Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)
Come da titolo, per fornire ai maturandi 2015 in vista dell'ormai imminente II prova un'occasione di autoverifica e di esercizio. Buon lavoro!
Questionario 1.
1. Risolvere il seguente problema di Cauchy: $\{(y'-y=e^x),(y(0)=1):}$.
2. Il grafico sottostante rappresenta l’andamento della densità di probabilità $f(x)$ di una variabile aleatoria $X$ libera di assumere valori compresi nell’intervallo $[0,2]$ .Dopo aver scritto l’espressione della funzione $f(x)$, determinare il valor medio $mu$ di $X$ e la sua varianza $sigma^2$, e calcolare infine la probabilità che il valore della v. a. $X$ risulti compreso tra $mu-sigma$ e $mu+sigma$.
3. Nei mesi di Luglio e Agosto dello scorso anno, a Marrakech (Marocco) c’è stato un solo giorno di pioggia; nello stesso periodo, a Vienna ci sono stati complessivamente 24 giorni in cui è piovuto.
Supponendo di soggiornare 10 giorni durante tale bimestre del corrente anno in una delle due località, calcolare la probabilità che nel corso della permanenza piova per non più di un giorno sia a Marrakech sia a Vienna.
4. Su una particella, animata di moto rettilineo, agisce una forza parallela al moto la cui componente $F$ rispetto ad un sistema di ascisse $x$ fissato sulla retta su cui si muove la particella varia secondo la legge: $F(x)=100*x*sinx$ (con l’intesa che le ascisse siano espresse in metri e la componente della forza in newton). Calcolare il lavoro compiuto dalla forza tra le ascisse $x=0$ ed $x=pi$.
5. Fra tutti i coni circolari retti aventi il medesimo apotema $a$ si determini quello di volume massimo..
6. Determinare tutte le funzioni $f(x)$ per le quali si ha: $f'(x)=2x*f(x)$ .
7. Dedurre, nel modo che si ritiene più opportuno, la formula per calcolare il volume di un tronco di cono avente raggi di base $R$ e $r$ ed altezza $h$.
8. Sia $P(x)$ una funzione razionale intera di terzo grado in $x$ tale che la curva $gamma$ di equazione: $y=P(x)$ abbia due estremi relativi nei punti $O(0,0)$ ed $A(2,2)$ . Dopo aver determinato $P(x)$ , si dimostri che la curva $gamma$ possiede un flesso collocato nel punto medio tra i due punti estremi.
9. Nella seguente funzione: $f(x)=\{(x+1," se "x<=0),(ax^2+bx+c," se "x>0):}$ determinare i coefficienti reali $a$, $b$, $c$ in modo che $f(x)$ soddisfi le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo $[-1,3]$ .
10. Dimostrare, usando il metodo che si ritiene più opportuno, che l’equazione: $2x^3*e^(-x)-3=0$ non ammette soluzioni reali.
Questionario 1.
1. Risolvere il seguente problema di Cauchy: $\{(y'-y=e^x),(y(0)=1):}$.
2. Il grafico sottostante rappresenta l’andamento della densità di probabilità $f(x)$ di una variabile aleatoria $X$ libera di assumere valori compresi nell’intervallo $[0,2]$ .Dopo aver scritto l’espressione della funzione $f(x)$, determinare il valor medio $mu$ di $X$ e la sua varianza $sigma^2$, e calcolare infine la probabilità che il valore della v. a. $X$ risulti compreso tra $mu-sigma$ e $mu+sigma$.
3. Nei mesi di Luglio e Agosto dello scorso anno, a Marrakech (Marocco) c’è stato un solo giorno di pioggia; nello stesso periodo, a Vienna ci sono stati complessivamente 24 giorni in cui è piovuto.
Supponendo di soggiornare 10 giorni durante tale bimestre del corrente anno in una delle due località, calcolare la probabilità che nel corso della permanenza piova per non più di un giorno sia a Marrakech sia a Vienna.
4. Su una particella, animata di moto rettilineo, agisce una forza parallela al moto la cui componente $F$ rispetto ad un sistema di ascisse $x$ fissato sulla retta su cui si muove la particella varia secondo la legge: $F(x)=100*x*sinx$ (con l’intesa che le ascisse siano espresse in metri e la componente della forza in newton). Calcolare il lavoro compiuto dalla forza tra le ascisse $x=0$ ed $x=pi$.
5. Fra tutti i coni circolari retti aventi il medesimo apotema $a$ si determini quello di volume massimo..
6. Determinare tutte le funzioni $f(x)$ per le quali si ha: $f'(x)=2x*f(x)$ .
7. Dedurre, nel modo che si ritiene più opportuno, la formula per calcolare il volume di un tronco di cono avente raggi di base $R$ e $r$ ed altezza $h$.
8. Sia $P(x)$ una funzione razionale intera di terzo grado in $x$ tale che la curva $gamma$ di equazione: $y=P(x)$ abbia due estremi relativi nei punti $O(0,0)$ ed $A(2,2)$ . Dopo aver determinato $P(x)$ , si dimostri che la curva $gamma$ possiede un flesso collocato nel punto medio tra i due punti estremi.
9. Nella seguente funzione: $f(x)=\{(x+1," se "x<=0),(ax^2+bx+c," se "x>0):}$ determinare i coefficienti reali $a$, $b$, $c$ in modo che $f(x)$ soddisfi le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo $[-1,3]$ .
10. Dimostrare, usando il metodo che si ritiene più opportuno, che l’equazione: $2x^3*e^(-x)-3=0$ non ammette soluzioni reali.
Risposte
Quesito 15.
Visto che è ancora uscita Mate in seconda prova insisto:
Ovviamente sono domande che vertono sulle parti di programma presumibilmente svolto fino al momento attuale, ne manca ancora una bella fetta.
Ovviamente sono domande che vertono sulle parti di programma presumibilmente svolto fino al momento attuale, ne manca ancora una bella fetta.
Bello quello della formula di Eulero 
Non so se posso ma posto in spoiler come lo farei.
Non so se posso ma posto in spoiler come lo farei.
Ovvio che puoi 
@LoreT314 se posso permettermi un appunto:
In realtà ci avevo pensato ma la dimostrazione che ho pensato secondo me ha un errore
@Palliit: ho il sospetto che ci sia una certa circolarita' in quello che dite a proposito dell'esponenziale complesso. La funzione \( \text{exp} : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) viene definita come serie di potenze; al liceo, se non ricordo male, la definizione data e' proprio quella della formula di Eulero. Volendo evitare di ricorrere alle serie di potenze, quale definizione di \( \text{exp}\) state usando?
@Delirium: il tuo è un sospetto ragionevole. Al liceo non viene data la definizione di esponenziale in termini di serie, si assume la formula di Eulero come definizione (così come al momento di introdurre il logaritmo naturale si assume che la base sia un numero che verrà definito più avanti). La soluzione del quesito porta a giustificare questa assunzione. Il problema di calcolare il modulo di $e^(ix)$ può essere bypassato sostituendo la funzione del quesito con la sua reciproca, in tal modo il calcolo di $|cosx+isinx|$ non richiede ulteriori definizioni e la conclusione resta inalterata. Grazie per l'osservazione!
@Delirium dimmi cosa ne pensi:
Ciao Palliit, ti dico quello che ho pensato. La tua dimostrazione e' ovviamente corretta, ma a mio parere sposta ma non risolve il problema. Per come la vedo, il problema a monte e' che stai operando con la quantita' \( e^{ix} \) che de facto, a livello a cui ci poniamo (i.e. liceale), non e' ben definita; un modo "ovvio" per farlo sarebbe estendere in maniera naïve l'esponenziale definito sui reali e assumere con un po' di handwaving che \( e^{ix} \in \mathbb{C} \) (implicitamente usi questo fatto nella tua dimostrazione); per avere rigore dovresti parlare di prolungamento analitico. Assunto cio', si procede come dici, anche se allora le derivate che prendi sono da intendere nel senso dell'analisi complessa (avendo ora una funzione \( \mathbb{C} \to \mathbb{C} \)).
Grazie dell'opinione.
L'uso del fatto che $e^(ix) in CC$ è esplicito, ed è una cautela a priori. Del resto non è garantito che non sia $b(x)=0$. Direi comunque che è una funzione $RR to CC$, quindi non mi sentirei di dover intendere le derivate nel senso dell'analisi complessa. Della quale, peraltro, non ho ricordi così freschi da poter dire che hai torto.
L'uso del fatto che $e^(ix) in CC$ è esplicito, ed è una cautela a priori. Del resto non è garantito che non sia $b(x)=0$. Direi comunque che è una funzione $RR to CC$, quindi non mi sentirei di dover intendere le derivate nel senso dell'analisi complessa. Della quale, peraltro, non ho ricordi così freschi da poter dire che hai torto.
"Palliit":
[...] L'uso del fatto che $e^(ix) in CC$ è esplicito, ed è una cautela a priori. Del resto non è garantito che non sia $b(x)=0$. [...]
Certo, ma non "contestavo" nemmeno questo fatto; il punto e' che l'oggetto \( e^{ix} \) non puo' essere collocato in nessun insieme finche' non viene definito il comportamento della funzione esponenziale sui numeri complessi; a me ipotetico ragazzo liceale sembrerebbe tutt'altro che ovvia l'operazione di elevamento ad esponente immaginario. Inoltre, per analogia, uno potrebbe obiettare che, sebbene \(2 \text{ e } 1/2 \in \mathbb{Q}\), \(2^{1/2} \notin \mathbb{Q} \). E' chiaro che adesso ne sto facendo una questione di lana caprina; con le dovute precauzioni (e giustificazioni a posteriori) penso che tutto cio' che e' stato detto possa funzionare bene.
Riflettendo su quanto scrivi, in particolare qui:
mi sono venuti alcuni pensieri.
Quasi sempre si definiscono oggetti inediti a partire dal fatto che si comportino in modo coerente con altri analoghi che già conosciamo e sappiamo maneggiare. Per fare un esempio banale, definiamo le potenze ad esponente razionale in modo che soddisfino le stesse proprietà delle potenze ad esponente intero, e di qui ne ricaviamo il significato più intuitivo.
Rispetto all''esponenziale complessa definita da una serie di Taylor (tra l'altro, ho trovato pubblicazioni universitarie che usano la formula di Euler come definizione, quindi non è un'esclusiva dei liceali), mi sorge il dubbio che i coefficienti siano proprio quelli perché si impone che la sua derivata sia, analogamente al caso reale, l'esponenziale stessa. O, il che è equivalente, la serie che la definisce è costruita in modo tale che la derivata (complessa) di $e^z$ sia ancora $e^z$.
In tal caso, operare come se si conoscessero le proprietà di un oggetto non ancora definito proprio per arrivare a definirlo mi sembra diventi legittimo.
P.S.: puoi contestare anche senza mettere tra virgolette la parola "contestare"
"Delirium":
il problema a monte e' che stai operando con la quantita' \( e^{ix} \) che de facto, a livello a cui ci poniamo (i.e. liceale), non e' ben definita
mi sono venuti alcuni pensieri.
Quasi sempre si definiscono oggetti inediti a partire dal fatto che si comportino in modo coerente con altri analoghi che già conosciamo e sappiamo maneggiare. Per fare un esempio banale, definiamo le potenze ad esponente razionale in modo che soddisfino le stesse proprietà delle potenze ad esponente intero, e di qui ne ricaviamo il significato più intuitivo.
Rispetto all''esponenziale complessa definita da una serie di Taylor (tra l'altro, ho trovato pubblicazioni universitarie che usano la formula di Euler come definizione, quindi non è un'esclusiva dei liceali), mi sorge il dubbio che i coefficienti siano proprio quelli perché si impone che la sua derivata sia, analogamente al caso reale, l'esponenziale stessa. O, il che è equivalente, la serie che la definisce è costruita in modo tale che la derivata (complessa) di $e^z$ sia ancora $e^z$.
In tal caso, operare come se si conoscessero le proprietà di un oggetto non ancora definito proprio per arrivare a definirlo mi sembra diventi legittimo.
P.S.: puoi contestare anche senza mettere tra virgolette la parola "contestare"
"Palliit":
[...] Quasi sempre si definiscono oggetti inediti a partire dal fatto che si comportino in modo coerente con altri analoghi che già conosciamo e sappiamo maneggiare. [...]
Sono perfettamente d'accordo.
"Palliit":
[...] Rispetto all''esponenziale complessa definita da una serie di Taylor (tra l'altro, ho trovato pubblicazioni universitarie che usano la formula di Euler come definizione, quindi non è un'esclusiva dei liceali), mi sorge il dubbio che i coefficienti siano proprio quelli perché si impone che la sua derivata sia, analogamente al caso reale, l'esponenziale stessa. O, il che è equivalente, la serie che la definisce è costruita in modo tale che la derivata (complessa) di $e^z$ sia ancora $e^z$. [...]
Io non in pubblicazioni, ma in dispense universitarie di sicuro si'.
Questa pagina e' abbastanza illuminante, soprattutto alla voce "Larger domains". Mi sembra che le due vie suggerite siano quelle di cui stiamo discutendo. L'una, definire \( \exp \) sui reali e poi estenderla ai complessi attraverso prolungamento analitico e l'altra definirla direttamente sui complessi (con le dovute minuzie).
"Palliit":
[...] In tal caso, operare come se si conoscessero le proprietà di un oggetto non ancora definito proprio per arrivare a definirlo mi sembra diventi legittimo.[...]
Si', credo che questo sia cio' che i matematici intendano quando dicono "in modo ovvio si definisce/estende".
Finora avevo trascurato questo post; ora l'ho guardato e credo che sia sfuggito un errore nell'esercizio 11, che era
La retta data non passa per T; secondo me la tangente doveva essere $y=1/4(x+1)$.
In vista della prossima sessione di esami, suggerisco di modificare il testo iniziale.
11. Determinare la funzione $f(x)$ sapendo che la curva $y=f(x)$ ha nel punto $T(3,1)$ retta tangente di equazione $y=1/4x-1$ e che ha derivata seconda data da: $f''(x)=(-4x)/(1-x^2)^2$.
La retta data non passa per T; secondo me la tangente doveva essere $y=1/4(x+1)$.
In vista della prossima sessione di esami, suggerisco di modificare il testo iniziale.
Hai perfettamente ragione, @giammaria, chiedo ad @melia di modificare il post. Grazie molte.
[xdom="@melia"]Fatto![/xdom]
[xdom="@melia"]Fatto![/xdom]
"Palliit":
Visto che è ancora uscita Mate in seconda prova insisto:
Ovviamente sono domande che vertono sulle parti di programma presumibilmente svolto fino al momento attuale, ne manca ancora una bella fetta.
Ciao! Perdona il disturbo, ma è mica possibile avere questo pdf che non riesco a scaricare? Mi sarebbe davvero molto utile! Grazie mille!
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