Funzione integrale limitata
Buonasera a tutti!
Ho un dubbio. Mi viene chiesto di dimostrare che una funzione integrale (già assegnata) è limitata. Prima di entrare nel caso specifico, vorrei ragionare nel caso generale, se possibile.
Per dimostrare che una funzione è limitata, posso provare che ammette due asintoti orizzontali e verificare se è contenuta nella striscia di piano compresa fra i due asintoti? (Se sì come posso fare?!). Come posso procedere con il ragionamento?
Per la cronaca la funzione integrale con cui sto lavorando è la seguente: $\int_{x}^{2x} (t^3+1)/(t^4+t^2+1) dt$. Devo dimostrare che è limitata senza determinare esplicitamente la sua espressione analitica.
Ringrazio anticipatamente tutti coloro che mi aiuteranno!
Andrea
Ho un dubbio. Mi viene chiesto di dimostrare che una funzione integrale (già assegnata) è limitata. Prima di entrare nel caso specifico, vorrei ragionare nel caso generale, se possibile.
Per dimostrare che una funzione è limitata, posso provare che ammette due asintoti orizzontali e verificare se è contenuta nella striscia di piano compresa fra i due asintoti? (Se sì come posso fare?!). Come posso procedere con il ragionamento?
Per la cronaca la funzione integrale con cui sto lavorando è la seguente: $\int_{x}^{2x} (t^3+1)/(t^4+t^2+1) dt$. Devo dimostrare che è limitata senza determinare esplicitamente la sua espressione analitica.
Ringrazio anticipatamente tutti coloro che mi aiuteranno!
Andrea
Risposte
Temo che non ti siano chiare alcune cosette...
1) Il controesempio che ti ho illustrato dimostra in modo inequivocabile che la funzione integrale di una funzione limitata può NON essere limitata.
Considera f(t) =1 e supponiamo x>0; l'intergale tra 0 e x di f(t) rappresenta l'area del rettangolo che ha come base l'intervallo [0,x] e come altezza 1.
E' chiaro che quando x tende a più infinito l'area di questo rettangolo diventa infinita, quindi la funzione integrale tra 0 e x di f(t) non è limitata.
2) Il tuo ragionamento è troppo intuitivo: stai mescondo cose diverse, un conto è un integrale di una funzione continua su un intervallo [a, b] FISSATO, un conto è una funzione intergrale che rappresenta l'area su un intervallo [0, x ] con x VARIABILE, potendo appunto x tendere a infinito.
3) Il mio ragionamento implica la limitatezza per x che tende a più infinito; ho scritto che devi ripetere un ragionamento analogo per x<0 per dimostrare la limitatezza anche per x che tende a meno infinito .
4) Avere dimostrato che la funzione è minore di 1 implica sotanto che l'asintoto orizzontale è una retta del tipo y = a, con a minore o uguale a 1.
Infatti ln2 è minore di 1. Ti confermo che y = ln2 è asintoto orizzontale; questo si può dimostare con una stima asintotica dell'integranda.
5) I ragionamenti che avevate fatto voi sono giusti fino a che si arriva a dire che la funzione F(x) è minore di ax, con a costante opportuna positiva: ma a questo punto ax tende a più infinito per x che tende a più infinito, quindi non ce ne facciamo nulla: sapere che una funzione è minore di una che tende a più infinito non permette di trarre informazioni: la funzione può essa stessa tendere a più infinito (e quindi non essere limitata) oppure tendere a un numero finito (e quindi essere invece limitata).
1) Il controesempio che ti ho illustrato dimostra in modo inequivocabile che la funzione integrale di una funzione limitata può NON essere limitata.
Considera f(t) =1 e supponiamo x>0; l'intergale tra 0 e x di f(t) rappresenta l'area del rettangolo che ha come base l'intervallo [0,x] e come altezza 1.
E' chiaro che quando x tende a più infinito l'area di questo rettangolo diventa infinita, quindi la funzione integrale tra 0 e x di f(t) non è limitata.
2) Il tuo ragionamento è troppo intuitivo: stai mescondo cose diverse, un conto è un integrale di una funzione continua su un intervallo [a, b] FISSATO, un conto è una funzione intergrale che rappresenta l'area su un intervallo [0, x ] con x VARIABILE, potendo appunto x tendere a infinito.
3) Il mio ragionamento implica la limitatezza per x che tende a più infinito; ho scritto che devi ripetere un ragionamento analogo per x<0 per dimostrare la limitatezza anche per x che tende a meno infinito .
4) Avere dimostrato che la funzione è minore di 1 implica sotanto che l'asintoto orizzontale è una retta del tipo y = a, con a minore o uguale a 1.
Infatti ln2 è minore di 1. Ti confermo che y = ln2 è asintoto orizzontale; questo si può dimostare con una stima asintotica dell'integranda.
5) I ragionamenti che avevate fatto voi sono giusti fino a che si arriva a dire che la funzione F(x) è minore di ax, con a costante opportuna positiva: ma a questo punto ax tende a più infinito per x che tende a più infinito, quindi non ce ne facciamo nulla: sapere che una funzione è minore di una che tende a più infinito non permette di trarre informazioni: la funzione può essa stessa tendere a più infinito (e quindi non essere limitata) oppure tendere a un numero finito (e quindi essere invece limitata).
Ho capito. Ma quando $x<0$ la funzione integranda è sempre al di sotto del medesimo asintoto $y=ln2$. Il mio dubbio è se bisogna ricercare un minimo, essendo già stato fissato l'estremo superiore che è $ln2$ a quanto pare. In altri termini, ho capito che la funzione integrale è limitata superiormente, ma cosa "succede sotto"?
Io non ho capito.
"Paolo90":
Io non ho capito.
Ti riferisci a ciò che ho scritto io?!
"Andrea90":
[quote="Paolo90"]Io non ho capito.
Ti riferisci a ciò che ho scritto io?![/quote]
No, tranquillo.
Non ho capito - al di là delle mie considerazioni intuitive - dov'è l'errore nella dimostrazione che ho postato: anche Steven era d'accordo, non mi spiego dove sia l'errore.
In realtà non è chiaro neanche a me il ragionamento seguito da sylowww....mi sembra che in quel modo si giustifica solo il fatto che la funzione integrale è limitata superiormente. Forse è il grafico che mi trae in inganno, provate a tracciarlo e magari ragioniamo sul grafico (anche se non è questa la strategia di risoluzione richiesta dal testo!)...
Allora vediamo se riesco a spiegartvi dove sta l'errore.
1) Indico con F(x) è la funzione integrale che vogliamo mostrare essere limitata.
2) Voi arrivate a dimostrare che |F(x)|< a[h(x)-g(x)] e fin qui tutto ok. Ma questo NON implica che allora F(x) è limitata: per poterlo dire dovreste dimostrare infatti che ANCHE h(x)-g(x) è limitata.
3) Nel caso specifico abbiamo che :
h(x)-g(x)=x e arrivate a dire che |F(x)|0 . Di nuovo, questo NON implica che F(x) è limitata. Non ci credete ?
Per convincervi: prendiamo la funzione F(x)= x/2 . Ora è certamente |F(x)|< x per x>0, quindi la funzione F(x)=x/2 soddisfa la condizione |F(x)|0 con a = 1, tuttavia è chiaro a tutti che F(x)=x/2 NON è limitata.
Cos'è che non capite????!!!!
1) Indico con F(x) è la funzione integrale che vogliamo mostrare essere limitata.
2) Voi arrivate a dimostrare che |F(x)|< a[h(x)-g(x)] e fin qui tutto ok. Ma questo NON implica che allora F(x) è limitata: per poterlo dire dovreste dimostrare infatti che ANCHE h(x)-g(x) è limitata.
3) Nel caso specifico abbiamo che :
h(x)-g(x)=x e arrivate a dire che |F(x)|
Per convincervi: prendiamo la funzione F(x)= x/2 . Ora è certamente |F(x)|< x per x>0, quindi la funzione F(x)=x/2 soddisfa la condizione |F(x)|
Cos'è che non capite????!!!!
Ho capito a cosa si riferisce sylowww. Ma allora cerchiamo di fare ordine; con il metodo che sylowww ci ha consigliato di seguire, abbiamo dimostrato che la funzione integrale $F(x)$ è limitata superiormente. E per quanto riguarda la limitazione inferiore? Forse non sto riuscendo a farvi capire cosa intendo dire. Tracciate il grafico della funzione integrale (io l'ho fatto con Derive) e sia per $x->+oo$ che per $x->-oo$ la funzione tende a $ln2$. Dunque $ln2$ risulta essere l'estremo superiore. Ma cosa succede "sotto"? Non capisco questo passaggio...
Dopo aver riflettuto sul grafico magari ritorniamo al ragionamento generale da seguire in quanto non è richiesto affatto il grafico della funzione integrale... ma in questo caso, forse, ci viene in aiuto!
Dopo aver riflettuto sul grafico magari ritorniamo al ragionamento generale da seguire in quanto non è richiesto affatto il grafico della funzione integrale... ma in questo caso, forse, ci viene in aiuto!
Ho dimostrato che F(x)<1 per x che tende a più infinito; per x>0 è ovvio che la funzione integranda è positiva e quindi anche la funzione integrale, dunque per x che tende a più infinito posso dire che 0
Ora, se dimostro che anche il limite per x che tende a meno infinito della funzione F(x) è finito, posso concludere che la funzione F(x) è limitata (infatti una funzione continua in R , con limiti finiti per x che tende a meno infinito e più infinito è limitata).
Ora, se dimostro che anche il limite per x che tende a meno infinito della funzione F(x) è finito, posso concludere che la funzione F(x) è limitata (infatti una funzione continua in R , con limiti finiti per x che tende a meno infinito e più infinito è limitata).
scusate, non ho seguito tutta la discussione, ma qual è il problema?
se $|F(x)|$ è limitata, $-|F(x)|<=F(x)<=|F(x)|$, dunque anche $F(x)$ è limitata. il problema potrebbe essere forse sull'intervallo di integrazione, ma se $x in RR$, $x$ è per definizione limitato, e mi pare che un bel po' di post fa si parlava di $[x,2x]$ come intervallo di integrazione ...
se $|F(x)|$ è limitata, $-|F(x)|<=F(x)<=|F(x)|$, dunque anche $F(x)$ è limitata. il problema potrebbe essere forse sull'intervallo di integrazione, ma se $x in RR$, $x$ è per definizione limitato, e mi pare che un bel po' di post fa si parlava di $[x,2x]$ come intervallo di integrazione ...
"adaBTTLS":
scusate, non ho seguito tutta la discussione, ma qual è il problema?
se $|F(x)|$ è limitata, $-|F(x)|<=F(x)<=|F(x)|$, dunque anche $F(x)$ è limitata. il problema potrebbe essere forse sull'intervallo di integrazione, ma se $x in RR$, $x$ è per definizione limitato, e mi pare che un bel po' di post fa si parlava di $[x,2x]$ come intervallo di integrazione ...
Mi sento già un po' più tranquillo...
mi fa piacere ... almeno avrò contribuito a non far passare una notte insonne!
Ada,
scusa ma ti invito a leggere la discussione e a intervenire in modo più approppriato.
Io sono intervenuto perchè non mi sembrava accettabile che un moderatore (steven) appoggiasse una palese sciocchezza e cioè il fatto che la funzione integrale di una funzione limitata è anch'essa limitata.
Ho fornito il controesempio, assai banale: f(t)=1 (più limitata di così!) e la funzione integrale da 0 a x di f(t), che chiaramente è F(x)=x, ovviamente illimitata, ma non è servito a convincere!!!
Ora esci tu con l'affermazione che se |F(x)| è limitata anche F(x) è limitata: ovvio, ma non era questo il problema.
Non capisco nemmeno perchè ti rende tranquilla il fatto che l'intervallo di integrazione sia limitato : ogni funzione continua in R è limitata su ogni intervallo chiuso e limitato, ma ovviamente questo non implica che la funzione sia limitata!
Paolo90 , dopo questa tua affermazione, si sente più tranquillo del fatto che la sua dimostrazione (sbagliata) sia corretta..... !!!??? E a te fa pure piacere che possa dormire sonni tranquilli....
Scusate se sono polemico, ma penso che un moderatore dovrebbe evitare che vengano avvallate sciocchezze, non essere felice di contribuire ad alimentarle.
scusa ma ti invito a leggere la discussione e a intervenire in modo più approppriato.
Io sono intervenuto perchè non mi sembrava accettabile che un moderatore (steven) appoggiasse una palese sciocchezza e cioè il fatto che la funzione integrale di una funzione limitata è anch'essa limitata.
Ho fornito il controesempio, assai banale: f(t)=1 (più limitata di così!) e la funzione integrale da 0 a x di f(t), che chiaramente è F(x)=x, ovviamente illimitata, ma non è servito a convincere!!!
Ora esci tu con l'affermazione che se |F(x)| è limitata anche F(x) è limitata: ovvio, ma non era questo il problema.
Non capisco nemmeno perchè ti rende tranquilla il fatto che l'intervallo di integrazione sia limitato : ogni funzione continua in R è limitata su ogni intervallo chiuso e limitato, ma ovviamente questo non implica che la funzione sia limitata!
Paolo90 , dopo questa tua affermazione, si sente più tranquillo del fatto che la sua dimostrazione (sbagliata) sia corretta..... !!!??? E a te fa pure piacere che possa dormire sonni tranquilli....
Scusate se sono polemico, ma penso che un moderatore dovrebbe evitare che vengano avvallate sciocchezze, non essere felice di contribuire ad alimentarle.
non ti preoccupare se ti senti polemico. se sei convinto di quello che affermi, è giusto puntualizzare.
da parte mia, ti prometto che rileggerò con calma.
dico però a te quello che ho capito e che mi sembrava sufficiente per la discussione iniziale (poi forse si è entrati in dettagli che ho sorvolato):
$int_a^b\|f(x)|dx<=(b-a)*k$, dove $k= "sup"|f(x)|$.
sicuramente tu volevi dire altro, ma mi pare che ci sia stato un fraintendimento in tutti i sensi: magari hanno affermato cose inesatte, però ho l'impressione che tu parlassi di dettagli che poco avevano a che fare con quello che loro intendevano dimostrare.
va bene, domani a mente fresca ci ritornerò su.
intanto anche per Paolo90 rimane questa mia affermazione: se non è coerente con il loro discorso, potrà prenderne atto.
da parte mia, ti prometto che rileggerò con calma.
dico però a te quello che ho capito e che mi sembrava sufficiente per la discussione iniziale (poi forse si è entrati in dettagli che ho sorvolato):
$int_a^b\|f(x)|dx<=(b-a)*k$, dove $k= "sup"|f(x)|$.
sicuramente tu volevi dire altro, ma mi pare che ci sia stato un fraintendimento in tutti i sensi: magari hanno affermato cose inesatte, però ho l'impressione che tu parlassi di dettagli che poco avevano a che fare con quello che loro intendevano dimostrare.
va bene, domani a mente fresca ci ritornerò su.
intanto anche per Paolo90 rimane questa mia affermazione: se non è coerente con il loro discorso, potrà prenderne atto.
nonostante l'ora, ho riletto, credo, tutti i passaggi importanti.
la funzione integranda è "funzione" di $t$, la funzione integrale è "funzione" di $x$.
quello che abbiamo affermato quasi tutti è che, se x è limitato, allora dalla limitatezza di $f(t)$ segue la limitatezza di $F(x)$.
e questo è abbastanza ovvio.
l'obiezione di sylowww riguarda la limitatezza di $F(x)$ come funzione $AA x in RR$, e quindi anche per $x->+-oo$.
allora, solo l'autore del post ci potrà confermare che cos'era da dimostrare, ma è chiaro che se non si tratta solo di esprimere la limitatezza di un integrale ma dell'intera funzione per ogni valore reale, allora sylowww ha perfettamente ragione.
e non c'entra assolutamente nulla la limitatezza solo superiore o in modulo o tutti quegli altri bei discorsi fatti prima ...
bando alle ciance, vi propongo una possibile soluzione, sintetizzando molto sulle parti di cui si è già parlato fin troppo:
- se $x=0$, allora $2x=x$, e la funzione integrale vale $F(0)=0$;
- notiamo inoltre che la funzione integranda si può scrivere in forma semplificata, come detto da Steven, come $f(t)=(t+1)/(t^2+t+1)$, con $t^2+-t+1 !=0 AA t in RR$;
- una primitiva della funzione $f(t)$ (se non ho sbagliato i calcoli) è $G(t)=1/2log(t^2+t+1)+(4sqrt3)/9arctg(2/sqrt3t+1/sqrt3)$;
- se $x !=0$,
$F(x)=1/2[log(4x^2+2x+1)-log(x^2+x+1)]+(4sqrt3)/9[arctg((4x)/sqrt3+1/sqrt3)-arctg((2x)/sqrt3+1/sqrt3)]=$
$=1/2[log((4x^2+2x+1)/(x^2+x+1))]+(4sqrt3)/9[arctg((4x)/sqrt3+1/sqrt3)-arctg((2x)/sqrt3+1/sqrt3)]$
la funzione arcotangente è sempre limitata; il logaritmo no, però l'argomento di tale logaritmo non si annulla mai, è sempre positivo, né si annulla mai il denominatore, ed inoltre è limitato in quanto anche i limiti per $x->+-oo$ sono limitati (sono uguali a $4$).
dunque $F(x)$ è limitata.
P.S.: temevo che risultasse illimitata, ed in un certo senso sarebbe stata quasi una liberazione, rimandando la questione al testo del problema.
spero di non aver detto troppe sciocchezze. ciao.
la funzione integranda è "funzione" di $t$, la funzione integrale è "funzione" di $x$.
quello che abbiamo affermato quasi tutti è che, se x è limitato, allora dalla limitatezza di $f(t)$ segue la limitatezza di $F(x)$.
e questo è abbastanza ovvio.
l'obiezione di sylowww riguarda la limitatezza di $F(x)$ come funzione $AA x in RR$, e quindi anche per $x->+-oo$.
allora, solo l'autore del post ci potrà confermare che cos'era da dimostrare, ma è chiaro che se non si tratta solo di esprimere la limitatezza di un integrale ma dell'intera funzione per ogni valore reale, allora sylowww ha perfettamente ragione.
e non c'entra assolutamente nulla la limitatezza solo superiore o in modulo o tutti quegli altri bei discorsi fatti prima ...
bando alle ciance, vi propongo una possibile soluzione, sintetizzando molto sulle parti di cui si è già parlato fin troppo:
- se $x=0$, allora $2x=x$, e la funzione integrale vale $F(0)=0$;
- notiamo inoltre che la funzione integranda si può scrivere in forma semplificata, come detto da Steven, come $f(t)=(t+1)/(t^2+t+1)$, con $t^2+-t+1 !=0 AA t in RR$;
- una primitiva della funzione $f(t)$ (se non ho sbagliato i calcoli) è $G(t)=1/2log(t^2+t+1)+(4sqrt3)/9arctg(2/sqrt3t+1/sqrt3)$;
- se $x !=0$,
$F(x)=1/2[log(4x^2+2x+1)-log(x^2+x+1)]+(4sqrt3)/9[arctg((4x)/sqrt3+1/sqrt3)-arctg((2x)/sqrt3+1/sqrt3)]=$
$=1/2[log((4x^2+2x+1)/(x^2+x+1))]+(4sqrt3)/9[arctg((4x)/sqrt3+1/sqrt3)-arctg((2x)/sqrt3+1/sqrt3)]$
la funzione arcotangente è sempre limitata; il logaritmo no, però l'argomento di tale logaritmo non si annulla mai, è sempre positivo, né si annulla mai il denominatore, ed inoltre è limitato in quanto anche i limiti per $x->+-oo$ sono limitati (sono uguali a $4$).
dunque $F(x)$ è limitata.
P.S.: temevo che risultasse illimitata, ed in un certo senso sarebbe stata quasi una liberazione, rimandando la questione al testo del problema.
spero di non aver detto troppe sciocchezze. ciao.
Allora; ricapitoliamo.
Si dimostri che la funzione $\int_{x}^{2x} (t^3+1)/(t^4+t^2+1) dt$ è limitata, senza determinare esplicitamente la sua espressione analitica.
Ho i seguenti dubbi:
1) Se dimostro che agli estremi del campo di esistenza la funzione ammette limite finito (seguendo la strada si sylowww) posso già concludere che la funzione è limitata poiché è continua? Perchè?
2) Può essere utile studiare la funzione integranda?
Si dimostri che la funzione $\int_{x}^{2x} (t^3+1)/(t^4+t^2+1) dt$ è limitata, senza determinare esplicitamente la sua espressione analitica.
Ho i seguenti dubbi:
1) Se dimostro che agli estremi del campo di esistenza la funzione ammette limite finito (seguendo la strada si sylowww) posso già concludere che la funzione è limitata poiché è continua? Perchè?
2) Può essere utile studiare la funzione integranda?
nel finito, essendo la funzione integranda continua ovunque (con $D=RR$), allora una semplice applicazione del teorema di Weierstrass e di quanto detto ampiamente da noi ci garantisce la limitatezza (nel finito, appunto) della funzione integrale.
all'infinito, certamente è utile studiare i limiti, ma ovviamente non basta assicurarsi che tali limiti siano nulli, va anche fatto il confronto con le tipiche funzioni ($t^alpha$).
io ho trovato, spero senza errori, la funzione integranda (forse più per convincere me che per altro), mentre il testo, a quanto pare, dice di non determinarla esplicitamente.
purtroppo però il confronto con $1/t$ porta ad un limite finito ma non nullo. quindi, se fosse una generica funzione integrale con estremi d'integrazione $0$ ed $x$, temo che non sarebbe limitata. qui abbiamo di diverso e di insolito che se il secondo estremo tende a $+oo$ (nel caso $x>0$, ma vale una cosa analoga per il caso $x<0$), allora tende a $+oo$ anche il primo estremo.
io a questo punto mi fermo qui. depongo le armi (siamo nella sezione di Scuola secondaria!). sono in attesa di altri suggerimenti.
all'infinito, certamente è utile studiare i limiti, ma ovviamente non basta assicurarsi che tali limiti siano nulli, va anche fatto il confronto con le tipiche funzioni ($t^alpha$).
io ho trovato, spero senza errori, la funzione integranda (forse più per convincere me che per altro), mentre il testo, a quanto pare, dice di non determinarla esplicitamente.
purtroppo però il confronto con $1/t$ porta ad un limite finito ma non nullo. quindi, se fosse una generica funzione integrale con estremi d'integrazione $0$ ed $x$, temo che non sarebbe limitata. qui abbiamo di diverso e di insolito che se il secondo estremo tende a $+oo$ (nel caso $x>0$, ma vale una cosa analoga per il caso $x<0$), allora tende a $+oo$ anche il primo estremo.
io a questo punto mi fermo qui. depongo le armi (siamo nella sezione di Scuola secondaria!). sono in attesa di altri suggerimenti.
Insomma... per essere un esercizio tratto da un testo per le Scuole Superiori mi sembra sufficientemente complicato. Per giunta dopo questa richiesta iniziale, ne vengono proposte altre due!
Anche io sono in attesa di altri suggerimenti.
Anche io sono in attesa di altri suggerimenti.
1) Il testo parla chiaramente di dimostrare che la FUNZIONE è limitata, come del resto mi pare fosse stato inteso da tutti fin dall'inizio. Infatti si è fatto riferimento anche alla definizione di FUNZIONE LIMITATA. Spero con ciò che vi siate convinti che avevo ragione (Che l'integrale è limitato è ovvio essendo la funzione integranda continua e l'intervallo di integrazione limitato....). Ma funzione e integrale sono concetti ben diversi, che non possiamo certo permetterci di confondere. Il testo parla chiaramente di FUNZIONE.
2) Certamente si tratta di un esercizio non standard. Ho rintracciato il testo su cui compare, e infatti è proposto tra gli esercizi di approfondimento nella sezione delle "sfide matematiche". A me esercizi simili venivano proposti all'esame di analisi I.
3) I suggerimenti ve li ho dati, ma non li volete seguire. Essendo la funzione continua, la strada per dimostrare la limitatezza è quella di dimostrare che i limiti a più e meno infinito sono finiti. Per fare ciò si può ricorrere al teorema della media e/o ad opportune maggiorazioni della funzione integranda. Tra l'altro questo mio modo di procedere non è una mia invenzione: al mio esame di analisi la mia prof. emerita risolveva questi esercizi proprio come vi ho suggerito, quindi....se non vi fidate di me, fidatevi almeno di lei!
2) Certamente si tratta di un esercizio non standard. Ho rintracciato il testo su cui compare, e infatti è proposto tra gli esercizi di approfondimento nella sezione delle "sfide matematiche". A me esercizi simili venivano proposti all'esame di analisi I.
3) I suggerimenti ve li ho dati, ma non li volete seguire. Essendo la funzione continua, la strada per dimostrare la limitatezza è quella di dimostrare che i limiti a più e meno infinito sono finiti. Per fare ciò si può ricorrere al teorema della media e/o ad opportune maggiorazioni della funzione integranda. Tra l'altro questo mio modo di procedere non è una mia invenzione: al mio esame di analisi la mia prof. emerita risolveva questi esercizi proprio come vi ho suggerito, quindi....se non vi fidate di me, fidatevi almeno di lei!
Personalmente non è che non mi fidi... Solo che mi è poco chiara la risoluzione.
Forse sarò io che sono andato in tilt, ma gentilmente potresti calcolare il limite con il teorema della media nel caso in cui $x<0$. Ti ringrazio molto...
P.S.: il testo in cui hai trovato l'esercizio è un testo di scuola superiore?!
Forse sarò io che sono andato in tilt, ma gentilmente potresti calcolare il limite con il teorema della media nel caso in cui $x<0$. Ti ringrazio molto...
P.S.: il testo in cui hai trovato l'esercizio è un testo di scuola superiore?!
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