Esercizio di geometria analitica sull'iperbole e parabola
Ciao a tutti dovrei risolvere questo problema d geomentria analitica e non sò come fare:
"La parabola di equazione Y=aX^2+c incontra l'iperbole XY=4 nel punto A di ascissa X=1 e nel vertice B dell'iperbole che appartiene al 1° quadrante. Scrivere l'equazione della parabola e calcolare le coordinate del punto C, ulteriore intersezione delle due curve. Determinare successivamente sul segmento CB un punto D in modo che sia verificata la relazione AD^2 + BD^2=33.
Le soluzioni sono:
Y= -2/3 X^2 +14/3; C(-3;-4/3); D(-1;0)
AIUTATEMI!!!! Sono 3 giorni che ci lavoro sopra e non riesco a risolverlo e domani ho il compito!!!!GRZ...
"La parabola di equazione Y=aX^2+c incontra l'iperbole XY=4 nel punto A di ascissa X=1 e nel vertice B dell'iperbole che appartiene al 1° quadrante. Scrivere l'equazione della parabola e calcolare le coordinate del punto C, ulteriore intersezione delle due curve. Determinare successivamente sul segmento CB un punto D in modo che sia verificata la relazione AD^2 + BD^2=33.
Le soluzioni sono:
Y= -2/3 X^2 +14/3; C(-3;-4/3); D(-1;0)
AIUTATEMI!!!! Sono 3 giorni che ci lavoro sopra e non riesco a risolverlo e domani ho il compito!!!!GRZ...
Risposte
hai 2 condizioni:
1) deve incontrare l'iperbole in A(1,y)
2) deve incontrare l'iperbole in B(2,2)
nota che la parabola ha asse di simmetria che coincide con l'asse y, ed è traslata lungo l'asse y. visto che incontra 2 volte l'iperbole nel primo quadrante, deve avere la concavità verso il basso (questo giustificherà il coefficiente negativo di x^2). ad ogni modo, dai due sistemi che usi per fare le intersezioni ottieni
a+c = 4
4a+c = 2
ora prova ad andare avanti da sola
1) deve incontrare l'iperbole in A(1,y)
2) deve incontrare l'iperbole in B(2,2)
nota che la parabola ha asse di simmetria che coincide con l'asse y, ed è traslata lungo l'asse y. visto che incontra 2 volte l'iperbole nel primo quadrante, deve avere la concavità verso il basso (questo giustificherà il coefficiente negativo di x^2). ad ogni modo, dai due sistemi che usi per fare le intersezioni ottieni
a+c = 4
4a+c = 2
ora prova ad andare avanti da sola
GRAZIE x l'aiuto!! Grazie a te sn riuscita a risolvere il problema... Spero ke ci sarai se la prox vlt avrò bisogno di 1 aiuto... Grazie ancora...
P.S. Poichè dmn ho compito, ho provato a farne 1 altro, ma m trovo in difficoltà al 2°e al 4° punto e sarei felice se m potresti aiutare...
Data l'iperbole di equazione XY=1, determinare
1) L'equazione della retta r tangente all'iperbole nel vertice V del 1° quadrante;
2) l'equazione X=aY^2+b della parabola tangente in V all'iperbole;
3) le coordinate dell'ulteriore intersezione P delle due curve e l'equazione della retta T, tangente in P all'iperbole;
4) la misura dell'area del triangolo VPM, dove M è il punto d intersezione delle rette R e T.
P.S. Poichè dmn ho compito, ho provato a farne 1 altro, ma m trovo in difficoltà al 2°e al 4° punto e sarei felice se m potresti aiutare...
Data l'iperbole di equazione XY=1, determinare
1) L'equazione della retta r tangente all'iperbole nel vertice V del 1° quadrante;
2) l'equazione X=aY^2+b della parabola tangente in V all'iperbole;
3) le coordinate dell'ulteriore intersezione P delle due curve e l'equazione della retta T, tangente in P all'iperbole;
4) la misura dell'area del triangolo VPM, dove M è il punto d intersezione delle rette R e T.
il vertice dle primo quadrante è il punto V(1,1)
per trovare la retta tangente in tale punto, metti a sistema l'equazione del fascio di rette centrato in V, ossia y-1 = m(x-1), con l'equazione dell'iperbole:
xy = 1
y-1 = m(x-1)
e imponi delta = 0, in modo tale che la soluzione sia una sola (condizione necessaria per la tangenza). da qui ricavi il valore di m.
il secondo punto è uguale al problema che ti ho fatto prima, solo che la parabola ha l'asse parallelo all'asse x in questo caso.
il terzo si tratta di fare nuovamente sistemi per trovare le intersezioni, mentre per il quarto, una volta trovato M (con un sistema, guarda caso..) puoi usare la formula della distanza tra due punti per trovare una base, e la formula della distanza punto retta per l'altezza ad essa relativa. in alternativa usi la regola di sarrus (matrice), che però ora dovrei ricavarmi perchè non ricordo perfettamente
per trovare la retta tangente in tale punto, metti a sistema l'equazione del fascio di rette centrato in V, ossia y-1 = m(x-1), con l'equazione dell'iperbole:
xy = 1
y-1 = m(x-1)
e imponi delta = 0, in modo tale che la soluzione sia una sola (condizione necessaria per la tangenza). da qui ricavi il valore di m.
il secondo punto è uguale al problema che ti ho fatto prima, solo che la parabola ha l'asse parallelo all'asse x in questo caso.
il terzo si tratta di fare nuovamente sistemi per trovare le intersezioni, mentre per il quarto, una volta trovato M (con un sistema, guarda caso..) puoi usare la formula della distanza tra due punti per trovare una base, e la formula della distanza punto retta per l'altezza ad essa relativa. in alternativa usi la regola di sarrus (matrice), che però ora dovrei ricavarmi perchè non ricordo perfettamente
blackangel un consiglio:la matematica nn deve essere lasciata all'ultimo giorno!!mi raccomando..non è italiano o storia che basta studiar..qui è indispensabile anche l'esercizio...mi raccomando eeeeeee......in bocca al lupo!
issima90:
blackangel un consiglio:la matematica nn deve essere lasciata all'ultimo giorno!!mi raccomando..non è italiano o storia che basta studiar..
non credo che gli insegnanti delle suddette inutili materie concordino
GRAZIE MILLE... 6 stato gentilissimo... unica cosa: ho provato a fare il punto 2° e m trovo 1 sistema cn 1 equazione di 3° grado e nn sò cm risolverlo dato ke ci sono anke i termini A e B...
Cmq issima90 nn sn arrivata all'ultimo minuto... è ke m stò esercitando e questi esercizi nn sn riuscita a svolgerli... cmq grazie x il consiglio
Cmq issima90 nn sn arrivata all'ultimo minuto... è ke m stò esercitando e questi esercizi nn sn riuscita a svolgerli... cmq grazie x il consiglio
scusa, qui la parabola è tangente, avevo letto male. inanto la parabola passa per (1,1), per cui 1 = a(1)^2 + b da cui ricavi a in funzione di b per esempio
poi il sistema è questo:
x = ay^2+b
xy = 1
dove ad a sostituisci il valore che ti sei trovata prima in funzione di b.
per la tangenza imponi sempre il delta = 0.
poi il sistema è questo:
x = ay^2+b
xy = 1
dove ad a sostituisci il valore che ti sei trovata prima in funzione di b.
per la tangenza imponi sempre il delta = 0.
Ok ci provo 1 attimo... poi t faccio sap :wall
ok
no asp scs tu hai detto d calcolare A in funzione d B quindi devo scrivere B=1-A^2?? e poi cm faccio a sostituirlo?
no, non ho elevato a al quadrato, ma 1.
perchè una curva passi per un punto, la sua equazione deve essere soddisfatta se ci metti dentro le coordinate del punto. in questo caso, la parabola era
x = ay^2 + b
ho sostituito ad x e y, rispettivamente 1 e 1 (deve passare per V(1,1)).
quindi diventa
1 = a(1)^2 + b
da cui
a = 1-b. al posto di a, nel sistema ci metti 1-b
perchè una curva passi per un punto, la sua equazione deve essere soddisfatta se ci metti dentro le coordinate del punto. in questo caso, la parabola era
x = ay^2 + b
ho sostituito ad x e y, rispettivamente 1 e 1 (deve passare per V(1,1)).
quindi diventa
1 = a(1)^2 + b
da cui
a = 1-b. al posto di a, nel sistema ci metti 1-b
Allora sn andata a sostituire nel sistema e m viene:
XY=1
X=(1-B)Y^2+B
X=1/Y
1/Y=(1-B)^2+B
X=1/Y
Y^3(1-B)+B-1=0
Ora nn riesco + ad andare avanti,xk essendo d 3° grado dovrei usare Ruffini. tuttavia essendoci il termine B è impossibile trovare 1 termine che annulli il polinomio...:wall
XY=1
X=(1-B)Y^2+B
X=1/Y
1/Y=(1-B)^2+B
X=1/Y
Y^3(1-B)+B-1=0
Ora nn riesco + ad andare avanti,xk essendo d 3° grado dovrei usare Ruffini. tuttavia essendoci il termine B è impossibile trovare 1 termine che annulli il polinomio...:wall
a parte che hai sbagliato l'equazione.. per risolverla mi viene in mente solo ruffini, solo che al momento non trovo soluzioni oltre a y=1.. ora devo lasciare il pc, magari ci ritorno più tardi. controlla domani mattina eventualmente
Vabbè fà nnt... cmq grazie x avermi aiutato... ciao alla proxima... P.S. xkè ho sbagliato l'equazione????
bisognerebbe capire cosa vuol dire con parabola tangente all'iperbole in quel punto.. ci sono infinite soluzioni, purchè sia soddisfatta la relazione a = 1-b. se hai un programma per disegnare i grafici puoi verificarlo facilmente (ho sbagliato, controlla in basso)
edit
qsta è corretta:
X=1/Y
1/Y=(1-B)Y^2+B
da cui
1 = (1-b)y^3+by
edit
qsta è corretta:
X=1/Y
1/Y=(1-B)Y^2+B
da cui
1 = (1-b)y^3+by
M disp ma nn ho qst programma.... ma cmq stò ancora :wall
mica che per caso hai fatto le derivate? però mi pare impossibile..
No
con le derivate ci arrivi in un attimo, esce b=3/2 e a=-1/2.. non mi vengono in mente altri modi purtroppo
Vabbè cmq grazie ancora ciao
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