Geometria
Esercizio_1
Nel paragrafo che sto studiando, ce un punto che non sto capendo, si tratta di un esempio....
Determinare un punto $P$ dell'asse $ y $ equidistante da $A(1,0) $e da$ B(5,4)$.
Deve essere: $P(0,y) $e $PA=PB $(come segmenti),ossia: $ (PA)^2=(PB)^2 $ .
Pertanto risulta:
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
da cui $ y=5 $ . Il punto cercato e' dunque $ P(0,5) $
Non ho capito un granche', da dove viene fuori questo?
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
Vi ringrazio anticipatamente.
Nel paragrafo che sto studiando, ce un punto che non sto capendo, si tratta di un esempio....
Determinare un punto $P$ dell'asse $ y $ equidistante da $A(1,0) $e da$ B(5,4)$.
Deve essere: $P(0,y) $e $PA=PB $(come segmenti),ossia: $ (PA)^2=(PB)^2 $ .
Pertanto risulta:
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
da cui $ y=5 $ . Il punto cercato e' dunque $ P(0,5) $
Non ho capito un granche', da dove viene fuori questo?
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Esercizio_2
Nello studio della simmetria centrale, non mi è tanto chiaro un concetto
Esempio:
Determinare i punti simmetrici, rispetto al punto $ C(2,-1) $, dei punti $A(3,1);B(4,0);D(-1,-2)$.
Le equazioni della simmetria di centro $C(2,-1)$ sono:
$ { ( x_1=4-x),( y_1 =-2-y ):} $
Pertanto:
$ A_1 = { ( x_1=4-3=1),( y_1=-2-1=-3 ):} $
$ A_1=(1,3);B_1=(0,2);C_1=(5,0) $
Dunque, i passaggi matematici non sono un problema, ciò che ho compreso è che ho dei punti con delle coordinate, mi viene chiesto di determinare i punti simmetrici rispetto a $C$, e so che $C$ si trova in mezzo a $D$ e $B$, ma cosa centra $A$
Perchè si deve ricavare questo?
$ A_1 = { ( x_1=4-3=1),( y_1=-2-1=-3 ):} $
Tutto al più serve ricavare $ B $ e $ D $ dato che $ C $ si trova in mezzo, ma $ A $ secondo me non centra niente con i calcoli!
Cosa è che non sto capendo????
Provo a dire qualcosa.....
Ho fatto delle prove con i calcoli e con Geogebra, mi sembra che cerca di farmi fare una semiretta parallela ad una seconda semiretta equidistante dallo stesso punto. Ecco una immagine di questo esercizio....
Nello studio della simmetria centrale, non mi è tanto chiaro un concetto
Esempio:
Determinare i punti simmetrici, rispetto al punto $ C(2,-1) $, dei punti $A(3,1);B(4,0);D(-1,-2)$.
Le equazioni della simmetria di centro $C(2,-1)$ sono:
$ { ( x_1=4-x),( y_1 =-2-y ):} $
Pertanto:
$ A_1 = { ( x_1=4-3=1),( y_1=-2-1=-3 ):} $
$ A_1=(1,3);B_1=(0,2);C_1=(5,0) $
Dunque, i passaggi matematici non sono un problema, ciò che ho compreso è che ho dei punti con delle coordinate, mi viene chiesto di determinare i punti simmetrici rispetto a $C$, e so che $C$ si trova in mezzo a $D$ e $B$, ma cosa centra $A$
Perchè si deve ricavare questo?
$ A_1 = { ( x_1=4-3=1),( y_1=-2-1=-3 ):} $
Tutto al più serve ricavare $ B $ e $ D $ dato che $ C $ si trova in mezzo, ma $ A $ secondo me non centra niente con i calcoli!
Cosa è che non sto capendo????
Provo a dire qualcosa.....
Ho fatto delle prove con i calcoli e con Geogebra, mi sembra che cerca di farmi fare una semiretta parallela ad una seconda semiretta equidistante dallo stesso punto. Ecco una immagine di questo esercizio....
Non avevi promesso di mettere il numero degli esercizi?
Comunque, per la prima domanda: si ha $PA^2=(0-1)^2+(y-0)^2$ e $PB^2=(0-5)^2+(y-4)^2$; eguagliandoli, trovi l'equazione scritta.
Per la seconda, mi pare che non ti sia chiaro il concetto di simmetrico. Dato un punto A(x,y) si dice simmetrico di A rispetto a C(a,b) il punto A'(x',y') che si ottiene congiungendo A con C e prolungando di altrettanto; detto in altre parole, C deve essere il punto medio del segmento AA'. Da quest'ultimo fatto ricavi
${(a=(x+x')/2), (b=(y+y')/2):}=>{(2a=x+x'), (2b=y+y'):}=>{(x'=2a-x),(y'=2b-y):}$
Il tuo problema chiede solo di determinare i tre punti A', B', C', del tutto privi di collegamento fra loro.
Comunque, per la prima domanda: si ha $PA^2=(0-1)^2+(y-0)^2$ e $PB^2=(0-5)^2+(y-4)^2$; eguagliandoli, trovi l'equazione scritta.
Per la seconda, mi pare che non ti sia chiaro il concetto di simmetrico. Dato un punto A(x,y) si dice simmetrico di A rispetto a C(a,b) il punto A'(x',y') che si ottiene congiungendo A con C e prolungando di altrettanto; detto in altre parole, C deve essere il punto medio del segmento AA'. Da quest'ultimo fatto ricavi
${(a=(x+x')/2), (b=(y+y')/2):}=>{(2a=x+x'), (2b=y+y'):}=>{(x'=2a-x),(y'=2b-y):}$
Il tuo problema chiede solo di determinare i tre punti A', B', C', del tutto privi di collegamento fra loro.
Scusami, ho provveduto alla numerazione, ma penso che fra poco dovrò attribuire dei Part Number agli esercizi, saranno tanti e penso proprio che devo trovare un Software che genera Part Number. 
Grazie per avermelo ricordato!
Grazie per avermelo ricordato!
"giammaria":
Esercizio_1
Comunque, per la prima domanda: si ha $PA^2=(0-1)^2+(y-0)^2$ e $PB^2=(0-5)^2+(y-4)^2$; eguagliandoli, trovi l'equazione scritta.
Ho capito cosa vuole la traccia, mi sono aiutato con Geogebra!
Non sto capendo questo $PA^2=(0-1)^2+(y-0)^2$ e $PB^2=(0-5)^2+(y-4)^2$, come hai fatto ad ottenerli?
Esempio, perchè $(0-1)^2$
Mi sembra ci sia un errore, perchè il testo mi da $(4-y)^2$
$PA^2=(0-1)^2+(y-0)^2$ e $PB^2=(0-5)^2+(4-y)^2$
Grazie mille!
E' la formula per la distanza fra due punti: dati $A(x_1,y_1)$ e $B(x_2,y_2)$ si ha
$AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$
$AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$
"giammaria":
E' la formula per la distanza fra due punti: dati $A(x_1,y_1)$ e $B(x_2,y_2)$ si ha
$AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$
Adesso sto cominciando a capire!
Però mi sembra che il testo faccia così:
$AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$
Ma centra il Teorema di Pitagora?
Ma cosa cambia?
Grazie mille!
Area del Triangolo_3
Nel paragrafo che sto studiando ce un punto che non mi è molto chiaro:
L'area $ S=1/2|D|$ di un triangolo di vertici $ P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2), P_3(x_3,y_3)$ è data dalla formula di Gramer, che conosco e che non è difficile:
$ D=| ( x_3-x_1 , y_3-y_1 ),( x_2-x_1 , y_2-y_1 ) | $
Quello che non sto capendo tanto è, es. $ x_3-x_1$ Si riferisce ad un lato? E' la distanza tra due punti, quindi un segmento?
Cosa è?
Insomma, se si dovesse spiegare in termini di lati questa:
$ D=| ( x_3-x_1 , y_3-y_1 ),( x_2-x_1 , y_2-y_1 ) | $
Come si potrebbe scrivere?
Io so che l'area di un triangolo è data da $ A=(b*h)/2 $ ma con Gramer non sto riuscendo a decifrare quale è la base e quale l'altezza!
Grazie mille!
Nel paragrafo che sto studiando ce un punto che non mi è molto chiaro:
L'area $ S=1/2|D|$ di un triangolo di vertici $ P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2), P_3(x_3,y_3)$ è data dalla formula di Gramer, che conosco e che non è difficile:
$ D=| ( x_3-x_1 , y_3-y_1 ),( x_2-x_1 , y_2-y_1 ) | $
Quello che non sto capendo tanto è, es. $ x_3-x_1$
Si riferisce ad un lato? E' la distanza tra due punti, quindi un segmento? Cosa è?
Insomma, se si dovesse spiegare in termini di lati questa:
$ D=| ( x_3-x_1 , y_3-y_1 ),( x_2-x_1 , y_2-y_1 ) | $
Come si potrebbe scrivere?
Io so che l'area di un triangolo è data da $ A=(b*h)/2 $ ma con Gramer non sto riuscendo a decifrare quale è la base e quale l'altezza!
Grazie mille!
"giammaria":
E' la formula per la distanza fra due punti: dati $A(x_1,y_1)$ e $B(x_2,y_2)$ si ha
$AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$
In tutte le ricerche che sto facendo ho trovato che la formula è scritta così:
$AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$
Se faccio i calcoli nel modo come e stata scritta da te, i risultati cambiano!
Non sto capendo questo!
Grazie mille!
Comincio con l'ortografia: il matematico di cui parli si chiamava Cramer e non Gramer; si scrive "c'era" e "c'è" (= ci era e ci è) e non "cera" e "ce".
Per il resto: dentro ad un quadrato si possono cambiare tutti i segni, quindi $(x_1-x_2)^2=(x_2-x_1)^2$; analogo per y. In altre parole, nella formula per la distanza fra due punti non ha nessuna importanza il loro ordine. Questa formula si dimostra effettivamente col teorema di Pitagora; di sicuro sul tuo libro c'è la dimostrazione.
Per l'area del triangolo, mi sembra ragionevole pensare che si possa dimostrare la formula col determinante pensando ai lati ma non saprei come; la dimostrazione che conosco io è piuttosto lunga e si ottiene calcolando base e altezza e poi verificando che la formula così ricavata coincide con quella data dal determinante.
Per il resto: dentro ad un quadrato si possono cambiare tutti i segni, quindi $(x_1-x_2)^2=(x_2-x_1)^2$; analogo per y. In altre parole, nella formula per la distanza fra due punti non ha nessuna importanza il loro ordine. Questa formula si dimostra effettivamente col teorema di Pitagora; di sicuro sul tuo libro c'è la dimostrazione.
Per l'area del triangolo, mi sembra ragionevole pensare che si possa dimostrare la formula col determinante pensando ai lati ma non saprei come; la dimostrazione che conosco io è piuttosto lunga e si ottiene calcolando base e altezza e poi verificando che la formula così ricavata coincide con quella data dal determinante.
"giammaria":
Comincio con l'ortografia: il matematico di cui parli si chiamava Cramer e non Gramer; si scrive "c'era" e "c'è" (= ci era e ci è) e non "cera" e "ce".
Ti ringrazio per le correzioni!
"giammaria":
Per l'area del triangolo, mi sembra ragionevole pensare che si possa dimostrare la formula col determinante pensando ai lati.
Ma come, intendi che si calcolano le lunghezze dei lati, (quindi calcoli il perimetro), per poi arrivare all'area?
"giammaria":
Per l'area del triangolo, mi sembra ragionevole pensare che si possa dimostrare la formula col determinante pensando ai lati.
Io vorrei capire cosa intende il testo in questo punto:
L'area $ S=1/2|D|$ di un triangolo di vertici $ P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2), P_3(x_3,y_3)$ è data dalla formula di Cramer, che conosco e che non è difficile:
$ D=| ( x_3-x_1 , y_3-y_1 ),( x_2-x_1 , y_2-y_1 ) | $
Cosa significa questo che è scritto nella matrice?
$ ( x_3-x_1 , y_3-y_1 ),( x_2-x_1 , y_2-y_1 ) $
Grazie mille!
"Bad90":
Io vorrei capire cosa intende il testo in questo punto:
L'area $ S=1/2|D|$ di un triangolo di vertici $ P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2), P_3(x_3,y_3)$ è data dalla formula di Cramer, che conosco e che non è difficile:
$ D=| ( x_3-x_1 , y_3-y_1 ),( x_2-x_1 , y_2-y_1 ) | $
Mi piacerebbe leggere l'esatta frase del testo e mi sembra improbabile che parli di formula di Cramer; salvo miei errori (possibilissimi) quella formula serve per risolvere i sistemi ed ha in comune con quella dell'area solo il fatto che entrambe usano i determinanti. Quello che il testo intende credo che sia: l'area di un triangolo è $S=1/2|D|$, essendo
$D=(x_3-x_1)(y_2-y_1)-(y_3-y_1)(x_2-x_1)$
Per ricordare facilmente questa formula notiamo che è il risultato che si ottiene calcolando il determinante in questione. Quanto alla dimostrazione della formula, pochi libri la riportano; non è difficile ma neanche molto breve e di solito ci si accontenta di sapere che qualcuno l'ha dimostrato.
Lascia perdere le matrici, che sono un argomento a te sconosciuto e per ora inutile.
Ok, allora vado avanti con il programma
Ma allora a cosa si riferisce questo?
A quali segmenti del triangolo si riferisce?
Grazie mille!
Ma allora a cosa si riferisce questo?
"giammaria":
$D=(x_3-x_1)(y_2-y_1)-(y_3-y_1)(x_2-x_1)$
A quali segmenti del triangolo si riferisce?
Grazie mille!
Dato il triangolo $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$ e $C(x_3; y_3)$. Si trasla il triangolo portando A nell'origine degli assi, il triangolo traslato ha vertici di coordinate $A'(0;0)$, $B'(x_2-x_1; y_2-y_1)$ e $C'(x_3-x_1; y_3-y_1)$ e la stessa area del triangolo ABC. Quelle che sono inserite nella matrice non sono altro che le coordinate di B' e C'.
"@melia":
Dato il triangolo $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$ e $C(x_3; y_3)$. Si trasla il triangolo portando A nell'origine degli assi, il triangolo traslato ha vertici di coordinate $A'(0;0)$, $B'(x_2-x_1; y_2-y_1)$ e $C'(x_3-x_1; y_3-y_1)$ e la stessa area del triangolo ABC. Quelle che sono inserite nella matrice non sono altro che le coordinate di B' e C'.
Vediamo se ho compreso, ho creato delle immagini.
Io ho il triangolo con i vertici $ A,B,C $ disposti come in questa immagine:
Con questa,$A'(0;0)$, $B'(x_2-x_1; y_2-y_1)$ e $C'(x_3-x_1; y_3-y_1)$ si porta alle seguenti origini:
Ho compreso bene?
Grazie mille!
"@melia":
$A'(0;0)$, $B'(x_2-x_1; y_2-y_1)$ e $C'(x_3-x_1; y_3-y_1)$ e la stessa area del triangolo ABC.
Come fa ad essere la stessa area del triangolo?
Mi spiego....
Io traslo i punti e fin quì ho capito, utilizzo questa$A'(0;0)$, $B'(x_2-x_1; y_2-y_1)$ e $C'(x_3-x_1; y_3-y_1)$ per traslare e fin quì ho capito, ma come fà ad essere la stessa area del triangolo una traslazione?
L'area del triangolo è:
$ Area=(b*h)/2 $
Non sto capendo come mai è la stessa cosa!??!?
Grazie mille!
Se sposti una figura senza deformarla, mica cambia la sua area.
"@melia":
Se sposti una figura senza deformarla, mica cambia la sua area.
Si, perdonami, non volevo intendere questo!
Mi riferisco alla formula dell'area del triangolo!
Se base per altezza diviso due e' l'area del triangolo, quella che hai scritto tu, e' sicuramente la stessa cosa, ma quale e' la base e quale e' l'altezza che dovro' dividere per 2?
Grazie mille.
Non si tratta di base e altezza; il metodo tradizionale prende un qualsiasi segmento (ad esempio A'B') come base e calcola l'altezza corrispondente; poi si trova l'area e si notano molte semplificazioni, al termine delle quali c'è la formula indicata. Vedo però che non avrai pace finché non vedrai la dimostrazione; te ne do una che mi sembra un po' più rapida di quella tradizionale. Per considerare il caso più generale metto in obliquo tutti i segmenti; nella mia figura A' è il vertice più a sinistra e in basso, B' quello più a destra e C' quello più in alto: ad esempio potrebbe essere A'(0,0), B'(5,3), C'(3,4). Per brevità di scrittura pongo B'(u,v) e C'(p,q), oltre ad A'(0,0); naturalmente intendo $u=x_2-x_1$ e simili.
Per B' traccio la parallela all'asse y e per C' la parallela all'asse x, ottenendo il rettangolo A'DEF, con D(u,0), E(u,q), F(0,q).
Ho ora
$S(A'B'C')=S(A'DEF)-S(A'DB')-S(B'EC')-S(A'C'F)=$
$=AD*AF-1/2 AD*DB' -1/2C'E*B'E-1/2FC'*AF$
La lunghezza di un segmento orizzontale è la differenza fra la x del punto a destra e quella del punto a sinistra mentre la lunghezza di un segmento verticale è la differenza fra la y in alto e quella in basso; ti è quindi facile calcolare tutti i segmenti della precedente formula e completare i calcoli, alla fine dei quali trovi
$S(A'B'C')=1/2(uq-vp)$
cioè proprio la formula voluta.
Forse esistono dimostrazioni migliori; se qualcuno le posta le leggerò con piacere.
Per B' traccio la parallela all'asse y e per C' la parallela all'asse x, ottenendo il rettangolo A'DEF, con D(u,0), E(u,q), F(0,q).
Ho ora
$S(A'B'C')=S(A'DEF)-S(A'DB')-S(B'EC')-S(A'C'F)=$
$=AD*AF-1/2 AD*DB' -1/2C'E*B'E-1/2FC'*AF$
La lunghezza di un segmento orizzontale è la differenza fra la x del punto a destra e quella del punto a sinistra mentre la lunghezza di un segmento verticale è la differenza fra la y in alto e quella in basso; ti è quindi facile calcolare tutti i segmenti della precedente formula e completare i calcoli, alla fine dei quali trovi
$S(A'B'C')=1/2(uq-vp)$
cioè proprio la formula voluta.
Forse esistono dimostrazioni migliori; se qualcuno le posta le leggerò con piacere.
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