vedere l'area circoscritta in che zona si trova ?
Quel valore assoluto cmq non capisco come possa fare -1 dato: $ F_1(0)-F_1(-2) + F_2(1) - F_2(0) $

Il terzo integrale l'ho corretto: $1/log3-1-1/3log3+1/e$ ho svolto il mcm, ma nn è che mi.aiuti parecchio per capire quanto vale numericamente....

Scusandomi per il terzo grado... Ti ringrazio in anticipo

[axpgn]

"Myriam92":Di contro... Non abbiamo sempre detto che deve essere positiva l'area ?

L'area sì ma l'integrale no ... l'integrale è somma algebrica delle aree: positive sopra, negative sotto ... e in quest'esercizio ti viene chiesto il valore dell'integrale (almeno credo dato che non si vede tutto ...)

"Myriam92":Seno e coseno allora si annullano sempre indipendente dai valori agli estremi dell'integrale?

NO.
In primo luogo perché $sin(x)$ è dispari e $cos(x)$ è pari ... secondariamente perché l'intervallo deve essere simmetrico ... quindi per ogni funzione dispari (come il seno) sarà $int_(-a)^a\ f(x)\ dx = 0$ mentre per ogni funzione pari (come il coseno) sarà $int_(-a)^a f(x) = 2 int_(0)^a f(x)$

"Myriam92":In generale poi, per questa tipo di domanda, mi stai consigliando di fare lo studio di funzione per vedere l'area circoscritta in che zona si trova ?

Non proprio, dipende molto dagli integrali e soprattutto da cosa ti viene meglio ... il primo, per esempio, è immediato che sia nullo e quindi non devi studiare niente, nel secondo e nel quarto si nota facilmente che le funzioni sono sempre negative negli intervalli considerati (ma anche gli integrali sono facili da calcolare ...) mentre per il terzo forse lo studio del segno è la cosa più utile perché senza dover far calcoli riesci a stabilire che è sempre negativa.
La funzione che compare nel quinto ($f(x)=|x|/x$) si chiama "segno" proprio perché restituisce $1$ se $x$ è positivo e $-1$ se $x$ è negativo (in zero non è definita); il suo grafico consiste in due rette orizzontali: $y=1$ alla destra di zero e $y=-1$ alla sinistra; il calcolo delle aree è immediato perché sono dei rettangoli di altezza $1$.
Se lo calcoliamo analiticamente ricordando che $F_1=-x$ e $F_2=x$ abbiamo $F_1(0)=-(0)=0, F_1(-2)=-(-2)=2, F_2(1)=(1)=1, F_2(0)=(0)=0$ da cui $(0)-(2)=-2$ e $(1)-(0)=1$ e sommando i due integrali $-2+1=-1$

[myriam.92]

"axpgn":in quest'esercizio ti viene chiesto il valore dell'integrale

Si, chiede quello

"axpgn":per il terzo forse lo studio del segno è la cosa più utile perché senza dover far calcoli riesci a stabilire che è sempre negativa.

Nella terza risposta della foto, avremmo la differenza di due esponenziali posti maggiore di zero... Onestamente il calcolo l'ho fattoa lo stesso, visto che era troppo antipatico da calcolare l'integrale (mi hai pure detto che nemmeno era giusto..).. questo è lecito ?
$ log_(3)3^x>log_3e^x->...-1>1 $ non $EE(x)inRR$

Poi... Mi son rifatta un po' tutti gli integrali svolti in questi gg tutti daccapo ( i più difficili con qualche sbirciatina ) e vorrei sapere se le mie "deduzioni" che ho tratto dal complesso di ciò che ho visto finora ,possiamo ritenerle plausibili :
Ho notato che se le funzioni contenute nell integrale sono completamente diverse tra loro, nn ha molto senso sostituire t ( es: $logx*sqrtx$);
E poi... Alle volte è capitato ( ma nn sempre ) che conveniente derivare x oppure t, in base se a seguito della derivazione "ritornano" i valori del testo originario ( es: $intxsqrt(x^2+1)dx$ in cui dopo i vari calcoli otteniamo $xdx=tdt$ e in effetti la nostra "xdx" è inclusa nel testo originario...
Mi sa che nn avrai capito molto da quel che ho scritto ma sto cercando di dedurre quanti più "trucchetti" è possibile per applicare un metodo risolutivo quanto più "meccanico" è possibile... Cosa mi sa che fallirà miseramente

[axpgn]

"Myriam92":$ log_(3)3^x>log_3e^x->...-1>1 $ non $EE(x)inRR$

Mi piacerebbe capire come sei giunta a quella conclusione ... io farei più semplicemente questo ragionamento ...

Dato $3^x-e^x$ se $x<0$ sempre, allora diventa $(1/3)^z-(1/e)^z$ con $z>0$, siccome $1/3<1/e$ allora $(1/3)^z<(1/e)^z$ e di conseguenza quella somma è negativa (sempre ... in quell'intervallo)

Per il resto non saprei onestamente che dirti (soprattutto a quest'ora su due piedi ...) ... mi limito a osservare che la "meccanica" va usata solo quando funziona "sicuramente" (ed anche velocemente se possibile) mentre "ragionarci su" è sempre meglio ... le tue deduzioni poi mi sembrano neanche tanto "meccaniche" ma ancor molto generiche quindi, alla fine, poco utili ... IMHO

Buonanotte,

Alex

[myriam.92]

Volevo dire 1>1 e l'abitudine al $ln $ mi ha ingannata... Riprovo con lo stesso ragionamento al contrario:
$
Loge^xx/x Ho avuto troppa fantasia stavolta?

Per le mie deduzioni... Immaginavo non sarebbero state ammissibili... Però ci ho provato .. cerco sempre di verificare se la via è un pò spianabile, pazienza
Grazie cmq per aver tentato di seguire i miei ragionamenti spesso di difficile decifrazione

[axpgn]

"Myriam92":Loge^xx/x

Solo quando $x>0$, quando $x<0$ è vero il contrario ... per fortuna, altrimenti avresti dimostrato il contrario di quello che volevi ottenere ...

Non so se le tue deduzioni siano ammissibili o meno, sicuramente sono troppo generiche ed in questo senso non ti aiutano più di tanto ... va bene usare tutti i "trucchetti" possibili, però devono essere sicuri e affidabili altrimenti è peggio ...

[myriam.92]

"axpgn":per fortuna, altrimenti avresti dimostrato il contrario di quello che volevi ottenere ...

In effetti il verso opposto fa la differenza eccome...
[ot]hai visto? mi hai citata tu stavolta senza riportare la formula correttamente... Come mai? Problema del forum... O È semplicemente contagioso? [/ot]

Cmq, va bene...Andiamo sempre.sul sicuro allora!
Io oggi l'unica cosa sicura che credo di aver capito è che i log per risultare alla fine dell'integrale vanno scomposti "ai minimi termini" e ricondotti tutti al medesimo argomento...

Solo un'ultima ( e credo veloce) domanda.
Se l'integrale fratto ha un denominatore con equazione di secondo grado con delta negativo che succede? ( E numeratore di grado inferiore intendo)...

[axpgn]

"Myriam92":... O È semplicemente contagioso? ...

Mi sa di sì ...

"Myriam92":Io oggi l'unica cosa sicura che credo di aver capito è che i log per risultare alla fine dell'integrale vanno scomposti "ai minimi termini" e ricondotti tutti al medesimo argomento...

Diciamo che è abitudine, in matematica, semplificare il più possibile, ridurre tutto ai minimi termini cosicché sia più facile confrontare l'uguaglianza di due espressioni (cioè non è un argomento specifico degli integrali)

"Myriam92":Se l'integrale fratto ha un denominatore con equazione di secondo grado con delta negativo che succede? ( E numeratore di grado inferiore intendo)...

Semplicemente non si può scomporre, si dice che è "irriducibile" e se non trovi una strada più veloce, usi i fratti semplici

[myriam.92]

Ok, grazie.
Ma i fratti semplici qui si possono usare? Ho rivisto la famosa tabella ma nn ho trovato sto caso:
$int 2x/(x^2+6x-16)$

EDIT
Te la ricordi?

[axpgn]

"Myriam92":Ok, grazie.
Ma i fratti semplici qui si possono usare? Ho rivisto la famosa tabella ma nn ho trovato sto caso:
$int 2x/(x^2+6x-16)$

Certo che sì ... ovviamente va scomposto il denominatore (perché non è irriducibile) ...

$int 2x/(x^2+6x-16)\ =\ int (2x)/((x+8)(x-2))$


Me la ricordo ... ma il motivo?

[myriam.92]

Come interpreteresti personalmente l'ultimo rigo?

[axpgn]

$Delta<0$ non lo facciamo

Questo dici?

Secondo me, dovrebbe significare che in quel caso il polinomio di secondo grado è irriducibile e quindi non si può scomporre più di così e così va utilizzato nella scomposizione in fratti semplici ...

Direi ... Buonanotte,

Alex

[myriam.92]

Beh ma allora perché la scomposizione in fratti semplici la spiega sopra ?!...

Cmq la tua scomposizione è data da un bel po' di fantasia vedo
$x^2+8x-2x-16$ raccoglimento parziale, e poi ottieni quel che hai scritto...Non c'è altra via vero?( Abbi pietà, ti chiedo solo perché nn l'ho trovato nella tabella )
Io ho trovato questa :
Ho dato un'occhiata qui

http://www.lezionidimatematica.net/Equazioni2/approfondimenti/eq2_approfondimento_02.htm

l'ho riscritto seguendo la formula in verde e risulta $(x+3)^2+28/4$.. non c'entra molto con la tua che è esattamente quel che ci serve...

Ad ogni modo.. il.resto dell'integrale si svolge al solito modo delle costanti,no?

Grazie, a presto

[axpgn]

"Myriam92":Beh ma allora perché la scomposizione in fratti semplici la spiega sopra ?!...

Presumo perché quel caso (cioè un fattore di secondo grado irriducibile) non ci sarà all'esame (in effetti non mi pare di ricordare di averne visti tra quelli da te proposti).

"Myriam92":Cmq la tua scomposizione è data da un bel po' di fantasia vedo

Dire proprio di no, per scomporre un polinomio di secondo grado basta trovare le due soluzioni dell'equazione di secondo grado associata ...

E poi fratti semplici ...