Il raggio partendo da corda e arco
ciao a tutti,
ho questo problema, conosco la lunghezza della corda e dell'arco, come faccio a trovare il raggio della circonferenza?
è due giorni che ci provo ma sto fondendo, posso avere una misura approssimativa usando i programmi di disegno sul pc ma vorrei sapere il procedimento matematico che ci sta dietro
grazie a tutti quello che risponderanno
ho questo problema, conosco la lunghezza della corda e dell'arco, come faccio a trovare il raggio della circonferenza?
è due giorni che ci provo ma sto fondendo, posso avere una misura approssimativa usando i programmi di disegno sul pc ma vorrei sapere il procedimento matematico che ci sta dietro
grazie a tutti quello che risponderanno
Risposte
hai studiato la trigonometria?
mica tanto
edit: cioè, conosco le funzioni base ma non sono riuscito a tirare fuori niente
edit: cioè, conosco le funzioni base ma non sono riuscito a tirare fuori niente
Puoi essere più preciso nell'esposizione del problema?
"WiZaRd":
Puoi essere più preciso nell'esposizione del problema?
ho la lunghezza di un arco e della corrispondente corda, come faccio a trovare il raggio della circonferenza a cui l'arco appartiene?
Perdonami se insisto, posso conoscere i dati del problema?
per wizard: credo che non sia molto difficile come problema, e' solo che va fatto qualche calcolo con seni coseni o tangenti etc..... perche' chiedi i dati?
ciao
alessandro
ciao
alessandro
Perché se conosce la misura della lunghezza dell'arco non è così semplice come problema. Se invece conosce la misura dell'ampiezza dell'arco è semplice.
Come è noto, in una circonferenza la misura dell'ampiezza dell'arco e quella dell'ampiezza dell'angolo da esso sotteso coincidono (in una determinata e prefissata unità di misura): dunque se si conosce la misura dell'ampiezza dell'arco le funzioni goniometriche sono calcolabili direttamente su questo valore.
Se invece si conosce la misura della lunghezza dell'arco, per determiarne l'ampiezza e quindi calcolare le funzioni goniometriche occorre dividere per il raggio, che è la nostra incognita.
Onestamente non so se la cosa sia ugualmente facile o maggioremente difficile. Però la prima cosa che ho pensato quando ho letto il quesito è stata questa.
Come è noto, in una circonferenza la misura dell'ampiezza dell'arco e quella dell'ampiezza dell'angolo da esso sotteso coincidono (in una determinata e prefissata unità di misura): dunque se si conosce la misura dell'ampiezza dell'arco le funzioni goniometriche sono calcolabili direttamente su questo valore.
Se invece si conosce la misura della lunghezza dell'arco, per determiarne l'ampiezza e quindi calcolare le funzioni goniometriche occorre dividere per il raggio, che è la nostra incognita.
Onestamente non so se la cosa sia ugualmente facile o maggioremente difficile. Però la prima cosa che ho pensato quando ho letto il quesito è stata questa.
l'equazione dovrebbe essere la seguente:
corda/2 = raggio * sen( (arco/2) / raggio)
corda/2 = raggio * sen( (arco/2) / raggio)
Anche io ero arrivato a una equazione del genere che, come vedi, presenta la nostra incognita sia come operando algebrico sia come argomento di una funzione. Era a questo che mi riferivo.
"WiZaRd":
Anche io ero arrivato a una equazione del genere che, come vedi, presenta la nostra incognita sia come operando algebrico sia come argomento di una funzione. Era a questo che mi riferivo.
ah ok.
Inoltre, credo anche che la soluzione non sia unica. Immagina due circonferenze concentriche e con raggi diversi. Prendi una corda di quella col raggio minore e traslala fino a che questa incontri con un suo estremo la circonferenza di raggio maggiore. Fatto ciò, falla ruotare (usando come centro della rotazione il punto che la corda traslata e la circonferenza hanno in cume) fino a che il secondo estremo della corda tocchi la circonferenza: in questo modo si hanno due corde uguali in due circonferenze di raggio diverso che sottendono archi diversi.
Pero aspetta WiZaRd: nel tuo esempio traslando la corda da una circonferenza all'altra la lunghezza dell'arco cambia. E nel problema proposto la lunghezza dell'arco è data.
O forse non ho capito cosa vuoi dire
O forse non ho capito cosa vuoi dire
"Martino":
Pero aspetta WiZaRd: nel tuo esempio traslando la corda da una circonferenza all'altra la lunghezza dell'arco cambia. E nel problema proposto la lunghezza dell'arco è data.
O forse non ho capito cosa vuoi dire
E' proprio questo che volevo mettere in evidenza: con quell'esempio che ho proposto abbiamo una corda di lunghezza $l$ che sottende un arco di lunghezza $a_1$ nella circonferenza $\Gamma_1$ e sottende anche un arco di lunghezza $a_2$ nella circonferenza $\Gamma_2$, con, evidentemente, due raggi $r_1$ e $r_2$ tali che $r_1 != r_2$.
Nel problema proposto dal nostro amico, la corda di lunghezza $l$ sottende $a_1$ oppure sottende $a_2$?
"WiZaRd":
con quell'esempio che ho proposto abbiamo una corda di lunghezza $l$ che sottende un arco di lunghezza $a_1$ nella circonferenza $\Gamma_1$ e sottende anche un arco di lunghezza $a_2$ nella circonferenza $\Gamma_2$, con, evidentemente, due raggi $r_1$ e $r_2$ tali che $r_1 != r_2$.
Si spera!
Altrimenti basterebbe la lunghezza di una corda per determinare il raggio (
)Il problema del nostro amico è: data la corda $l$ e l'arco $a$, qual è il raggio $r$? Quindi dalla coppia $(l,a)$ si vuole dedurre $r$. Quindi si vuole risolvere l'implicazione:
$(l,a) Rightarrow r$
Ora da quello che dici mi parrebbe che tu voglia risolvere invece quest'altra implicazione:
$l Rightarrow r$
Sono d'accordo che questa implicazione non si può risolvere (nel senso che dato $l$ non esiste un solo $r$ tale che la circonferenza di raggio $r$ ammetta una corda di lunghezza $l$, evidentemente).
Mi spiace se continuo a non capire
Edito: ah aspetta, forse ho capito. Intendi dire che non è chiaro "da che parte" va considerato l'arco?
Ero stato preso dallo stesso entusiasmo quando ho letto la traccia del problema, ma poi mi sono scontrato con la stessa equazione che ha nei due membri la stessa incognita (sotto forma di arco e funzione di arco). Provando con dei casi realistici, inoltre, non sono riuscito a trovare un nesso costante. Per una corda passano infinite circonferenze e, al limte, la corda stessa potrebbe essere uguale all'arco dando come risultato raggio infinto. Occorre sapere qualche altro dato, altrimenti non se ne esce.
A me sembra che il problema sia ben posto. Eventualmente bisognerà distinguere i due casi "arco piccolo" e "arco grande" (mi riferisco alla scelta dell'arco sotteso dalla corda data).
Nel caso "arco piccolo" a me viene un'equazione del tipo $cos alpha = 1-(l^2)/(2a^2) alpha^2$ nell'incognita $alpha$ (qui $l$ è la corda, $alpha$ è l'ampiezza dell'arco e $a$ è l'arco) dopo aver escluso l'annullarsi di $alpha$. Si tratta quindi di trovare dove la funzione coseno intercetta una parabola, e se non mi sbaglio in $(0,pi]$ tale intercettazione avviene al più una sola volta.
Ok, il valore non è calcolabile umanamente, ma esiste
Nel caso "arco piccolo" a me viene un'equazione del tipo $cos alpha = 1-(l^2)/(2a^2) alpha^2$ nell'incognita $alpha$ (qui $l$ è la corda, $alpha$ è l'ampiezza dell'arco e $a$ è l'arco) dopo aver escluso l'annullarsi di $alpha$. Si tratta quindi di trovare dove la funzione coseno intercetta una parabola, e se non mi sbaglio in $(0,pi]$ tale intercettazione avviene al più una sola volta.
Ok, il valore non è calcolabile umanamente, ma esiste
"Martino":
Mi spiace se continuo a non capire
No, no. Hai capito benissimo. Mi scuso se sono stato poco chiaro.
Quanto alla soluzione del problema posto, anche io (come anche codino75) ho una equazione analoga a quella equazione con l'incognica che fa il doppio gioco
.E questo non mi piace per niente
"IvanTerr":
Ero stato preso dallo stesso entusiasmo quando ho letto la traccia del problema, ma poi mi sono scontrato con la stessa equazione che ha nei due membri la stessa incognita (sotto forma di arco e funzione di arco). Provando con dei casi realistici, inoltre, non sono riuscito a trovare un nesso costante. Per una corda passano infinite circonferenze e, al limte, la corda stessa potrebbe essere uguale all'arco dando come risultato raggio infinto. Occorre sapere qualche altro dato, altrimenti non se ne esce.
il problema nasce proprio dalla realtà invece, mi serve per disegnare della lame
in pratica adesso le lame le facciamo tracciando la curva "più o meno", se avessimo una formula o un algoritmo per conoscere il raggio sarebbe molto più comodo e preciso
Beh immagino che puoi ottenere la precisione che desideri usando un programma.
Quanto al valore esatto, la sua scoperta implica la risoluzione di un'equazione trascendente a mio avviso inaccessibile.
Quanto al valore esatto, la sua scoperta implica la risoluzione di un'equazione trascendente a mio avviso inaccessibile.
In una circonferenza qualunque, il rapporto tra Arco e Corda va da $1$ ($lim_(alpha->0) "Arco"/"Corda"\ = lim_(alpha->0) alpha/(sen\ alpha)\ =\ 1$) a $pi/2$ (1,57...), pertanto è ovvio che, trattandosi di lame con un asse, si presume che la penetrazione non debba superare il limite della circonferenza interna in cui passa il perno per il fissaggio della lama, che dovendo garantire un fissaggio stabile avrà un raggio non trascurabile (questo influisce, come è facile vedere, sulla profondità che la lama stessa raggiunge nel materiale da tagliare. Infatti, detto R il raggio della lama ed r il raggio del foro centrale, si ha che la massima profondità di taglio è R-r, a cui corrisponderebbe l'arco arcoseno (r/R)). Ne deriva che la profondità di taglio potrebbe al massimo avvicinarsi al diametro, ma, praticamente, la corda sarà sempre minore del diametro. In queste condizioni, o si sceglie l'arco e si calcola la corda, oppure si sceglie la corda e si calcola l'arco, sapendo che, qualunque sia la scelta, l'arco non sarà mai superiore a 1,57 della corda. Ulteriore condizione (limitante) è il diametro della lama che, probabilmente, non può superare un eventuale limite. E' anche da considerare (forse) la misura degli eventuali denti (i taglienti) che impone l'ulteriore condizione che la circonferenza sia un multiplo di questa misura.
(continuo domani, l'argomento mi intriga. Spero di avere qualche ulteriore conferma su quanto esposto.)
Riprendo, annunciando di aver trovato una soluzione sufficientemente precisa per la soluzione del problema.
Questo è quanto ho fatto:
Con EXCEL si titolino 4 colonne nel seguente modo:
Angoli ALFA in gradi | Angoli ALFA in Radianti | Angoli ALFA-metà in Radianti | Rapporto ARCO/CORDA |
A partire da 0, con incrementi di 0,001, si ottenga una tabella di 3142 righe (da 0,000 a 3,141)
Nella riga successiva, prima colonna, si trascriva la formula seguente: =B2*180/pi.greco()
sulla stessa riga, colonna C, si trascriva la seguente formula: =B2/2
sulla stessa riga, colonna D, si trascriva la seguente formula: =2*sen(C2)
sulla stessa riga, colonna E, si trascriva la seguente formula: =B2/D2
Si copino, contemporaneamente, le quattro celle e, dopo aver spostato il cursore alla prima colonna della riga successiva (riga 3), si clicchi su tale colonna e, mantenendo il tasto sinistro premuto, si faccia scorrere lo schermo fino a riga 3142. Quivi giunti, si rilasci il tasto e si "incolli". Sullo schermo apparirà la tabella con nell'ultima colonna il valore del rapporto ARCO/CORDA.
Adesso si può cominciare a lavorare.
Conoscendo l'ARCO e la CORDA, si prepari una zona di celle formattate con 3 decimali in cui, immettendo tali valori, venga immediatamente calcolato il rapporto ARCO/CORDA (ad esempio, inserendo 36 e 26, apparirà 1,380. Ci si ricordi che tale rapporto NON PUO' ESSERE SUPERIORE ad 1,57). Si cerchi tale valore (1,380) nell'ultima colonna della tabella (se ne troveranno 28 a partire da 1,380 - riga 2691 - a 1,389 - riga 2718, quello che ci interessa in questo esempio è il PRIMO che è proprio 1,380 - ultima colonna della riga 2691 - con lo zero come ultima cifra decimale); ci si sposti ad una colonna adiacente (in G si scriva l'ARCO, cioè 36, in H si scriva la CORDA, cioè 26 e in I si trascriva la formula: =G2691/B2691; dopo aver premuto il tasto INVIO si otterrà il risultato: 13,39, che è il raggio del cerchio cercato.
L'errore che si commette con questo procedimento è così calcolabile:
=2*I2691*SEN(C2691) (RAGGIO REALE)
=(RAGGIO REALE-RAGGIO VOLUTO)/RAGGIO VOLUTO*100
e nel caso mostrato esso è inferiore allo 0,36%
(continuo domani, l'argomento mi intriga. Spero di avere qualche ulteriore conferma su quanto esposto.)
Riprendo, annunciando di aver trovato una soluzione sufficientemente precisa per la soluzione del problema.
Questo è quanto ho fatto:
Con EXCEL si titolino 4 colonne nel seguente modo:
Angoli ALFA in gradi | Angoli ALFA in Radianti | Angoli ALFA-metà in Radianti | Rapporto ARCO/CORDA |
A partire da 0, con incrementi di 0,001, si ottenga una tabella di 3142 righe (da 0,000 a 3,141)
Nella riga successiva, prima colonna, si trascriva la formula seguente: =B2*180/pi.greco()
sulla stessa riga, colonna C, si trascriva la seguente formula: =B2/2
sulla stessa riga, colonna D, si trascriva la seguente formula: =2*sen(C2)
sulla stessa riga, colonna E, si trascriva la seguente formula: =B2/D2
Si copino, contemporaneamente, le quattro celle e, dopo aver spostato il cursore alla prima colonna della riga successiva (riga 3), si clicchi su tale colonna e, mantenendo il tasto sinistro premuto, si faccia scorrere lo schermo fino a riga 3142. Quivi giunti, si rilasci il tasto e si "incolli". Sullo schermo apparirà la tabella con nell'ultima colonna il valore del rapporto ARCO/CORDA.
Adesso si può cominciare a lavorare.
Conoscendo l'ARCO e la CORDA, si prepari una zona di celle formattate con 3 decimali in cui, immettendo tali valori, venga immediatamente calcolato il rapporto ARCO/CORDA (ad esempio, inserendo 36 e 26, apparirà 1,380. Ci si ricordi che tale rapporto NON PUO' ESSERE SUPERIORE ad 1,57). Si cerchi tale valore (1,380) nell'ultima colonna della tabella (se ne troveranno 28 a partire da 1,380 - riga 2691 - a 1,389 - riga 2718, quello che ci interessa in questo esempio è il PRIMO che è proprio 1,380 - ultima colonna della riga 2691 - con lo zero come ultima cifra decimale); ci si sposti ad una colonna adiacente (in G si scriva l'ARCO, cioè 36, in H si scriva la CORDA, cioè 26 e in I si trascriva la formula: =G2691/B2691; dopo aver premuto il tasto INVIO si otterrà il risultato: 13,39, che è il raggio del cerchio cercato.
L'errore che si commette con questo procedimento è così calcolabile:
=2*I2691*SEN(C2691) (RAGGIO REALE)
=(RAGGIO REALE-RAGGIO VOLUTO)/RAGGIO VOLUTO*100
e nel caso mostrato esso è inferiore allo 0,36%
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