Esercizio derivabilità e continuità di una funzione
Rieccomi con un nuovo quesito.
L'esercizio chiede di studiare la derivabilità della seguente funzione.
$y=(1-x)/(2+x)$
Siccome il Dominio è $x != -2$ avrei dato per scontato che la funzione non è continua. Infatti in quel punto calcolando il limite risulta che x tende a inifinito.
L'esercizio invece di restituisce come risposta continua e derivabile in $x!=-2$
Per quanto riguarda il calcolo della derivabilità (correggetemi se sbaglio) dovrei calcolare la derivata destra e sinistra e applicare il limite per x che tende a $-2$ giusto?
Applico quindi la derivata del quoziente trovando
$y'=(3x)/(2+x)^2$
a questo punto calcolo il limite per $x->-2^+$ e per $x->-2^-$ e trovando lo stesso stesso risultato.
quindi la funzione è derivabile in tutti i punti tranne -2.
Grazie
L'esercizio chiede di studiare la derivabilità della seguente funzione.
$y=(1-x)/(2+x)$
Siccome il Dominio è $x != -2$ avrei dato per scontato che la funzione non è continua. Infatti in quel punto calcolando il limite risulta che x tende a inifinito.
L'esercizio invece di restituisce come risposta continua e derivabile in $x!=-2$
Per quanto riguarda il calcolo della derivabilità (correggetemi se sbaglio) dovrei calcolare la derivata destra e sinistra e applicare il limite per x che tende a $-2$ giusto?
Applico quindi la derivata del quoziente trovando
$y'=(3x)/(2+x)^2$
a questo punto calcolo il limite per $x->-2^+$ e per $x->-2^-$ e trovando lo stesso stesso risultato.
quindi la funzione è derivabile in tutti i punti tranne -2.
Grazie
Risposte
"Marco1005":
Siccome il Dominio è $x != 2$ avrei dato per scontato che la funzione non è continua
Quel punto non è nel dominio quindi non ti interessa per stabilire la continuità della funzione.
"Marco1005":
Siccome il Dominio è $x != 2$
intendi -2?
"ghira":
[quote="Marco1005"]
Siccome il Dominio è $x != 2$
intendi -2?[/quote]
si scusa Ghira $-2$, ho corretto anche nel post originale
"axpgn":
[quote="Marco1005"]Siccome il Dominio è $x != 2$ avrei dato per scontato che la funzione non è continua
Quel punto non è nel dominio quindi non ti interessa per stabilire la continuità della funzione.[/quote]
io però se guardo una funzione fratta, impongo per forza il denominatore $!=0$, in questo caso in $-2$ non è continua. Il concetto di continua o discontinua lo applico a tutta la funzione, non solo ai punti del dominio no?
Secondo te, cos'è una funzione?
Una funzione è determinata da dominio, codominio e una legge che collega i due (questa è una definizione ma ce ne sono altre
)
Quindi il dominio DETERMINA la funzione, ok?
Una funzione è determinata da dominio, codominio e una legge che collega i due (questa è una definizione ma ce ne sono altre
)Quindi il dominio DETERMINA la funzione, ok?
"Marco1005":
io però se guardo una funzione fratta, impongo per forza il denominatore $!=0$, in questo caso in $-2$ non è continua. Il concetto di continua o discontinua lo applico a tutta la funzione, non solo ai punti del dominio no?
La continuità è una nozione che si dà punto per punto (nel dominio della funzione): Dunque una funzione può essere continua in un punto e non in un altro. Si dice che la funzione è continua quando lo è in tutti i punti del dominio. La funzione "esiste solo nel suo dominio" (un po' quello che dice axpgn).
Quando si scrive una funzione mediante un espressione si sottintende che il dominio è dato da tutti i punti per cui quell'espressione ha senso.
Se tu prendessi la funzione fratta $f$ che hai scritto e la estendessi a $-2$ ponendo $f(-2)=0$ allora (la nuova) $f$ sarebbe discontinua (solo in $-2$).
"Marco1005":
[quote="axpgn"][quote="Marco1005"]Siccome il Dominio è $x != 2$ avrei dato per scontato che la funzione non è continua
Quel punto non è nel dominio quindi non ti interessa per stabilire la continuità della funzione.[/quote]
io però se guardo una funzione fratta, impongo per forza il denominatore $!=0$, in questo caso in $-2$ non è continua. Il concetto di continua o discontinua lo applico a tutta la funzione, non solo ai punti del dominio no?[/quote]
La definizione che ricordo io è:
una funzione $f(x)$ si dice continua in $a$ (genericamente $ainRR$)se e solo se vale
$lim_(xtoa^+)f(x)=lim_(xtoa^-)f(x)=f(a)$
Come vedi dal terzo membro la continuità in $a$ ha senso solo se puoi calcolare $f(a)$ altrimenti non si pone nemmeno il problema.
"ViciousGoblin":
Quando si scrive una funzione mediante un espressione si sottintende che il dominio è dato da tutti i punti per cui quell'espressione ha senso.
Il problema nasce da qui ovvero quando si introduce il concetto di funzione (in prima superiore credo) non si "stressano" mai abbastanza gli allievi sul fatto che una funzione NON è solo la "legge" ma è composta anche da dominio e codominio; una volta "stressati" a sufficienza, va bene tutto
"Marco1005":
$y=(1-x)/(2+x)$
Ciao Marco, quale migliore occasione di questa per esercitarsi a tracciare il grafico di una funzione!?
Attendo la foto.
"axpgn":
Secondo te, cos'è una funzione?
L'ho sempre e solo pensata come una regola che associa ad una variabile indipendente, uno e un solo valore della variabile dipendente. Quindi ad esempio l'equazione di una retta, esprime come cambia la y al variare di una unità di x.
Cmq capito
"ViciousGoblin":
La continuità è una nozione che si dà punto per punto (nel dominio della funzione): Dunque una funzione può essere continua in un punto e non in un altro
Ok grazie, quindi la funzione nel mio caso è continua sino al punto di discontinuità $-2$, e successivamente dopo il punto di discontinuità fino a più infinito.
Avete ragione. davo per scontato il concetto di continuità ma è sensato relazionarlo a dove la funzione "vive"
"gio73":
Attendo la foto.
Non mi sono dimenticato gio
arrivo anche sull'altro post
Questo grafico non è pienamente soddisfacente.
Per $x<-2$, nulla. Il grafico fra $x=2$ e $x=3$ non è coerente con i valori che hai calcolato. Per $x>3$, nulla, nonostante il valore che hai calcolato per $x=4$.
Per $x<-2$, nulla. Il grafico fra $x=2$ e $x=3$ non è coerente con i valori che hai calcolato. Per $x>3$, nulla, nonostante il valore che hai calcolato per $x=4$.
"ghira":
Questo grafico non è pienamente soddisfacente.
Si hai ragione non so cosa ho calcolato.
Non mi convince il grafico per $x<-2$
"ghira":
Non mi convince il grafico per $x<-2$
se provo a farlo con i numeri, ipotizzo $-2,0000001$
risulta quindi
$(3,00000001)/(-0,00000001)=-00$
o no??
Ho detto $<-2$. In particolare, molto molto meno di -2.
@Marco1005
Penso che ghira intenda che siccome c'è un asintoto orizzontale a $y= -1$, il "pezzo" a sinistra lo "sorpassa"
Comunque fare i grafici a mano ed essere precisi non è semplice:D
Penso che ghira intenda che siccome c'è un asintoto orizzontale a $y= -1$, il "pezzo" a sinistra lo "sorpassa"
Comunque fare i grafici a mano ed essere precisi non è semplice:D
"Marco1005":
o no??
No, "infinito" si scrive "infty" vedi $infty$
"ghira":
Ho detto $<-2$. In particolare, molto molto meno di -2.
ahhhh, no quello non ci ho nemmeno badato sono sincero
, entro stasera lo rifaccio
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