Funzioni convesse
cosa si intende per funzioni convesse?
posto il testo del problema da cui mi è sorto il dubbio:
Sia f (t) una funzione iniettiva definita sui numeri reali positivi. Dati x > 0
e y > 0, chiamiamo f−Media di x e y l’unico numero z tale che
$f(z)=(f(x)+f(y))/2$
Mostrare che la media geometrica $sqrt(x ·y)$ e quella armonica $2xy/(x+y)$ sono
delle f−Medie.
Fra le funzioni convesse f , individuare quelle per le quali la f−Media risulta
minore o uguale della media aritmetica.
[Si ricorda che un insieme S di punti
del piano è convesso se, per ogni coppia di punti A, B di S, l’intero segmento
di estremi A e B e contenuto in S; e che una funzione f è convessa se il suo
sopra-grafico {(x,y) | y > f (x)} è un insieme convesso.]
non risco a capire cosa intende l'affermazione "il suo sopra-grafico"...
intende il grafico della funzione?...
spero che mi potete dare delucidazioni
EDIT: magari mi fareste vedere un esempio concreto, diverso dal problema qui ripotato?
grazie a tutti
posto il testo del problema da cui mi è sorto il dubbio:
Sia f (t) una funzione iniettiva definita sui numeri reali positivi. Dati x > 0
e y > 0, chiamiamo f−Media di x e y l’unico numero z tale che
$f(z)=(f(x)+f(y))/2$
Mostrare che la media geometrica $sqrt(x ·y)$ e quella armonica $2xy/(x+y)$ sono
delle f−Medie.
Fra le funzioni convesse f , individuare quelle per le quali la f−Media risulta
minore o uguale della media aritmetica.
[Si ricorda che un insieme S di punti
del piano è convesso se, per ogni coppia di punti A, B di S, l’intero segmento
di estremi A e B e contenuto in S; e che una funzione f è convessa se il suo
sopra-grafico {(x,y) | y > f (x)} è un insieme convesso.]
non risco a capire cosa intende l'affermazione "il suo sopra-grafico"...
intende il grafico della funzione?...
spero che mi potete dare delucidazioni
EDIT: magari mi fareste vedere un esempio concreto, diverso dal problema qui ripotato?
grazie a tutti
Risposte
"fu^2":
[Si ricorda che un insieme S di punti
del piano è convesso se, per ogni coppia di punti A, B di S, l’intero segmento
di estremi A e B e contenuto in S; e che una funzione f è convessa se il suo
sopra-grafico {(x,y) | y > f (x)} è un insieme convesso.]
non risco a capire cosa intende l'affermazione "il suo sopra-grafico"...
intende il grafico della funzione?...
No, intende proprio quello che sta scritto, cioe' in soldoni la parte di piano al di sopra del grafico della funzione.
"Sandokan.":
[quote="fu^2"][Si ricorda che un insieme S di punti
del piano è convesso se, per ogni coppia di punti A, B di S, l’intero segmento
di estremi A e B e contenuto in S; e che una funzione f è convessa se il suo
sopra-grafico {(x,y) | y > f (x)} è un insieme convesso.]
non risco a capire cosa intende l'affermazione "il suo sopra-grafico"...
intende il grafico della funzione?...
No, intende proprio quello che sta scritto, cioe' in soldoni la parte di piano al di sopra del grafico della funzione.[/quote]
vediamo se ho capito... se una funzione $f(x)$ ha un massimo assoluto in un punto $x=a$, allora la parte di funzione convessa è tutta la parte del piano cartesiano delimitata inferiormente dalla retta $y=f(a)$?
Questo sopra-grafico o, alla francese, epi-grafo, si puo' definire per ogni funzione (reale), convessa o no. Ripeto: e' la parte di piano posta al di sopra del grafico.
aaa... ora ho capito la definizione di funzione convessa e sopra grafico 
grazie mille sandokan!
grazie mille sandokan!
Di niente!
come mi facevan notare adesso su msn...
quindi
$y=x^2$ non è convessa, mentre $y=-x^2$ è convessa giusto?
in quanto per essere convessa il suo sopragrafico deve essere un piano convesso... e non il sotto
giusto?
ps ma perchè questo? è una semplice definizione che si da?...
quindi
$y=x^2$ non è convessa, mentre $y=-x^2$ è convessa giusto?
in quanto per essere convessa il suo sopragrafico deve essere un piano convesso... e non il sotto
giusto?
ps ma perchè questo? è una semplice definizione che si da?...
$y=x^2$ è una parabola con la concavità rivolta verso l'alto.. non vorrei sbagliarmi, ma è proprio una funzione convessa...
quindi sopra grafico significa la parte di piano che sta sopra o sotto la funzione indifferentemente?
avevo capito solo sopra... forsw ho preso un pò troppo alla lettera la definizione
avevo capito solo sopra... forsw ho preso un pò troppo alla lettera la definizione
Il sopra grafico è la parte di piano che sta sopra il grafico della funzione.
grazie a tutti, ora ho capito bene!
e anche grazie a wiki...
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_convessa
ciao e alla prossima, grazie ancora a tutti
e anche grazie a wiki...
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_convessa
ciao e alla prossima, grazie ancora a tutti
è da questa definizione che deriva il significato dello studio della derivata seconda
bene ora ho capito bene...
bene ora ho capito bene...
Rimanendo in tema: sono andato a vedermi la convessità su wikipedia e wiki spara questo lemma:
Una funzione $f$ continua in $I$ è convessa se e solo se il rapporto incrementale $R_{f}(x,y)=(f(y)-f(x))/(y-x)$ è crescente in entrambe le variabili.
Ora, escludendo che si tratti di una funzione a due variabili (ne parla più sotto) ed escludendo che voglia dire che se $(f(y)-f(x))/(y-x)$ è crescente allora deve esserlo anche $(f(x)-f(y))/(x-y)$ (mi pare ovvio che sia così, basta moltiplicare per $ - $ numeratore e denominatore), che cosa significa quella frase?
P.S.: chiedo scusa a fu^2 se uso il suo Topic per postare un mio dubbio.
Una funzione $f$ continua in $I$ è convessa se e solo se il rapporto incrementale $R_{f}(x,y)=(f(y)-f(x))/(y-x)$ è crescente in entrambe le variabili.
Ora, escludendo che si tratti di una funzione a due variabili (ne parla più sotto) ed escludendo che voglia dire che se $(f(y)-f(x))/(y-x)$ è crescente allora deve esserlo anche $(f(x)-f(y))/(x-y)$ (mi pare ovvio che sia così, basta moltiplicare per $ - $ numeratore e denominatore), che cosa significa quella frase?
P.S.: chiedo scusa a fu^2 se uso il suo Topic per postare un mio dubbio.
Forse può essere d'aiuto questo (tratto dalle mie, vecchie, dispense di Ricerca Operativa):
@Wizard
Secondo me quella frase significa che ,se si mantiene costante la y, per ogni coppia
(x1,x2) di valori della x (distinti da y) tali che sia x1
Ed analogamente se si mantiene costante la x ,per ogni coppia
(y1,y2) di valori della y (distinti da x) tali che sia y1
karl
Secondo me quella frase significa che ,se si mantiene costante la y, per ogni coppia
(x1,x2) di valori della x (distinti da y) tali che sia x1
Ed analogamente se si mantiene costante la x ,per ogni coppia
(y1,y2) di valori della y (distinti da x) tali che sia y1
karl
Innanzitutto ti ringrazio per la interessantissima pagina di dispensa che hai pubblicato. Cercando anche altre dispense ho trovato il Teorema delle tre pendenze il quale recita che:
una funzione è convessa se e solo se
$(f(x)-f(y))/(x-y)<=(f(x)-f(z))/(x-z)<=(f(y)-f(z))/(y-z)$
Credo che wiki si riferisse a questo. Tu che dici?
una funzione è convessa se e solo se
$(f(x)-f(y))/(x-y)<=(f(x)-f(z))/(x-z)<=(f(y)-f(z))/(y-z)$
Credo che wiki si riferisse a questo. Tu che dici?
Guardate che la teoria delle funzioni convesse e' discretamente estesa...
"karl":
@Wizard
Secondo me quella frase significa che ,se si mantiene costante la y, per ogni coppia
(x1,x2) di valori della x (distinti da y) tali che sia x1$(f(x_1)-f(y))/(x_1-y)<(f(x_2)-f(y))/(x_2-y)$
Ed analogamente se si mantiene costante la x ,per ogni coppia
(y1,y2) di valori della y (distinti da x) tali che sia y1$(f(y_1)-f(x))/(y_1-x)<(f(y_2)-f(x))/(y_2-x)$
karl
Scusa karl...non avevo visto la tua risposta...devo dire che come interpretazione di quello che ha detto wiki è molto chiara e convincente...grazie per la risposta
Per Sandokan: quando dici "discretamente estesa" intendi "discretamente estesa" o "discretamente ESTESA"?
"WiZaRd":
Per Sandokan: quando dici "discretamente estesa" intendi "discretamente estesa" o "discretamente ESTESA"?
Intendo discretamente [size=200]estesa[/size], vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_analysis.
Hai reso bene l'idea
Grazie.
Grazie.
Ciao a tutti. Non so se sono o meno fuori tema, ma il quesito iniziale...
mi pare molto interessante. Stanotte mi è saltato in mente che la media aritmetica è, secondo tale definizione, una f-media potendo scegliere come f una qualsiasi funzione affine, cioè del tipo f(x)=ax+b.
Qualcuno è riuscito a mostrare che la media geometrica e quella armonica sono f-medie?
Edito: Ok per la armonica, basta scegliere $f(x)=1/x$.
Ciao.
"fu^2":
Sia f (t) una funzione iniettiva definita sui numeri reali positivi. Dati x > 0
e y > 0, chiamiamo f−Media di x e y l’unico numero z tale che
$f(z)=(f(x)+f(y))/2$
Mostrare che la media geometrica $sqrt(x*y)$ e quella armonica $2xy/(x+y)$ sono
delle f−Medie.
Fra le funzioni convesse f , individuare quelle per le quali la f−Media risulta
minore o uguale della media aritmetica.
mi pare molto interessante. Stanotte mi è saltato in mente che la media aritmetica è, secondo tale definizione, una f-media potendo scegliere come f una qualsiasi funzione affine, cioè del tipo f(x)=ax+b.
Qualcuno è riuscito a mostrare che la media geometrica e quella armonica sono f-medie?
Edito: Ok per la armonica, basta scegliere $f(x)=1/x$.
Ciao.
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