Funzioni definite a tratti
Sia f : R → R la funzione definita dalle seguenti
leggi:
f(x) = $ { ( |x| − 1 if x ≤ 0 ),( |x| + 1 if x > 0. ):}$
Quale delle seguenti asserzioni è VERA?
✷ lim x→$0^-$ f(x) ≥ 0
✷ La funzione ha una discontinuità eliminabile
✷ f ha un minimo assoluto
✷ f ha un punto di flesso
✷ f è monotona in ] − 1, 1[
premetto che è la prima volta che vedo questa tipologia di es, che si fa?... studio entrambe le funzioni regolarmente? e col valore assoluto come mi comporto?
Grazie^_^
leggi:
f(x) = $ { ( |x| − 1 if x ≤ 0 ),( |x| + 1 if x > 0. ):}$
Quale delle seguenti asserzioni è VERA?
✷ lim x→$0^-$ f(x) ≥ 0
✷ La funzione ha una discontinuità eliminabile
✷ f ha un minimo assoluto
✷ f ha un punto di flesso
✷ f è monotona in ] − 1, 1[
premetto che è la prima volta che vedo questa tipologia di es, che si fa?... studio entrambe le funzioni regolarmente? e col valore assoluto come mi comporto?
Grazie^_^
Risposte
Come che si fa? Se vuoi fare le cose per bene, studi le due funzioni nei loro insiemi di definizione ed in questo caso è anche abbastanza semplice, son due rette ed inoltre il valore assoluto non ha praticamente influenza sull'andamento perché il punto di discrimine del valore assoluto è lo stesso che divide i due tratti di funzione ...
In pratica se le disegni (e ci vogliono due minuti) hai tutte le risposte ...
In pratica se le disegni (e ci vogliono due minuti) hai tutte le risposte ...
vediamo se ho ho capito..
devo considerare queste due rette?
y=-x-1
y=x+1
le ho disegnate e si intersecano in (-1,0)
il limite della prima, per x che tende a zero da dx vale $-1^+$
quello della seconda per x che tende a zero da sx è $1^-$
quindi la prima risp è vera?
sorry ma sono ignorantissima al riguardo, a scuola ne ho fatti solo una paginetta di questi
devo considerare queste due rette?
y=-x-1
y=x+1
le ho disegnate e si intersecano in (-1,0)
il limite della prima, per x che tende a zero da dx vale $-1^+$
quello della seconda per x che tende a zero da sx è $1^-$
quindi la prima risp è vera?
sorry ma sono ignorantissima al riguardo, a scuola ne ho fatti solo una paginetta di questi
"Myriam92":
... devo considerare queste due rette?
y=-x-1
y=x+1
Sì
"Myriam92":
... le ho disegnate e si intersecano in (-1,0) ...
Allora le hai disegnate male ...
Se il dominio di $x+1$ è $(0,+infty)$, quella retta "partirà" da zero, no? Non esiste in $x=-1$ ... si "ferma" prima ...
"Myriam92":
il limite della prima, per x che tende a zero da dx vale $ -1^+ $
quello della seconda per x che tende a zero da sx è $ 1^- $
A te interessa solo la prima ovvero il limite da sx (se ho interpretato correttamente quello che hai scritto che non è chiaro); a te quel limite sembra maggiore di zero?
Dai, era giusto il disegno, solo che in effetti me ne servono solo alcuni tratti delle due rette 
Per me il limite della seconda retta, per x che tende a zero da sx è 1 da sinistra, cioè 1 meno un valore poco più piccolo di zero... cioè 1-0,000001 ad esempio, che non dovrebbe restare sempre positivo? ... in effetti uno zero da sx è negativo... ma non sappiamo QUANTO negativo ^_^"
EDIT
f(x) è una retta crescente tra l altro!(la seconda)
pero',,,
sembra ci sia pure una discontinuità..
Per me il limite della seconda retta, per x che tende a zero da sx è 1 da sinistra, cioè 1 meno un valore poco più piccolo di zero... cioè 1-0,000001 ad esempio, che non dovrebbe restare sempre positivo? ... in effetti uno zero da sx è negativo... ma non sappiamo QUANTO negativo ^_^"
EDIT
f(x) è una retta crescente tra l altro!(la seconda)
pero',,,
sembra ci sia pure una discontinuità..
Considera che la retta definita per $x<=0$ è la prima, quindi in $lim_(x->0^-)f(x)$ ad f(x) ci devi mettere la prima retta. A quanto ho capito le hai invertite.
Non esiste il limite da sx in $x=0$ per la retta $x+1$ perché a sx di zero NON è definita, chiaro?
Il limite da sx in $x=0$ della funzione (ovvero $lim_(x->0^-) f(x))$ riguarda SOLO $-x-1$ perché a sx dello zero esiste SOLO quella retta, e in particolare il limite vale $-1$. Ok?
Ricorda che una "funzione a tratti" è l'unione di due o più funzioni, ognuna col proprio dominio, i quali non si intersecano MAI, non si sovrappongono MAI. E se non si fosse capito, MAI. Cioè, presa una $x$ qualsiasi, per quella $x$ varrà una e una sola delle funzioni in essere ...
Il limite da sx in $x=0$ della funzione (ovvero $lim_(x->0^-) f(x))$ riguarda SOLO $-x-1$ perché a sx dello zero esiste SOLO quella retta, e in particolare il limite vale $-1$. Ok?
Ricorda che una "funzione a tratti" è l'unione di due o più funzioni, ognuna col proprio dominio, i quali non si intersecano MAI, non si sovrappongono MAI. E se non si fosse capito, MAI. Cioè, presa una $x$ qualsiasi, per quella $x$ varrà una e una sola delle funzioni in essere ...
Il grafico è questo:
- il limite della funzione in zero da sx è $-1$
- la funzione NON ha una discontinuità eliminabile
- f(x) HA un minimo assoluto $(0,-1)$
- nessun flesso (sono rette)
- NON è monotona in quell'intervallo (prima scende e poi sale)
- il limite della funzione in zero da sx è $-1$
- la funzione NON ha una discontinuità eliminabile
- f(x) HA un minimo assoluto $(0,-1)$
- nessun flesso (sono rette)
- NON è monotona in quell'intervallo (prima scende e poi sale)
siì, avevo invertito i limiti da studiare delle due rette ( pensavo di poter fare lo stesso ragionamento delle parametriche, invece è l'opposto... visto che i valori laterali indicano il dominio...
allora la vera è che c'è discontinuità?Eliminabile? A me pare di più un salto...
allora la vera è che c'è discontinuità?Eliminabile? A me pare di più un salto...
Mi arrendo ...
pare che pero' il tipo di discontinuità l'abbia azzeccato 
Sia f : R → R la funzione definita dalle seguenti
leggi:
f(x) = $ { ( |x| + 1 if x ≤ 0 ),( |x| - 1 if x > 0. ):}$
quale è FALSA?
✷ f e derivabile in R \ {0}
✷$ lim_(x→3) f(x) = f(3)$
✷ f ha un minimo assoluto
✷ f non ha punti di flesso
✷ f e monotona in ] −1, 0[
il dubbio è sulle prime due.
dovrebbe essere la prima perchè la funzione non è continua ergo nn derivabile;
ma il limite nel punto 3 perchè viene 3? se sostituisco nelle rette (solo nella seconda pero') risulta 2.
Cioè, io al limite di quale funzione mi dovrei riferire?
dato che ho due rette...
Sia f : R → R la funzione definita dalle seguenti
leggi:
f(x) = $ { ( |x| + 1 if x ≤ 0 ),( |x| - 1 if x > 0. ):}$
quale è FALSA?
✷ f e derivabile in R \ {0}
✷$ lim_(x→3) f(x) = f(3)$
✷ f ha un minimo assoluto
✷ f non ha punti di flesso
✷ f e monotona in ] −1, 0[
il dubbio è sulle prime due.
dovrebbe essere la prima perchè la funzione non è continua ergo nn derivabile;
ma il limite nel punto 3 perchè viene 3? se sostituisco nelle rette (solo nella seconda pero') risulta 2.
Cioè, io al limite di quale funzione mi dovrei riferire?
dato che ho due rette...
Nessuna delle due ...
La prima ti chiede se la funzione è derivabile dovunque tranne in zero ... ed è vero: essendo due rette sono derivabili su tutto $RR$, perciò l'unico punto "ambiguo" è quello di "contatto" tra le due che però è stato esplicitamente escluso nella formulazione ...
La seconda non è altro che la verifica della continuità in un punto: infatti ti viene chiesto se il valore che la funzione assume nel punto $3$ (in simboli $f(3)$) è lo stesso del limite della funzione quando tende a quel punto, ed essendo una retta è continua ovunque anche nel punto $3$ (non c'è scritto che nel punto $3$ la funzione vale $3$ ...)
Quindi la falsa è ...
La prima ti chiede se la funzione è derivabile dovunque tranne in zero ... ed è vero: essendo due rette sono derivabili su tutto $RR$, perciò l'unico punto "ambiguo" è quello di "contatto" tra le due che però è stato esplicitamente escluso nella formulazione ...
La seconda non è altro che la verifica della continuità in un punto: infatti ti viene chiesto se il valore che la funzione assume nel punto $3$ (in simboli $f(3)$) è lo stesso del limite della funzione quando tende a quel punto, ed essendo una retta è continua ovunque anche nel punto $3$ (non c'è scritto che nel punto $3$ la funzione vale $3$ ...)
Quindi la falsa è ...
a parte che l'ultima risposta è ✷ f e monotona in $] −oo,0[$
e a parte non aver ben capito perchè la seconda è vera...
non so qual è la giusta... ti direi che sono tutte vere per i motivi che mi hai elencato nel caso prima...dimmi tu ..
----
poi ne posto nel frattempo uno + difficile anche se non ho finito quello prima visto che si è fatto tardi:
Sia data la funzione f : R → R definita da
f(x) =${ ( |x+2|ifx<=-1 ),( 1 if -1=3 ):}$
Quale delle seguenti asserzioni e VERA?
✷ f ha un solo minimo relativo
✷ f ha un flesso
✷ f continua
✷ f ristretta a ] − 3, 0[ monotona
✷ f ha due punti di discontinuità di prima specie
mi aiuti a impostarlo please? non c'è come prima, x<0 o x>0... ho provato a disegnare le rette come se fosse così il dominio, ma penso proprio di aver sbagliato ^_^"
e a parte non aver ben capito perchè la seconda è vera...
non so qual è la giusta... ti direi che sono tutte vere per i motivi che mi hai elencato nel caso prima...dimmi tu ..
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poi ne posto nel frattempo uno + difficile anche se non ho finito quello prima visto che si è fatto tardi:
Sia data la funzione f : R → R definita da
f(x) =${ ( |x+2|ifx<=-1 ),( 1 if -1
Quale delle seguenti asserzioni e VERA?
✷ f ha un solo minimo relativo
✷ f ha un flesso
✷ f continua
✷ f ristretta a ] − 3, 0[ monotona
✷ f ha due punti di discontinuità di prima specie
mi aiuti a impostarlo please? non c'è come prima, x<0 o x>0... ho provato a disegnare le rette come se fosse così il dominio, ma penso proprio di aver sbagliato ^_^"
"Myriam92":
... e a parte non aver ben capito perchè la seconda è vera ...
Perché è la definizione di continuità in un punto! Quante volte è stato scritta questa definizione? Un sacco ...
Calcoliamo il valore della funzione nel punto $x_0$ ... $y=f(x_0)$
Calcoliamo il limite sx della funzione che tende a quel punto $x_0$ ... $lim_(x->x_0^-) f(x)$
Calcoliamo il limite dx della funzione che tende a quel punto $x_0$ ... $lim_(x->x_0^+) f(x)$
Quando una funzione è continua in un punto $x_0$ ?
Quando questi tre valori sono uguali ovvero in sintesi $lim_(x->x_0) f(x)=f(x_0)$
Adesso, nel caso concreto abbiamo $x_0=3$ e $f(x)=x-1$ e ti ritrovi quanto scritto nella risposta $lim_(x->3) f(x)=f(3)$... in pratica però non dobbiamo neanche fare questi conti perché è una retta quindi nel punto $x=3$ è continua. Finito.
La quarta è vera: non ha punti di flesso
La quinta è vera: è monotona, basta guardare (ma anche senza il grafico, è una retta ...)
Quindi la falsa è la terza ... mi dirai: ma è la stessa dell'altra! No, c'è una leggerissima differenza la quale fa sì che non ci sia minimo: quale?
------------------------------------------------------------------------------
Ti metto il grafico ...
Pensaci su ...
Buona Notte, Alex
la funzione non ha un minimo assoluto come pensavo in 1,0 perchè 0 non è compreso? (c'è il pallino vuoto)?
---
è vera la terza xkè abbiamo 2 punti angolosi, quindi la f è continua ma nn derivabile , e quei punti in particolare non hanno nessun salto (disc.1^specie)?
Grazie ancora per l'aiuto
---
è vera la terza xkè abbiamo 2 punti angolosi, quindi la f è continua ma nn derivabile , e quei punti in particolare non hanno nessun salto (disc.1^specie)?
Grazie ancora per l'aiuto
Sì (anche se il punto di cui parli (non compreso nella funzione) è $0,-1$)
-----------------------------
Sì, è continua
-----------------------------
Sì, è continua
in 0,-1 la funzione non esiste, ma nemmeno in 1,0 esiste(perchè il dominio è "x maggiore di 0", non "x magg o uguale a 0") giusto?...se in 1,0 esistesse non sarebbe un punto di min assoluto?
---------
Sia data la funzione f : R -> R definita da
f(x) = ${ ( 3 if x<-2 ),( |x-1|if-2<=x<=2 ),( -x+3ifx>2 ):}$
Quale ..FALSA?
✷ f ha un massimo relativo in x = 2
✷ f continua in R
✷ f ha esattamente due punti angolosi
✷ f ha un minimo relativo in x = 1
✷$int_(-2)^0 f(x)dx=4$
per me sono tutte vere XD nel senso: che i miei dubbi , al solito , penso siano tra la 1 e la 4...mmm o forse abbiamo un terzo punto angoloso in x=-2, può essere?
---------
Sia data la funzione f : R -> R definita da
f(x) = ${ ( 3 if x<-2 ),( |x-1|if-2<=x<=2 ),( -x+3ifx>2 ):}$
Quale ..FALSA?
✷ f ha un massimo relativo in x = 2
✷ f continua in R
✷ f ha esattamente due punti angolosi
✷ f ha un minimo relativo in x = 1
✷$int_(-2)^0 f(x)dx=4$
per me sono tutte vere XD nel senso: che i miei dubbi , al solito , penso siano tra la 1 e la 4...mmm o forse abbiamo un terzo punto angoloso in x=-2, può essere?
"Myriam92":
in 0,-1 la funzione non esiste, ma nemmeno in 1,0 esiste(perchè il dominio è "x maggiore di 0", non "x magg o uguale a 0") giusto?...se in 1,0 esistesse non sarebbe un punto di min assoluto?
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
... uno è maggiore di zero, no? quindi $x=1$ fa parte del dominio di $|x|-1$, cioè $x-1$ perciò lì la funzione esiste!Non si capisce poi perché dovrebbe essere di minimo dato che la funzione in $(0,1)$ è sempre negativa ...
... dal grafico poi è evidentissima ....---------------------------------
"Myriam92":
per me sono tutte vere XD nel senso: che i miei dubbi , al solito , penso siano tra la 1 e la 4...mmm o forse abbiamo un terzo punto angoloso in x=-2, può essere?
Direi ...
ops avevo scambiato le coordinate..
in (1,0) la funzione sì esiste! ma xkè non è un minimo? (non rompere il pc XD)
cosa c'entra col fatto che in (0,1) è negativa la f?
---------
Sia f : R → R la funzione definita come segue:
f(x) = ${ ( |-x+1| if x>=0 ),( |x+1|if x<0 ):}$
Quale delle seguenti asserzioni è VERA?
✷$int_(-1)^1 f(x)dx=1/2$
✷ f ha un punto di discontinuità di prima specie
✷ f ha un massimo relativo ma non un massimo
assoluto
✷ f dispari
✷ Nessuna delle altre risposte
per me è l'ultima ( e la funzione è pari)
---
chiedo un consiglio:
è la prima volta che mi capita di rappresentare funzioni col valore assoluto, e ho visto che intanto devo scindere al solito la funzione in due parti...e in questi casi per esempio, disegno le due rette corrispondenti(che poi non sono rette incidenti, il valore assoluto y=|x| in generale è una sorta di "v") e considero i soli valori richiesti dal dominio, no? o c'è un modo + veloce?o peggio, il mio approccio è sbagliato? XD
grazie^^
in (1,0) la funzione sì esiste! ma xkè non è un minimo? (non rompere il pc XD)
cosa c'entra col fatto che in (0,1) è negativa la f?
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Sia f : R → R la funzione definita come segue:
f(x) = ${ ( |-x+1| if x>=0 ),( |x+1|if x<0 ):}$
Quale delle seguenti asserzioni è VERA?
✷$int_(-1)^1 f(x)dx=1/2$
✷ f ha un punto di discontinuità di prima specie
✷ f ha un massimo relativo ma non un massimo
assoluto
✷ f dispari
✷ Nessuna delle altre risposte
per me è l'ultima ( e la funzione è pari)
---
chiedo un consiglio:
è la prima volta che mi capita di rappresentare funzioni col valore assoluto, e ho visto che intanto devo scindere al solito la funzione in due parti...e in questi casi per esempio, disegno le due rette corrispondenti(che poi non sono rette incidenti, il valore assoluto y=|x| in generale è una sorta di "v") e considero i soli valori richiesti dal dominio, no? o c'è un modo + veloce?o peggio, il mio approccio è sbagliato? XD
grazie^^
Nel punto $x=1$ la funzione vale zero (cioè $y=f(1)=0$) ...
Nell'intervallo $(0,1)$, cioè $0
Nell'intervallo $(0,1)$, cioè $0
Per questo chiedevo il consiglio 
nn sono ancora pratica nel disegnare i valori assoluti, quindi stavamo lavorando su grafici diversi ^_^"
l'ho rifatto
ma mi è uscito fuori un salto enorme tra y=-1 e y=1 XD (una parte nemmeno quindi derivabile) ..mi faresti vedere il grafico corretto please?
nn sono ancora pratica nel disegnare i valori assoluti, quindi stavamo lavorando su grafici diversi ^_^" l'ho rifatto
ma mi è uscito fuori un salto enorme tra y=-1 e y=1 XD (una parte nemmeno quindi derivabile) ..mi faresti vedere il grafico corretto please?
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