Geometria
Esercizio_1
Nel paragrafo che sto studiando, ce un punto che non sto capendo, si tratta di un esempio....
Determinare un punto $P$ dell'asse $ y $ equidistante da $A(1,0) $e da$ B(5,4)$.
Deve essere: $P(0,y) $e $PA=PB $(come segmenti),ossia: $ (PA)^2=(PB)^2 $ .
Pertanto risulta:
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
da cui $ y=5 $ . Il punto cercato e' dunque $ P(0,5) $
Non ho capito un granche', da dove viene fuori questo?
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
Vi ringrazio anticipatamente.
Nel paragrafo che sto studiando, ce un punto che non sto capendo, si tratta di un esempio....
Determinare un punto $P$ dell'asse $ y $ equidistante da $A(1,0) $e da$ B(5,4)$.
Deve essere: $P(0,y) $e $PA=PB $(come segmenti),ossia: $ (PA)^2=(PB)^2 $ .
Pertanto risulta:
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
da cui $ y=5 $ . Il punto cercato e' dunque $ P(0,5) $
Non ho capito un granche', da dove viene fuori questo?
$ 1+y^2=25+(4-y)^2 $
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Se ${(x_M=(x_A+x_B)/2), (y_M=(y_A+y_B)/2):}$, allora puoi ricavare che ${(x_B=2*x_M-x_A), (y_B=2*y_M-y_A):}$.
"chiaraotta":
Se ${(x_M=(x_A+x_B)/2), (y_M=(y_A+y_B)/2):}$, allora puoi ricavare che ${(x_B=2*x_M-x_A), (y_B=2*y_M-y_A):}$.
Ti ringrazio, nel mio testo si trova nel paragrafo della simmetria centrale, cosa ovvia
, ma non ero sicuro se fosse il paragrafo giusto! 
Grazie mille!
Esercizio_8
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Determinare i vertici del triangolo $ A'B'C' $ , simmetrico rispetto al punto $ P(-3,1) $ del triangolo $ ABC $ , con $ A(1,1);B(3,2);C(-1,-2) $ .
Verificare che i due triangoli hanno lo stesso perimetro.
Non mi è tanto chiara la chiave risolutiva
....
Provo a dire qualcosa....
Ho un triangolo con tre punti $ ABC $, ho un punto $ P $ che è al centro simmetricamente rispetto ai due triangoli $ ABC $ e $ A'B'C' $, fin quì è tutto chiaro, ma cosa mi consigliate di fare per risolvere la traccia?
Mi conviene determinare es. la distanza tra il punto $A'$ mediante $A$ e $P$, tra il punto $B'$ mediante $B$ e $P$ e tra il punto $C'$ mediante $C$ e $P$
Dite che ho pensato bene?
Ho fatto la verifica della mia idea, ma non mi è venuto fuori un triangolo identico, ecco l'immagine!
Quale metodo devo utilizzare per risolvere la traccia
Grazie mille!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Determinare i vertici del triangolo $ A'B'C' $ , simmetrico rispetto al punto $ P(-3,1) $ del triangolo $ ABC $ , con $ A(1,1);B(3,2);C(-1,-2) $ .
Verificare che i due triangoli hanno lo stesso perimetro.
Non mi è tanto chiara la chiave risolutiva
.... Provo a dire qualcosa....
Ho un triangolo con tre punti $ ABC $, ho un punto $ P $ che è al centro simmetricamente rispetto ai due triangoli $ ABC $ e $ A'B'C' $, fin quì è tutto chiaro, ma cosa mi consigliate di fare per risolvere la traccia?
Mi conviene determinare es. la distanza tra il punto $A'$ mediante $A$ e $P$, tra il punto $B'$ mediante $B$ e $P$ e tra il punto $C'$ mediante $C$ e $P$
Dite che ho pensato bene?
Ho fatto la verifica della mia idea, ma non mi è venuto fuori un triangolo identico, ecco l'immagine!
Quale metodo devo utilizzare per risolvere la traccia
Grazie mille!
Nella simmetria, P deve essere il punto medio dei vari segmenti: nella tua figura il punto C' è vistosamente sbagliato perché P non è il punto medio di CC'.
Devi prima trovare le coordinate di A', B',C' usando le formule della simmetria: per A' i calcoli saranno
${(x=2*(-3)-1=-7),(y=2*1-1=1):}$
e analoghi per gli altri punti. Poi calcoli i lati dei due triangoli,ad esempio
$AB=sqrt((3-1)^2+(2-1)^2)=sqrt(2^2+1^2)=sqrt 5$
Quando li hai tutti ne deduci i due perimetri.
Devi prima trovare le coordinate di A', B',C' usando le formule della simmetria: per A' i calcoli saranno
${(x=2*(-3)-1=-7),(y=2*1-1=1):}$
e analoghi per gli altri punti. Poi calcoli i lati dei due triangoli,ad esempio
$AB=sqrt((3-1)^2+(2-1)^2)=sqrt(2^2+1^2)=sqrt 5$
Quando li hai tutti ne deduci i due perimetri.
"giammaria":
Devi prima trovare le coordinate di A', B',C' usando le formule della simmetria: per A' i calcoli saranno
${(x=2*(-3)-1=-7),(y=2*1-1=1):}$
Ma è quello che ho fatto
! Tu hai utilizzato $ P $ come punto simmetrico di $ A' $ Ho ricavato$ A' $ nel modo che hai fatto tu, utilizzando $ P $ come punto simmetrico, poi ho ricavato $ B' $ utilizzando sempre $ P $ come punto simmetrico, ma poi se $ P $ non è il punto simmetrico di $ C' $, allora come faccio sapere le coordinate di $ C' $
Qual'è il punto medio di B' e C'?
Grazie mille!
Non è che $P$ sia punto simmetrico di niente: $P$ è il centro di simmetria.
Sono $A'$, $B'$, $C'$ simmetrici di $A$, $B$ e $C$ rispetto a $P$.
Quindi, se $C'$ è il simmetrico di $C$ rispetto a $P$, allora le coordinate di $C'$ sono
${(x_(C')=2*x_P-x_C=2(-3)-(-1)=-5), (y_(C')=2*y_P-y_C=2(1)-(-2)=4):}$.
Sono $A'$, $B'$, $C'$ simmetrici di $A$, $B$ e $C$ rispetto a $P$.
Quindi, se $C'$ è il simmetrico di $C$ rispetto a $P$, allora le coordinate di $C'$ sono
${(x_(C')=2*x_P-x_C=2(-3)-(-1)=-5), (y_(C')=2*y_P-y_C=2(1)-(-2)=4):}$.
"chiaraotta":
Non è che $P$ sia punto simmetrico di niente: $P$ è il centro di simmetria.
Sono $A'$, $B'$, $C'$ simmetrici di $A$, $B$ e $C$ rispetto a $P$.
Quindi, se $C'$ è il simmetrico di $C$ rispetto a $P$, allora le coordinate di $C'$ sono
${(x_(C')=2*x_P-x_C=2(-3)-(-1)=-5), (y_(C')=2*y_P-y_C=2(1)-(-2)=4):}$.
Un attimo che sto utilizzando le proiezioni dei punti per ricavare tutti i punti, ecco l'immagine:
Ecco tutti i punti simmetrici!
"chiaraotta":
Non è che $P$ sia punto simmetrico di niente: $P$ è il centro di simmetria.
Sono $A'$, $B'$, $C'$ simmetrici di $A$, $B$ e $C$ rispetto a $P$.
Quindi, se $C'$ è il simmetrico di $C$ rispetto a $P$, allora le coordinate di $C'$ sono
${(x_(C')=2*x_P-x_C=2(-3)-(-1)=-5), (y_(C')=2*y_P-y_C=2(1)-(-2)=4):}$.
Ma se utilizzo i calcoli tuoi, ottengo un punto che non mi sembra simmetrico a P, ecco l'immagne:
Ricavo il punto $ A A' $
$ Xa=2*(-3)-1=-7 $
$ Ya=2*(1)-1=1 $
Ricavo il punto medio $ BB' $
La $ X $ la conosco già, quindi ricavo la $ Y $
$ YBm=2*(1)-0=2 $
Ricavo il punto simmetrico di $ B B' $
$ XB'=2*(-3)-3=-6-3=-9 $
$ YB'=2*(2)-2=2 $
Ricavo il punto $ Cm' $ mediante proiezione di $ P0 $
Non faccio calcoli perchè sono già noti dal grafico:
$ Cm=(-3,-2) $
Ricavo il punto $ C' $ mediante proiezione di $ P0 $
$ XC'=2*(-3)-(-1)=-5 $
$ YC'=2*(-2)-(-2)=-2 $
Cosa ne pensate?
Grazie mille!
$ Xa=2*(-3)-1=-7 $
$ Ya=2*(1)-1=1 $
Ricavo il punto medio $ BB' $
La $ X $ la conosco già, quindi ricavo la $ Y $
$ YBm=2*(1)-0=2 $
Ricavo il punto simmetrico di $ B B' $
$ XB'=2*(-3)-3=-6-3=-9 $
$ YB'=2*(2)-2=2 $
Ricavo il punto $ Cm' $ mediante proiezione di $ P0 $
Non faccio calcoli perchè sono già noti dal grafico:
$ Cm=(-3,-2) $
Ricavo il punto $ C' $ mediante proiezione di $ P0 $
$ XC'=2*(-3)-(-1)=-5 $
$ YC'=2*(-2)-(-2)=-2 $
Cosa ne pensate?
Grazie mille!
Tu disegni dei punti che non sono simmetrici di $A$, $B$ e $C$ rispetto a $P$, ma rispetto a una retta passante per $P$ e parallela all'asse $y$.
La situazione invece è quella della figura:
La situazione invece è quella della figura:
Allora rivedo il tutto!
Confermo che hai pienamente ragione, se non erro, i calcoli sbagliati in base alla traccia che ho fatto prima io, sarebbero stati giusti se la traccia mi avesse chiesto di determinare i punti speculari, giusto?
Ho verificato la lunghezza dei lati ed è tutto corretto.
Vi ringrazio
Confermo che hai pienamente ragione, se non erro, i calcoli sbagliati in base alla traccia che ho fatto prima io, sarebbero stati giusti se la traccia mi avesse chiesto di determinare i punti speculari, giusto?
Ho verificato la lunghezza dei lati ed è tutto corretto.
Vi ringrazio
Esercizio_8
Ho risolto la seguente traccia:
Dati i punti $ A(1,0);B(0,2);C(2,5);D(3,3) $ , determinare il simmetrico di $ ABCD $ rispetto al punto $ P(3/2,5/2) $ . Cosa si osserva?
Ma è una traccia ridicola, se già mi dice che è il simmetrico di $ ABCD $ in quanto il punto $ P$ è il baricentro del poligono, allora è ovvio che vedrò il simmetrico!
Ecco il poligono che viene fuori:
Il simmetrico è lo stesso ma capovolto, quindi
Ho risolto la seguente traccia:
Dati i punti $ A(1,0);B(0,2);C(2,5);D(3,3) $ , determinare il simmetrico di $ ABCD $ rispetto al punto $ P(3/2,5/2) $ . Cosa si osserva?
Ma è una traccia ridicola, se già mi dice che è il simmetrico di $ ABCD $ in quanto il punto $ P$ è il baricentro del poligono, allora è ovvio che vedrò il simmetrico!
Ecco il poligono che viene fuori:
Il simmetrico è lo stesso ma capovolto, quindi
Esercizio_9
Ho risolto il seguente eserecizio, ma non sto capendo una cosa......
Determinare le coordinate del baricentro del triangolo di vertici $ A(-3,4);B(-1,-3);C(1,5) $ e verificare che il baricentro divide ogni mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice e' doppia dell'altra.
Bene, sono arrivato ai risultati corretti, cioe' $ G(-1,2) $ , ma non sto capendo cosa devo verificare?
La seconda parte dell'esercizio, quando mi chiede di verificare............, non la sto capendo!
Vi ringrazio.
Ho risolto il seguente eserecizio, ma non sto capendo una cosa......
Determinare le coordinate del baricentro del triangolo di vertici $ A(-3,4);B(-1,-3);C(1,5) $ e verificare che il baricentro divide ogni mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice e' doppia dell'altra.
Bene, sono arrivato ai risultati corretti, cioe' $ G(-1,2) $ , ma non sto capendo cosa devo verificare?
La seconda parte dell'esercizio, quando mi chiede di verificare............, non la sto capendo!
Vi ringrazio.
Esercizio_10
Devo risolvere la seguente traccia:
Determinare l'area del triangolo ABC nel seguente caso:
$ A(2,3);B(8,7);C(8,3) $
Quale formula mi consigliate di utilizzare?
Il mio testo, mi fa utilizzare la matrice di Cramer, ma in alternativa, come potrei fare?
In un esercizio, ricavando l'area con la matrice di Cramer, mi e' venuto fuori un valore negativo, mentre il testo mi da come risultato lo stesso ma positivo, quindi vuol dire che bisogna considerare sempre i valori positivi perche' hanno un senso fisico,giusto?
Grazie mille.
Devo risolvere la seguente traccia:
Determinare l'area del triangolo ABC nel seguente caso:
$ A(2,3);B(8,7);C(8,3) $
Quale formula mi consigliate di utilizzare?
Il mio testo, mi fa utilizzare la matrice di Cramer, ma in alternativa, come potrei fare?
In un esercizio, ricavando l'area con la matrice di Cramer, mi e' venuto fuori un valore negativo, mentre il testo mi da come risultato lo stesso ma positivo, quindi vuol dire che bisogna considerare sempre i valori positivi perche' hanno un senso fisico,giusto?
Grazie mille.
"Bad90":
Esercizio_9
Ho risolto il seguente eserecizio, ma non sto capendo una cosa......
Determinare le coordinate del baricentro del triangolo di vertici $ A(-3,4);B(-1,-3);C(1,5) $ e verificare che il baricentro divide ogni mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice e' doppia dell'altra.
Bene, sono arrivato ai risultati corretti, cioe' $ G(-1,2) $ , ma non sto capendo cosa devo verificare?
La seconda parte dell'esercizio, quando mi chiede di verificare............, non la sto capendo!
Vi ringrazio.
Se una delle mediane è indicata con AM, devi verificare il baricentro G divide il segmento AM in due parti cui quella contenente il vertice, cioè AG, è il doppio dell'altra, cioè di GM, $bar(AM)=2bar(GM)$
"Bad90":
Esercizio_10
.....
Determinare l'area del triangolo ABC nel seguente caso:
$ A(2,3);B(8,7);C(8,3) $
Quale formula mi consigliate di utilizzare?
...
Lascia perdere le formule .... Disegna il triangolo e vedrai immediatamente come è conveniente calcolarne l'area!!!!
Esercizio_11
Cosa significa determianre l'immagine dei un punti?
Significa che inserisco i punti aventi determinate coordinate sul piano x,y e poi congiungendo i punti, avrò delle immagini?
Sto cercando di risolvere la seguente traccia:
Nella traslazione degli assi dal sistema $ Oxy $ al sistema $ O'XY $ con $ O'(-3,2) $ determinare le immagini dei punti:
$ A(2,-3); B(5,-4); (C4,-2)$
Dai punti della traccia ho la seguente immagine:
Cosa si deve calcolare?
Sul testo non ho i risultati e non so cosa bisogna fare correttamente!
Grazie mille.
Cosa significa determianre l'immagine dei un punti?
Significa che inserisco i punti aventi determinate coordinate sul piano x,y e poi congiungendo i punti, avrò delle immagini?
Sto cercando di risolvere la seguente traccia:
Nella traslazione degli assi dal sistema $ Oxy $ al sistema $ O'XY $ con $ O'(-3,2) $ determinare le immagini dei punti:
$ A(2,-3); B(5,-4); (C4,-2)$
Dai punti della traccia ho la seguente immagine:
Cosa si deve calcolare?
Sul testo non ho i risultati e non so cosa bisogna fare correttamente!
Grazie mille.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]Esercizio_10
.....
Determinare l'area del triangolo ABC nel seguente caso:
$ A(2,3);B(8,7);C(8,3) $
Quale formula mi consigliate di utilizzare?
...
Lascia perdere le formule .... Disegna il triangolo e vedrai immediatamente come è conveniente calcolarne l'area!!!![/quote]
Hai pienamente ragione e' meglio ragionarci su'.
Ecco la figura che è venuta fuori:
Ho utilizzato la seguente formula:
$ S=1/2|D| $
I risultati sono stati tutti corretti!
Grazie mille.
"@melia":
[quote="Bad90"]Esercizio_9
Ho risolto il seguente eserecizio, ma non sto capendo una cosa......
Determinare le coordinate del baricentro del triangolo di vertici $ A(-3,4);B(-1,-3);C(1,5) $ e verificare che il baricentro divide ogni mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice e' doppia dell'altra.
Bene, sono arrivato ai risultati corretti, cioe' $ G(-1,2) $ , ma non sto capendo cosa devo verificare?
La seconda parte dell'esercizio, quando mi chiede di verificare............, non la sto capendo!
Vi ringrazio.
Se una delle mediane è indicata con AM, devi verificare il baricentro G divide il segmento AM in due parti cui quella contenente il vertice, cioè AG, è il doppio dell'altra, cioè di GM, $bar(AM)=2bar(GM)$[/quote]
Io ho fatto tutte queste verifiche:
Correggetemi se ho sbagliato negli step risolutivi:
a) Mi sono calcolato il baricentro.
b) Mi sono calcolato il punto medio di ogni lato.
c) Ho disegnato una retta che passa dal baricentro e finisce sul punto medio di ogni lato.
d) Ho verificato che la mediana fosse il doppio dal lato del vertice, mediante la formula$ d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) $
Dite che gli step sono tutti corretti? Oppure avrei dovuto fare diversamente?
Grazie mille!
Esercizio_12
Ho risolto il seguente esercizio:
Dato il quadrilatero di vertici $ A(-3,3);B(0,9);C(7,7);D(11,0) $ verificare che, congiungendo i punti medi dei suoi lati, si ottiene un parallelogramma.
Ecco la figura:
Io non vedo nessun parallelogramma!
Ho risolto il seguente esercizio:
Dato il quadrilatero di vertici $ A(-3,3);B(0,9);C(7,7);D(11,0) $ verificare che, congiungendo i punti medi dei suoi lati, si ottiene un parallelogramma.
Ecco la figura:
Io non vedo nessun parallelogramma!
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