Funzione integrale limitata

[Andrea902]

Buonasera a tutti!

Ho un dubbio. Mi viene chiesto di dimostrare che una funzione integrale (già assegnata) è limitata. Prima di entrare nel caso specifico, vorrei ragionare nel caso generale, se possibile.
Per dimostrare che una funzione è limitata, posso provare che ammette due asintoti orizzontali e verificare se è contenuta nella striscia di piano compresa fra i due asintoti? (Se sì come posso fare?!). Come posso procedere con il ragionamento?

Per la cronaca la funzione integrale con cui sto lavorando è la seguente: $\int_{x}^{2x} (t^3+1)/(t^4+t^2+1) dt$. Devo dimostrare che è limitata senza determinare esplicitamente la sua espressione analitica.

Ringrazio anticipatamente tutti coloro che mi aiuteranno!

Andrea

[adaBTTLS1]

"sylowww":Un modo per dimostrare la limitatezza potrebbe essere il seguente:
1. la funzione integranda , la chiamo f(t), è continua in R , quindi possiamo giurare che anche la funzione integrale lo è; per dimostrare che una funzione continua in R è limitata è sufficiente dimostrare che è limitata in un intorno di meno infinito e in un intorno di più infinito;

2. Ragioniamo anzitutto per x > 0. Per il teorema della media, per ogni x>0:
$ F(x)= (2x-x)*f(c) $
dove f(t) è la funzione integranda e c un punto opportuno , dipendente da x e appartenente all'intervallo (x,2x). Poichè la funzione integranda è strettamente decrescente nell'intervallo (x,2x), possiamo affermare, anche senza conoscere c, che f(c) $ F(x)= x*f(c)0
Passando al limite per x che tende a più infinito otteniamo che risulta:
F(x)<1 per x che tende a più infinito
ovvero la funzione è limitata in un intorno di più infinito

3. Ragionando analogamente per x<0 puoi concludere.

qualcosa doveva essermi sfuggito questa notte...
io so che $f(t)=1/t$ non è sommabile nell'intorno dell'infinito, ma ha lo stesso andamento asintotico della funzione integranda in questione.
io ho pensato che la questione della possibile sommabilità fosse legato al fatto che entrambi gli estremi di integrazione tendono all'infinito, ma se tu parli di $(2x-x)=x -> oo$, allora che cosa cambia in questo caso?

[sylowww]

Vi posto una soluzione per x>0 senza teorema della media, un po' "più pulita" della precedente. Provate ad adattarla per x<0 in modo da dimostrare la limitatezza anche quando x tende a meno infinito, se non ci riesciute vi posto successivamente la soluzione anche per x<0.

Sia x>0 . La funzione integranda $ f(t)=(t^3+1)/(t^4+t^2+1) $ è strettamente decrescente per t>0, quindi nell'intervallo [x, 2x] risulta:
$f(2x) E quindi, integrando tra x e 2x:
$\int_x^(2x)f(2x)dt<\int_x^(2x)f(t)dt< \int_x^(2x)f(x)dt$
ossia:
$\ f(2x)*int_x^(2x)dt<\int_x^(2x)f(t)dt< f(x)* \int_x^(2x)dt$
da cui:
$f(2x)*(2x-x)<\int_x^(2x)f(t)dt ossia:
$ x* f(2x)<\int_x^(2x)f(t)dt< x*f(x)
Ora passando al limite il limite al primo membro è 1/2 e quello al terzo è 1, quindi:
$1/2<\lim_{x \to \+infty}\int_x^(2x)f(t)dt<1$
Quindi il limite della funzione integrale per x che tende a più infinito è finito.

[Andrea902]

Potresti postare gentilmente anche la dimostrazione per $x<0$? Ho seguito la prima parte e comincio a capirci qualcosa!

[sylowww]

Per Ada: proprio così, 1/t non è sommabile in un intorno di infinito, in questo caso sono gli estremi di integrazione che fanno la differenza.
In effetti la funzione proprosta non è una vera e propria funzione integrale ma una differenza di due funzioni integrali. Per esempio si può riscrivere così:

F(x)= $\int_{x}^{0} ((t^3+1)/(t^4+t^2+1))dt+\int_{0}^{2x} ((t^3+1)/(t^4+t^2+1))dt$=
= $\int_{0}^{2x} ((t^3+1)/(t^4+t^2+1))dt- \int_{0}^{x} ((t^3+1)/(t^4+t^2+1))dt$

A questo punto, se facciamo tendere x a più infinito, avremmo:

$\lim_{x \to \+infty}F(x)$=$\int_{0}^{+infty} ((t^3+1)/(t^4+t^2+1))dt-\int_{0}^{+infty} ((t^3+1)/(t^4+t^2+1))dt$

Ora le due integrande sono asintotiche a1/t, quindi i due integrali impropri divergono, tendendo entrambi a più infinito.
Avremmo quindi la forma indeterminata:
$ + infty - infty $
che non consente di concludere.
Utilizzando invece la stima asintotica da subito, abbiamo che:
$\lim_{x \to \+infty}\int_{x}^{2x} ((t^3+1)/(t^4+t^2+1))dt=\lim_{x \to \+infty}\int_{x}^{2x} (1/t)dt=\lim_{x \to \+infty}(ln(2x)-ln(x))=ln(2)$

E con ciò abbiamo risolto anche il problema del calcolo ddel limite.

[Steven11]

Intervengo per riconoscere che dovevo in realtà correggere i post precedenti.

Anche se in mente avevo quanto detto da adaBTTLS

scusate, non ho seguito tutta la discussione, ma qual è il problema?
se $|F(x)|$ è limitata, $-|F(x)|<=F(x)<=|F(x)|$, dunque anche $F(x)$ è limitata. il problema potrebbe essere forse sull'intervallo di integrazione, ma se $x in RR$, $x$ è per definizione limitato, e mi pare che un bel po' di post fa si parlava di $[x,2x]$ come intervallo di integrazione ...

sylowww ha ragione nel dire che non si può estendere (si trascura il fatto fondamentale di una possibile divergenza a +oo della funzione).

Chiedo scusa, quindi, e spero che Paolo90 la prossima volta si fidi un po' meno.

[adaBTTLS1]

grazie, sylowww.

penso che la versione che hai definito "senza teorema della media, un po' "più pulita" della precedente" sia la strategia migliore per affrontare il problema.
quello che hai riscritto in più per me conferma il risultato diretto trovato da me la notte scorsa, in quanto risulta $lim_(x->+oo)\F(x)=ln2$ (ricopio la F(x)):

$F(x)=1/2[log((4x^2+2x+1)/(x^2+x+1))]+(4sqrt3)/9[arctg((4x)/sqrt3+1/sqrt3)-arctg((2x)/sqrt3+1/sqrt3)]$

se hai qualche altro suggerimento, ben venga. ciao.

[Andrea902]

In definitiva: dimostrando che la funzione integrale è limitata quando $x->-oo$ e quando $x->+oo$ garantisce che sia sicuramente limitata? Mi spiego meglio. La funzione si trova tutta al di sotto del suo asintoto orizzontale $y=ln2$, ma cosa ci garantisce che sotto non tenda ad assumere valori infiniti? Per caso è la continuità che ce lo garantisce?

Ho utilizzato un linguaggio un po' intuitivo ma forse rende meglio il mio dubbio.

Per sylowww. Ho provato ad adattare la dimostrazione per $x<0$ ma non ne sto venendo a capo (forse è il caldo!). Potresti fornirmela?
Ti ringrazio.

[sylowww]

In definitiva: dimostrando che la funzione integrale è limitata quando $x->-oo$ e quando $x->+oo$ garantisce che sia sicuramente limitata?

SI

Mi spiego meglio. La funzione si trova tutta al di sotto del suo asintoto orizzontale $y=ln2$, ma cosa ci garantisce che sotto non tenda ad assumere valori infiniti? Per caso è la continuità che ce lo garantisce?

Una funzione può tendere a infinito agli estremi del suo insieme di definizione oppure in un punto dove non è definita, in cui presenta un asintoto verticale.
Dimostrando che la funzione è limitata quando $x->-oo$ e quando $x->+oo$ , esculudiamo la prima possibilità (cioè che tenda a infinito agli estremi del suo insieme di definizione); la continuità della funzione in R esclude la seconda possibilità (non possono esserci asintoti verticali). Dunque la funzione è limitata.


Per sylowww. Ho provato ad adattare la dimostrazione per $x<0$ ma non ne sto venendo a capo (forse è il caldo!). Potresti fornirmela?
Ti ringrazio.

Ok, appena ho un attimo la posto.

[Paolo902]

Buongiorno a tutti.

Anzitutto chiedo scusa se sono "scomparso" durante la giornata di ieri, ma alcuni problemi familiari mi hanno impedito di trovare il tempo per accedere al forum.

Chiedo SCUSA per i miei errori, chiedo profondamente scusa per la mia manifesta ignoranza. Spero che i miei errori non abbiano confuso le idee a nessuno e, anzi, possano offrire un aiuto a qualcuno (della serie "strade da non prendere" o "cose da evitare"). Mi vergogno di me stesso e vi chiedo scusa.

Grazie a tutti e scusate ancora.
Paolo

[Andrea902]

Caro Paolo, stai tranquillo. Si può sempre sbagliare! In ogni caso i tuoi suggerimenti non erano del tutto errati! Nel caso in cui lo fossero stati, ricorda che errare humanum est...!

Colgo l'occasione per ringraziare sylowww per la sua disponibilità!

[sylowww]

Ecco la variante per x<0.
Sia x<0 . La funzione integranda $ f(t)=(t^3+1)/(t^4+t^2+1) $ è strettamente decrescente per t<-2. Suppongo quindi, per comodità, non x<0 ma x<-2. Ciò è lecito perchè siamo interesati al calcolo del limite per x che tende a meno infinito.
Occorre tenere presente che, se x<0, allora 2x $f(x) E quindi, integrando tra 2x e x :
$\int_(2x)^(x)f(x)dt<\int_(2x)^(x)f(t)dt< \int_(2x)^(x)f(2x)dt$
Moltiplico tutti i membri per -1 , invertendo il verso delle disuguaglianze:
$\-int_(2x)^(x)f(x)dt > -\int_(2x)^(x)f(t)dt> -\int_(2x)^(x)f(2x)dt$
ciò equivale, per le proprietà dell'integrale definito a :
$\int_(x)^(2x)f(x)dt>\int_(x)^(2x)f(t)dt> \int_(x)^(2x)f(2x)dt$
ossia a:
$\int_(x)^(2x)f(2x)dt<\int_(x)^(2x)f(t)dt< \int_(x)^(2x)f(x)dt$
da cui, come nel caso precedente:
$ x* f(2x)<\int_(x)^(2x)f(t)dt< x*f(x)
Ora passando al limite il limite per x che tende a meno infinito , il limite al primo membro è 1/2 e quello al terzo è 1, quindi:
$1/2<\lim_{x \to \-infty}\int_x^(2x)f(t)dt<1$
Quindi anche il limite della funzione integrale per x che tende a meno infinito è finito.

[sylowww]

PEr Andrea 90: non devi abbatterti per i tuoi errori. In matematica tutti commettono errori !
Poi come dice un proverbio : sbagliando si impara! E questo è vero più che mai in matematica: si impara di più da un esercizio sbagliato (di cui si sono capiti gli errori) che da 100 esercizi risolti correttamente!

[Andrea902]

Sylowww, forse ti riferivi a Paolo90!

Una cosa: quando è stato calcolato il limite nei post precedenti si è parlato di funzione sommabile e di stima asintotica. In cosa consistono? Sono appena uscito dalla scuola superiore e di questi concetti non ne ho mai sentito parlare!