Geometria
Esercizio_1
Nel paragrafo che sto studiando, ce un punto che non sto capendo, si tratta di un esempio....
Determinare un punto $P$ dell'asse $ y $ equidistante da $A(1,0) $e da$ B(5,4)$.
Deve essere: $P(0,y) $e $PA=PB $(come segmenti),ossia: $ (PA)^2=(PB)^2 $ .
Pertanto risulta:
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
da cui $ y=5 $ . Il punto cercato e' dunque $ P(0,5) $
Non ho capito un granche', da dove viene fuori questo?
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
Vi ringrazio anticipatamente.
Nel paragrafo che sto studiando, ce un punto che non sto capendo, si tratta di un esempio....
Determinare un punto $P$ dell'asse $ y $ equidistante da $A(1,0) $e da$ B(5,4)$.
Deve essere: $P(0,y) $e $PA=PB $(come segmenti),ossia: $ (PA)^2=(PB)^2 $ .
Pertanto risulta:
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
da cui $ y=5 $ . Il punto cercato e' dunque $ P(0,5) $
Non ho capito un granche', da dove viene fuori questo?
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Hai compreso che sono caparbio, 
e ti ringrazio per tutta la dimostrazione, adesso ci ragiono su e penso che questa notte dormiro' tranquillo .
Questo concetto non mi stava dando pace!
Tutto quello che hai dimostrato è nella seguente immagine:
E' un concetto semplicissimo, ma leggendolo non riuscivo a comprenderlo e che grazie alle tue gocce di saggezza, sono finalmente riuscito a comprendere!
Queste sono cose che ho fatto alle scuole medie, ma il testo richiede un linguaggio più addentrato e io non lo stavo capendo
Si tratta di creare un rettangolo avente quattro punti, e dopo sottrarre l'area dei tre triangoli esterni!
Il discorso della $ x_2-x_1 $ è il determinare la lunghezza di un segmento, idem per $ y_2-y_1 $
Non so come ringraziarti!
Grazie mille.
e ti ringrazio per tutta la dimostrazione, adesso ci ragiono su e penso che questa notte dormiro' tranquillo . Questo concetto non mi stava dando pace!
Tutto quello che hai dimostrato è nella seguente immagine:
E' un concetto semplicissimo, ma leggendolo non riuscivo a comprenderlo e che grazie alle tue gocce di saggezza, sono finalmente riuscito a comprendere!
Queste sono cose che ho fatto alle scuole medie, ma il testo richiede un linguaggio più addentrato e io non lo stavo capendo
Si tratta di creare un rettangolo avente quattro punti, e dopo sottrarre l'area dei tre triangoli esterni!
Il discorso della $ x_2-x_1 $ è il determinare la lunghezza di un segmento, idem per $ y_2-y_1 $
Non so come ringraziarti!
Grazie mille.
Prego. Ripensandoci ho trovato la soluzione veloce che cercavo, ma penso che sia meglio non confonderti le idee inviandola. Mi è già successo molte volte: medito su un problema per ore (in passato, anche per giorni o addirittura mesi); mi rassegno a dire ad altri il mio fallimento (parziale o totale) e dopo circa mezz'ora trovo la soluzione voluta. Vorrei sapere se succede a tutti o se è un difetto mio soltanto.
Per me e' un piacere leggere tutte le possibili soluzioni , quindi se vuoi esponi pure, non ti preoccupare non mi confonderai.
E' successo anche a me, sarà un difetto dell'umanità .
Grazie mille.
, quindi se vuoi esponi pure, non ti preoccupare non mi confonderai. "giammaria":
Mi è già successo molte volte: medito su un problema per ore (in passato, anche per giorni o addirittura mesi); mi rassegno a dire ad altri il mio fallimento (parziale o totale) e dopo circa mezz'ora trovo la soluzione voluta. Vorrei sapere se succede a tutti o se è un difetto mio soltanto.
E' successo anche a me, sarà un difetto dell'umanità
. Grazie mille.
Esercizio_3
Sto facendo alcuno esercizi di questi primi argomenti.
Determinare i quadranti nei quali è posto il punto $ P(x,y) $ nei seguenti casi:
a) $ xy>0 $
b) $ xy<0 $
Per il punto a) si trova nel primo quadrante, cioè quello in cui tutti i valori sono positivi.
Per il punto b) essendo un prodotto tra $ x*y $, quale sarà il quadrante? Faccio questa domanda perchè essendo un prodotto, potrebbe essere $ -x*y<0 $ oppure $ x*-y<0 $ , quale quadrante sarà? Il secondo o il terzo?
Grazie mille!
Sto facendo alcuno esercizi di questi primi argomenti.
Determinare i quadranti nei quali è posto il punto $ P(x,y) $ nei seguenti casi:
a) $ xy>0 $
b) $ xy<0 $
Per il punto a) si trova nel primo quadrante, cioè quello in cui tutti i valori sono positivi.
Per il punto b) essendo un prodotto tra $ x*y $, quale sarà il quadrante? Faccio questa domanda perchè essendo un prodotto, potrebbe essere $ -x*y<0 $ oppure $ x*-y<0 $ , quale quadrante sarà? Il secondo o il terzo?
Grazie mille!
Esercizio_4
Di ciascuno dei seguenti punti, determinare le coordinate della sua proiezione sull'asse x:
$ A(3,-1) $
$ B(1,-2) $
$ C(-5,2) $
$ D(-3,-2) $
$ E(-sqrt(2),sqrt(3)) $
Le mie risposte sono:
$ A =>3,0$
$ B=>1,0 $
$ C=>-5,0 $
$ D=>-3,0 $
$ E=>(-sqrt(2),0) $
Di ciascuno dei seguenti punti, determinare le coordinate della sua proiezione sull'asse x:
$ A(3,-1) $
$ B(1,-2) $
$ C(-5,2) $
$ D(-3,-2) $
$ E(-sqrt(2),sqrt(3)) $
Le mie risposte sono:
$ A =>3,0$
$ B=>1,0 $
$ C=>-5,0 $
$ D=>-3,0 $
$ E=>(-sqrt(2),0) $
Esercizio_5
Determinare la distanza tra le seguenti coppie di punti $ A $ e $ B $
a) $ A(2,3);B(5,7) $
Ho utilizzato la seguente formula, che è il Teorema di Pitagora:
$ d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) $
mi ha portato a questo:
$ d=sqrt(25-20+4+49-42+9)=>sqrt(25)=>5 $
Il risultato è giustissimo, ma mi chiedo se si può fare $ d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) => d=|x_2-x_1|+|y_2-y_1| $ e quindi risolverla con il sistema:
$|A(x)|=A(x)$ per valori di $A(x)>=0$
$|A(x)|=-A(x)$ per valori di $A(x)<0$
Solo che non ho incognite, quindi penso che non si può fare?!?!?
P.S. Quale metodo è più veloce?
Grazie mille!
Determinare la distanza tra le seguenti coppie di punti $ A $ e $ B $
a) $ A(2,3);B(5,7) $
Ho utilizzato la seguente formula, che è il Teorema di Pitagora:
$ d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) $
mi ha portato a questo:
$ d=sqrt(25-20+4+49-42+9)=>sqrt(25)=>5 $
Il risultato è giustissimo, ma mi chiedo se si può fare $ d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) => d=|x_2-x_1|+|y_2-y_1| $ e quindi risolverla con il sistema:
$|A(x)|=A(x)$ per valori di $A(x)>=0$
$|A(x)|=-A(x)$ per valori di $A(x)<0$
Solo che non ho incognite, quindi penso che non si può fare?!?!?
P.S. Quale metodo è più veloce?
Grazie mille!
"Bad90":
Esercizio_5
......
mi chiedo se si può fare $ d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) => d=|x_2-x_1|+|y_2-y_1| $
....
No!!!! E' vero che
$sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)$,
ma non è affatto vero che
$sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) =|x_2-x_1|+|y_2-y_1| $.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]Esercizio_5
......
mi chiedo se si può fare $ d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) => d=|x_2-x_1|+|y_2-y_1| $
....
No!!!! E' vero che
$sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)$,
ma non è affatto vero che
$sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) =|x_2-x_1|+|y_2-y_1| $.[/quote]
Bene, così ho le idee chiarissime subito!
Ti ringrazio!
"Bad90":
Esercizio_3
.....
Determinare i quadranti nei quali è posto il punto $ P(x,y) $ nei seguenti casi:
a) $ xy>0 $
b) $ xy<0 $
.....
Per il caso a) le coordinate devono essere concordi, non necessariamente positive tutte e due. Mentre per il caso b) devono essere discordi.
Quindi ...??
"chiaraotta":
Esercizio_3
.....
Determinare i quadranti nei quali è posto il punto $ P(x,y) $ nei seguenti casi:
a) $ xy>0 $
b) $ xy<0 $
Per il caso a) le coordinate devono essere concordi, non necessariamente positive tutte e due. Mentre per il caso b) devono essere discordi.
Quindi ...??
Cosa significa, che per il punto A:
a) $ xy>0=>(+1)*(+1)>0 $ oppure $(-1)*(-1)>0$
Mentre per il punto B:
b) $ xy<0=>(-1)*(+1)<0......$
Ho compreso bene?
E se ho i casi $ xy>=0$ e $ xy<=0$, quali saranno i quadranti?
Grazie mille!
Se c'è anche $=0$, almeno una delle due coordinate può essere $=0$ e quindi il punto può stare anche sugli assi ...
Area del triangolo ABC. Non faccio traslazioni e parto da $A(x_1,y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$, sempre con A in basso a sinistra. Per A traccio la retta $a$ parallela all'asse y; per B e C traccio le parallele all'asse x, che incontrano $a$ in $R(x_1, y_2)$ ed $S(x_1,y_3)$; congiungo C con R. Si ha
$S(ABC)=S(ABR)+S(RBC)-S(ACR)$
I triangoli ABR e RBC hanno la stessa base RB quindi la loro somma è equivalente ad un triangolo con la stessa base ed altezza pari alla somma delle altezze, cioè ad AS: segue $S(ABR)+S(RBC)=1/2RB*AS= 1/2(x_2-x_1)(y_3-y_1) $.
Il triangolo ACR ha base AR e altezza CS quindi $S(ACR)=1/2AR*CS= 1/2(y_2-y_1)(x_3-x_1) $. Perciò
$S(ABC)=1/2(x_2-x_1)(y_3-y_1)-1/2(y_2-y_1)(x_3-x_1)=1/2 |(x_2-x_1,y_2-y_1),(x_3-x_1,y_3-y_1)|$
Esercizio 4: giusto.
Esercizio 5: a quanto detto da chiaraotta aggiungo che è ridicolo calcolare il quadrato di un binomio; molto meglio
$d=sqrt((5-2)^2+(7-3)^2)=sqrt(3^2+4^2)=sqrt 25=5$
$S(ABC)=S(ABR)+S(RBC)-S(ACR)$
I triangoli ABR e RBC hanno la stessa base RB quindi la loro somma è equivalente ad un triangolo con la stessa base ed altezza pari alla somma delle altezze, cioè ad AS: segue $S(ABR)+S(RBC)=1/2RB*AS= 1/2(x_2-x_1)(y_3-y_1) $.
Il triangolo ACR ha base AR e altezza CS quindi $S(ACR)=1/2AR*CS= 1/2(y_2-y_1)(x_3-x_1) $. Perciò
$S(ABC)=1/2(x_2-x_1)(y_3-y_1)-1/2(y_2-y_1)(x_3-x_1)=1/2 |(x_2-x_1,y_2-y_1),(x_3-x_1,y_3-y_1)|$
Esercizio 4: giusto.
Esercizio 5: a quanto detto da chiaraotta aggiungo che è ridicolo calcolare il quadrato di un binomio; molto meglio
$d=sqrt((5-2)^2+(7-3)^2)=sqrt(3^2+4^2)=sqrt 25=5$
"giammaria":
Esercizio 5: a quanto detto da chiaraotta aggiungo che è ridicolo calcolare il quadrato di un binomio; molto meglio
$d=sqrt((5-2)^2+(7-3)^2)=sqrt(3^2+4^2)=sqrt 25=5$
Ovviamente perchè non ci sono incognite e allora si può procedere come hai fatto tu!
Giusto?
"giammaria":
Area del triangolo ABC. Non faccio traslazioni e parto da $A(x_1,y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$, sempre con A in basso a sinistra. Per A traccio la retta $a$ parallela all'asse y; per B e C traccio le parallele all'asse x, che incontrano $a$ in $R(x_1, y_2)$ ed $S(x_1,y_3)$; congiungo C con R. Si ha
$S(ABC)=S(ABR)+S(RBC)-S(ACR)$
I triangoli ABR e RBC hanno la stessa base RB quindi la loro somma è equivalente ad un triangolo con la stessa base ed altezza pari alla somma delle altezze, cioè ad AS: segue $S(ABR)+S(RBC)=1/2RB*AS= 1/2(x_2-x_1)(y_3-y_1) $.
Il triangolo ACR ha base AR e altezza CS quindi $S(ACR)=1/2AR*CS= 1/2(y_2-y_1)(x_3-x_1) $. Perciò
$S(ABC)=1/2(x_2-x_1)(y_3-y_1)-1/2(y_2-y_1)(x_3-x_1)=1/2 |(x_2-x_1,y_2-y_1),(x_3-x_1,y_3-y_1)|$
Per quanto riguarda l'Area del triangolo, adesso ci ragiono su e ti ringrazio ancora
Grazie!
"chiaraotta":
Se c'è anche $=0$, almeno una delle due coordinate può essere $=0$ e quindi il punto può stare anche sugli assi ...
Ti ringrazio!
E se invece ho:
a) $ x-y=0 $
b) $ x+y=0 $
Caso a): lo puoi scrivere come $x=y$ e se x ed y sono uguali hanno anche lo stesso segno: primo e terzo quadrante. Analogamente il caso b) vale nel secondo e quarto.
"giammaria":
Caso a): lo puoi scrivere come $x=y$ e se x ed y sono uguali hanno anche lo stesso segno: primo e terzo quadrante. Analogamente il caso b) vale nel secondo e quarto.
Ho fatto delle prove grazie ai tuoi consigli, adesso è tutto ok!
Ti ringrazio!
Esercizio_6
Ho risolto il seguente esercizio, ma secondo i miei calcoli, penso che il testo abbia dei risultati sbagliati....
Determinare le coordinate del punto medio del segmento che congiunge le coppie di punti indicate.
$ A=(4,5)^^B=(2,7) $
Senza scrivere tutti i passaggi che mi portano alla formula risolutiva, scrivo direttamente la formula, chiamando il centro $ C=(x_3,y_3) $:
$ x_3=(x_2+x_1)/2 =>(2+4)/2=6/2=3$
Idem per la $ y_3 $
$ y_3=(y_2+y_1)/2=>(7+5)/2=12/2=6 $
Bene adesso mi ritrovo con le coordinate del centro che sono $ C=(3,6) $ ma il testo dice che è $ C=(3,5) $.
Penso che ci sia un errore di stampa!
Ho risolto il seguente esercizio, ma secondo i miei calcoli, penso che il testo abbia dei risultati sbagliati....
Determinare le coordinate del punto medio del segmento che congiunge le coppie di punti indicate.
$ A=(4,5)^^B=(2,7) $
Senza scrivere tutti i passaggi che mi portano alla formula risolutiva, scrivo direttamente la formula, chiamando il centro $ C=(x_3,y_3) $:
$ x_3=(x_2+x_1)/2 =>(2+4)/2=6/2=3$
Idem per la $ y_3 $
$ y_3=(y_2+y_1)/2=>(7+5)/2=12/2=6 $
Bene adesso mi ritrovo con le coordinate del centro che sono $ C=(3,6) $ ma il testo dice che è $ C=(3,5) $.
Penso che ci sia un errore di stampa!
Trovo anch'io $ C=(3,6) $
"chiaraotta":
Trovo anch'io $ C=(3,6) $
Allora e' un errore di stampa.
Grazie per la conferma.
Esercizio_7
Sto cercando di fare questi esercizi:
Determinare le coordinate dell'estremo $B$ del segmento $AB$, conoscendo le coordinate di $A $e del punto medio $M$del segmento $AB$.
$ A=(-1,0)^^ M=(2,3) $
Non sto trovando la formula risolutiva sul mio testo
!
Quale è la formula per risolvere questo tipo di esercizi?
Grazie mille!
Sto cercando di fare questi esercizi:
Determinare le coordinate dell'estremo $B$ del segmento $AB$, conoscendo le coordinate di $A $e del punto medio $M$del segmento $AB$.
$ A=(-1,0)^^ M=(2,3) $
Non sto trovando la formula risolutiva sul mio testo
! Quale è la formula per risolvere questo tipo di esercizi?
Grazie mille!
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