Il baricentro

[Sk_Anonymous]

salve a tutti io avrei da fare una dimostrazione, ma non so se riusciate a capire il disegno. allora io ho un triangolo qualunque( il mio prof. lo intende scaleno) , per prima cosa traccio le mediane che partono dagli angoli alla base, queste si incontrano in un punto g. poi considero la metà di ag(dove a è l'angolo alla base) e considero la metà di gc(dfove c è l'altro angolo alla base) questi punti così trovati li chiamo r e p. unisco r con p ed m con n( m ed n sono i punti medi individuati dalle mediane di partenza) e poi unisco m con p ed n con r . come faccio a dimostrare che il poligono mnrp è un parallelogramma?


se non riuscite a cpire potreste lasciare il vostro indirizzo msn?
grazie a tutti

[milady1]

sfruttando le proprietà del baricentro cerca di capire se le diagonali del poligono $MNPR$
si tagliano a metà, e questo basta a dire che risulta un parallelogramma.....
ps:aspetto conferme!

[Sk_Anonymous]

è questo il problema se io domostro che è un parallelogramma allora potrò dire che si tagliano a metà.

[milady1]

"wmatematica":è questo il problema se io domostro che è un parallelogramma allora potrò dire che si tagliano a metà.

ma, viceversa, se dimostri che si tagliano a metà (sfruttando come ti ho accennato le proprietà del baricentro)
allora puoi dire che il poligono è un parallelogramma!!

[Sk_Anonymous]

ancora una cosa io devo dimostrare che il punto in cui si incontrano le mediae è il baricentro, e per dimostrarlo mi manca da domostrre che è un parallelogramma il poligono mnrp

[milady1]

"wmatematica":ancora una cosa io devo dimostrare che il punto in cui si incontrano le mediae è il baricentro

scusa, mi sfugge qualcosa o il baricentro è per definizione il punto di incontro delle mediane?
Non devi solo dimostrare che $MNPR$ è un parallelogramma?

[Sk_Anonymous]

si e poi da li potrò concludere la dimostrazione di quello detto in precedenza. ora mi puoi dire come faccio? perfavore

[milady1]

usa questa proprietà:
le tre mediane sono divise dal baricentro in due parti tali che quella che contiene il vertice e' doppia dell'altra

[Sk_Anonymous]

il mio prof. mi ha deto che dopo che avremo dimostrato che è un parallelogarmma allora deriverà tutto questo

[oronte83]

Come ti ha detto milady, il baricentro divide la mediana in due parti una doppia dell'altra. Per costruzione e per la proprietà suddetta della mediana, AR=RG=GN. Analogamente MG=GP=PB. Dunque MG=GP e RG=GN, ma MP e RN sono le diagonali del quadrilatero MNPR e G è il punto medio delle diagonali. Se in un quadrilatero le diagonali si bisecano, esso è un parallelogrammo.

P.S. Non puoi dimostrare che il punto in cui si incontrano le mediane è il baricentro. Il baricentro è per definizione il punto in cui si incontrano le mediane di un triangolo.

[Sk_Anonymous]

oronte questo è l'unico modo di dimostrare che è un parallelogrammo?

[oronte83]

No, questo modo è il più semplice e quello che è consigliabile usare in questo caso, dato che ti è assegnato il baricentro. Un altro modo, più articolato, sfrutta questo teorema:
In ogni triangolo, il segmento che unisce i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato ed è la sua metà.
Con questo riesci a mostrare che MN e PR sono paralleli e isometrici.

[Sk_Anonymous]

come faccio a dimostrare questo che mi hai appena detto?

[oronte83]

Se guardi il triangolo ABC, MN è parallelo ad AB ed è la sua metà. Se guardi il triangolo AGB, RP è parallelo ad AB ed è la sua metà. Dunque MN è parallelo e isometrico a RP. Un quadrilatero con i lati opposti isometrici e paralleli è un parallelogrammo.
Perchè non ti piace la dimostrazione con il baricentro?

[Sk_Anonymous]

perchè il mio prof. vuole che arriviamo alla soluzione citata da te dopo aver dimostrato che è un paralelogramo.

e se io tirassi un segmento su ab tale che mi individui la metà di ab posso povare con i criteri di parallelismo che quello è un parallelogrammo?

[oronte83]

Potresti postare l'enunciato del teorema? Secondo me tu devi dimostrare che MNPR è un parallelogrammo. Non capisco cosa significa "arrivare alla soluzione citata dopo aver dimostrato che è un parallelogrammo"...di quale soluzione parli?
Potresti dimostrarlo anche con i criteri di similitudine, ci sono un sacco di strade. Io resto dell'idea che bisogna usare la più semplice senza cercare i problemi laddove non ci sono.

[Sk_Anonymous]

parlo della soluzione che le mediane si incontarno in un puntoe vengono ivise da questo ................................... per arrivare a questo devo prima diomostrare che è un parallelogrammo

[oronte83]

Ho capito, vuoi dimostrare che essendo un parallelogrammo, le diagonali si bisecano e dunque il baricentro del triangolo iniziale divide le mediane in due segmenti, uno doppio dell'altro.
Allora usa la seconda dimostrazione che ti ho proposto, quella del segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo.

[Sk_Anonymous]

Praticamente mi pare di capire che Wmatematica debba dimostrare il teorema:
Le mediane di un triangolo si incontrano in un punto detto baricentro; esso divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che ha un estremo nel vertice è doppia dell'altra.
Per arrivare in fondo a questa dimostrazione deve prima dimostrare che $MNPR$ è un parallelogramma questo associato alla corrispondenza di Talete permette di dire che due mediane si tagliano in un punto G che le divide in modo che $AG=2GN$ e $CG=2GM$, ripetendo poi la stessa cosa su un altro lato es. $AB$ si dimostra che le 3 mediane si intersecano in un unico punto, che chiameremo baricentro.

Scusa Wmatematica, ma nel tuo libro di geometria non c'è questa dimostrazione? Dovresti trovarla nel capitolo dedicato ai parallelogrammi o in quello subito successivo e di solito è spiegata in modo particolareggiato con le spiegazioni di tutti i passaggi.

[oronte83]

Se Wmatematica postasse l'enunciato che gli hanno assegnato sarebbe più semplice...

[Sk_Anonymous]

Sono perfettamente d'accordo!!!