Funzione integrale limitata

[Andrea902]

Buonasera a tutti!

Ho un dubbio. Mi viene chiesto di dimostrare che una funzione integrale (già assegnata) è limitata. Prima di entrare nel caso specifico, vorrei ragionare nel caso generale, se possibile.
Per dimostrare che una funzione è limitata, posso provare che ammette due asintoti orizzontali e verificare se è contenuta nella striscia di piano compresa fra i due asintoti? (Se sì come posso fare?!). Come posso procedere con il ragionamento?

Per la cronaca la funzione integrale con cui sto lavorando è la seguente: $\int_{x}^{2x} (t^3+1)/(t^4+t^2+1) dt$. Devo dimostrare che è limitata senza determinare esplicitamente la sua espressione analitica.

Ringrazio anticipatamente tutti coloro che mi aiuteranno!

Andrea

[Paolo902]

Penso sia un fatto generale, ma non ho tutta questa sicurezza (perdonatemi, è anche tardi... ). Comunque, Andrea, penso che in generale la funzione integrale di una funzione limitata sia ancora limitata. In effetti, se noti il tuo integrando è limitato, cioè $\exists a \in RR \mbox { t.c.} |f(t)|g(x)$ cioè, nel nostro caso $2x>x -> x>0$. Lascio a te simili considerazioni per $x<0$. Il terzo membro delle disuguaglianze di sopra lo si trova integrando rispetto a $t$ la funzione costante $a$ con estremi di integrazione $h(x)$ e $g(x)$.

Non so se sono stato chiaro, ma mi pare che tutto regga.
Per altro, se non sbaglio, la funzione integrale è pure Lipschitz... non ho idee di come dimostrarlo, però direi che è lipschitziana.

Spero di non aver detto cavolate. Se hai ancora bisogno, sono qui. Ciao.
Paolo

[Andrea902]

Paolo, ho letto solo ora il tuo messaggio. Sì in linea di massima ci sono. In effetti la funzione integranda è limitata... Credo che come ragionamento sia corretto.

Grazie!

In caso aspettiamo il parere di qualche altro... vedremo!

[Paolo902]

"Andrea90":Paolo, ho letto solo ora il tuo messaggio. Sì in linea di massima ci sono. In effetti la funzione integranda è limitata... Credo che come ragionamento sia corretto.

Grazie!

In caso aspettiamo il parere di qualche altro... vedremo!

Prego, figurati, è un piacere. Comunque aspettiamo qualche voce più autorevole.
Grazie a te.

[Steven11]

Sono d'accordo con Paolo90.

Un piccolo sfizio: la funzione integranda poteva scriversi anche così

$frac{t^3+1}{t^4+t^2+1}=$

$=frac{(t+1)(t^2-t+1)}{(t^2-t+1)(t^2+t+1)}=$

$=frac{t+1}{t^2+t+1}$

Una forma più semplice per verificarne la limitatezza o, se fosse stato necessario, per trovare una primitiva.

Ciao!

[Paolo902]

"Steven":Sono d'accordo con Paolo90.

Un piccolo sfizio: la funzione integranda poteva scriversi anche così

$frac{t^3+1}{t^4+t^2+1}=$

$=frac{(t+1)(t^2-t+1)}{(t^2-t+1)(t^2+t+1)}=$

$=frac{t+1}{t^2+t+1}$

Una forma più semplice per verificarne la limitatezza o, se fosse stato necessario, per trovare una primitiva.

Ciao!

Uh, menomale, temevo di aver scritto qualche boiata ... Grazie, direi proprio che il parere di Staven è la voce autorevole che stavamo cercando. Grazie mille.

Paolo

[Andrea902]

Perfetto!

In definitiva, dal fatto che la funzione integranda è limitata, posso dedurre che la funzione integrale è anch'essa limitata. Giusto?
Nell'osservazione iniziale di Paolo, è stata sfruttata a quanto sembra, anche la proprietà di monotonia dell'integrale definito...

Grazie ancora!

[Andrea902]

Un dubbio: in riferimento al primo intervento di Paolo, cosa cambia se in luogo di $|f(t)|$ ho, come nel caso proposto, semplicemente $f(t)$?
Vorrei capire meglio il principio di base...

Grazie ancora!

[Paolo902]

"Andrea90":Un dubbio: in riferimento al primo intervento di Paolo, cosa cambia se in luogo di $|f(t)|$ ho, come nel caso proposto, semplicemente $f(t)$?
Vorrei capire meglio il principio di base...

Grazie ancora!

Non ho capito: se hai solo $f(t)

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[Andrea902]

Tranquillo. Mi spiego meglio:
Non mi è chiara la presenza del modulo nella scrittura $|f(t)|$. O meglio, so a quale proprietà dell'integrale definito fa riferimento, ma non riesco a trovare il nesso con la funzione scritta da me all'inzio in quanto lì non è presente il valore assoluto. In altre parole, vorrei capire meglio, il fatto che la funzione integrale da me scritta è limitata, partendo dal fatto che lo è la funzione integranda.

Spero di essere stato chiaro. Scusate!

[Paolo902]

Grazie per la ri-spiegazione.

Il modulo che compare all'inizio è un modo per dire che la funzione è limitata: cioè esiste un numero reale $a$ tale che $-a
Ora, per una proprietà dell'integrale (proprietà del valore assoluto: la si dimostra appunto con la monotonia, se vuoi prova) si ha che $|\int_a^b f(x)dx| <= \int_a^b |f(x)|dx$. Ma sapendo che $|f(t)|
Tutto ok adesso?
Non ti far problemi se non hai capito.

[Andrea902]

Ok. Ora è molto più chiaro. Ma così facendo abbiamo dimostrato che la funzione è limitata superiormente. Discorso analogo vale per dimostrare che è limitata inferiormente, giusto?

Inoltre con Derive ho tracciato il grafico della funzione integrale, che ammette un minimo e sembra essere limitata superiormente da un asintoto orizzontale. Tuttavia essendo $\int_{x}^{2x} (t^3+1)/(t^4+t^2+1) dx
Scusate, forse sono domande banali, ma sto studiando la funzione integrale da autodidatta!

[Paolo902]

"Andrea90":Ok. Ora è molto più chiaro. Ma così facendo abbiamo dimostrato che la funzione è limitata superiormente. Discorso analogo vale per dimostrare che è limitata inferiormente, giusto?

No, abbiamo dimostrato che la funzione è limitata: ecco il significato del modulo (se lo "sciogli" trovi appunto che $ ... < f(t) < ...$, cioè $f$ sta in mezzo a qualcosa, cioè è limitata sia sup che inf: è limitata).

"Andrea90":
Inoltre con Derive ho tracciato il grafico della funzione integrale, che ammette un minimo e sembra essere limitata superiormente da un asintoto orizzontale. Tuttavia essendo $\int_{x}^{2x} (t^3+1)/(t^4+t^2+1) dx

Non capisco: il fatto che la funzione stia sotto la retta $y=ax$ vuol dire che la funzione è Lipschitz, come già notavamo ieri sera. L'asintoto orizzontale non ha legami con questo. Almeno credo.

Tranquillo, per i tuoi dubbi, tra "autodidatti" ci si capisce ! Ad maiora.

Paolo

[Andrea902]

Perfetto! Adesso riordino un po' le idee e vi faccio sapere!

Grazie di tutto!

[Paolo902]

"Andrea90":Perfetto! Adesso riordino un po' le idee e vi faccio sapere!

Grazie di tutto!

Prego, figurati.

[sylowww]

Scusate, ma dire che la funzione integrale di una funzione limitata è limitata mi sembra proprio una grossa cantonata.
Prendiamo la funzione costante uguale a 1, f(x)=1 (più limitata di così!) e la funzione integrale:
F(x)= $\int_{0}^{x} f(t) dt$
E' chiaro che F(x)= x e che F(x) non è limitata.

[Paolo902]

"sylowww":Scusate, ma dire che la funzione integrale di una funzione limitata è limitata mi sembra proprio una grossa cantonata.
Prendiamo la funzione costante uguale a 1, f(x)=1 (più limitata di così!) e la funzione integrale:
F(x)= $\int_{0}^{x} f(t) dt$
E' chiaro che F(x)= x e che F(x) non è limitata.

Allora, quale sarebbe la condizione mancante? L'integranda deve avere un comportamento asintotico all'$oo$?

[Paolo902]

No, ma frena, il ragionamento tiene: la funzione integrale è limitata perchè comunque $x>0$ (estremo superiore > estremo inferiore) e poi bisogna escludere il caso $x->+oo$ (avremmo un integrale improprio).

Il fatto che f sia limitata è "ovvio" (a un certo punto mi devo fermare e il rettangolo che ha altezza costante uguale a 1 ha sempre base finita, a meno che - ripeto - il caso $+oo$); volendo, lo si può provare - credo - con il teorema di Weierstrass (infatti, la funzione integrale è continua in un qualsiasi intervallo chiuso e limitato $[0, a]$, con $a$ opportuna costante reale positiva, quindi limitata).

Giusto?

[sylowww]

Un modo per dimostrare la limitatezza potrebbe essere il seguente:
1. la funzione integranda , la chiamo f(t), è continua in R , quindi possiamo giurare che anche la funzione integrale lo è; per dimostrare che una funzione continua in R è limitata è sufficiente dimostrare che è limitata in un intorno di meno infinito e in un intorno di più infinito;

2. Ragioniamo anzitutto per x > 0. Per il teorema della media, per ogni x>0:
$ F(x)= (2x-x)*f(c) $
dove f(t) è la funzione integranda e c un punto opportuno , dipendente da x e appartenente all'intervallo (x,2x). Poichè la funzione integranda è strettamente decrescente nell'intervallo (x,2x), possiamo affermare, anche senza conoscere c, che f(c) $ F(x)= x*f(c)0
Passando al limite per x che tende a più infinito otteniamo che risulta:
F(x)<1 per x che tende a più infinito
ovvero la funzione è limitata in un intorno di più infinito

3. Ragionando analogamente per x<0 puoi concludere.

[Paolo902]

Scusate, ma o sono rincitrullito io di brutto e la maturità mi ha cimito quei pochi neuroni che avevo, o non ho capito. Intuitivamente: parlando di integrale di Riemann, quindi immaginando di dividere l'intervallo $[a,b]$ sull'asse $x$ in tanti pezzettini, e sommare poi l'area dei rettangolini di base $\Deltax$ e altezza $f(x)$, mi pare logico aspettarsi il seguente fatto: se la funzione integranda è limitata, ovvero non va più "su di un certo punto", l'area dei rettangolini è sempre finita e quindi la loro somma è finita. Che cosa c'è che non va in questa frase? E nella dimostrazione di sopra?

[Andrea902]

Allora: con Derive ho visto che l'asintoto orizzontale della funzione integrale è $y=ln2$. Dire che $F(x)<1$ implica che $y=1$ sia asintoto orizzontale? Perchè se così fosse, c'è qualcosa che non va...
Inoltre procedendo con il metodo proposto da sylowww dimostriamo che la funzione è limitata superiormente, ma non inferiormente. O sbaglio?