Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

[Palliit]

Come da titolo, per fornire ai maturandi 2015 in vista dell'ormai imminente II prova un'occasione di autoverifica e di esercizio. Buon lavoro!

Questionario 1.

1. Risolvere il seguente problema di Cauchy: $\{(y'-y=e^x),(y(0)=1):}$.

2. Il grafico sottostante rappresenta l’andamento della densità di probabilità $f(x)$ di una variabile aleatoria $X$ libera di assumere valori compresi nell’intervallo $[0,2]$ .Dopo aver scritto l’espressione della funzione $f(x)$, determinare il valor medio $mu$ di $X$ e la sua varianza $sigma^2$, e calcolare infine la probabilità che il valore della v. a. $X$ risulti compreso tra $mu-sigma$ e $mu+sigma$.


3. Nei mesi di Luglio e Agosto dello scorso anno, a Marrakech (Marocco) c’è stato un solo giorno di pioggia; nello stesso periodo, a Vienna ci sono stati complessivamente 24 giorni in cui è piovuto.
Supponendo di soggiornare 10 giorni durante tale bimestre del corrente anno in una delle due località, calcolare la probabilità che nel corso della permanenza piova per non più di un giorno sia a Marrakech sia a Vienna.

4. Su una particella, animata di moto rettilineo, agisce una forza parallela al moto la cui componente $F$ rispetto ad un sistema di ascisse $x$ fissato sulla retta su cui si muove la particella varia secondo la legge: $F(x)=100*x*sinx$ (con l’intesa che le ascisse siano espresse in metri e la componente della forza in newton). Calcolare il lavoro compiuto dalla forza tra le ascisse $x=0$ ed $x=pi$.


5. Fra tutti i coni circolari retti aventi il medesimo apotema $a$ si determini quello di volume massimo..


6. Determinare tutte le funzioni $f(x)$ per le quali si ha: $f'(x)=2x*f(x)$ .


7. Dedurre, nel modo che si ritiene più opportuno, la formula per calcolare il volume di un tronco di cono avente raggi di base $R$ e $r$ ed altezza $h$.


8. Sia $P(x)$ una funzione razionale intera di terzo grado in $x$ tale che la curva $gamma$ di equazione: $y=P(x)$ abbia due estremi relativi nei punti $O(0,0)$ ed $A(2,2)$ . Dopo aver determinato $P(x)$ , si dimostri che la curva $gamma$ possiede un flesso collocato nel punto medio tra i due punti estremi.


9. Nella seguente funzione: $f(x)=\{(x+1," se "x<=0),(ax^2+bx+c," se "x>0):}$ determinare i coefficienti reali $a$, $b$, $c$ in modo che $f(x)$ soddisfi le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo $[-1,3]$ .


10. Dimostrare, usando il metodo che si ritiene più opportuno, che l’equazione: $2x^3*e^(-x)-3=0$ non ammette soluzioni reali.

[mazzarri1]

"Palliit":
L'integrale diventa immediato effettuando la sostituzione

è vero... grazie!

[mazzarri1]

ESERCIZIO 16

L'area di un triangolo equilatero di lato $a$ è

$A=sqrt3/4 a^2$

Nel nostro caso l'area di un qualunque triangolo equilatero che in sezione va a formare il solido è

$A=sqrt3/4 x$

(dato che il lato è $a=sqrtx$)

Per ottenere il volume del solido devo integrare questa area tra 0 e 2 ottenendo

$V=sqrt3/4 int_0^2x dx= sqrt3/2$

[mazzarri1]

ESERCIZIO 17

La accelerazione è la derivata prima della velocità. Quindi se

$a=-kv^2$

allora

$(dv)/(dt)=-kv^2$ (separando le variabili)

$int (dv)/v^2=-k int dt$

$-1/v=-kt+c_1$

la costante di integrazione $c_1$ la si può ricavare dalla condizione iniziale $v(0)=4$ che porta a $c_1=-1/4$

La espressione della velocità sarà allora

$v(t)=4/(4kt+1)$

e possiamo subito rispondere alla domanda conclusiva

$v(2)= 4/5=0.8$ m/s

Integrando ancora otteniamo la legge oraria del moto

$(dx)/(dt)=4/(4kt+1)$

$x(t)= int (4 dt)/(4kt+1)$

$x(t)=1/k ln |4kt+1|+c_2$

Non è data dal problema la seconda condizione iniziale da porre per poter ricavare la seconda costante di integrazione $c_2$

Il modulo nella espressione della legge oraria può anche essere sostituito da delle semplici parentesi racchiudendo una quantità sempre positiva

[mazzarri1]

ESERCIZIO 18

Le due condizioni iniziali si traducono in

1) $lim_(t->infty) P(t)= P_0 = 100$W

2) $P'(t) = P_0/tau e^(-t/tau)$

da cui deriva

$P'(0)= P_0/tau=25$W/s

da cui

$tau=100/25=4$s

A questo punto la formula da utilizzare è quella che lega fra loro potenza (P) e lavoro (L)

$P=(dL)/(dt)$

da cui

$L=int P(t) dt$

e nel nostro caso il lavoro fra il tempo t=0 e il tempo t=4 è dato da

$L=P_0 int_0^4 (1-e^(-t/tau))dt=$

$=P_0 int_0^4 dt - P_0 int_0^4 e^(-t/tau) dt=$

$=P_0 (t)_0^4 + P_0 tau (e^(-t/tau))_0^4=$

$=4P_0 + tau P_0 (e^(-4/tau)-1)$

Il lavoro richiesto allora sarà

$L=400/e=147.15$J

[mazzarri1]

ESERCIZIO 02

La variabile x è distribuita in modo continuo

Assumo uguale a 1 (probabilità del 100%) l'area sottesa dalla curva in esame che è una retta passante per l'origine del tipo $y=kx$. Avremo

$1=int_0^2 kx dx= 2k$

da cui

$k=1/2$

e la distribuzione di probabilità sarà data dall'espressione

$p(x)=1/2 x$

Per definizione media e varianza sono dati da

$mu=int_0^2 x p(x) dx$

$sigma^2= int_0^2 (x-mu)^2 p(x) dx$

e avremo risolvendo gli integrali

$mu=int_0^2 x 1/2 x dx=4/3$

$sigma^2= int_0^2 (x-4/3)^2 1/2 x dx=2/9$

La deviazione standard è

$sigma=sqrt2/3$

Per concludere i valori richiesti di $mu-sigma$ e $mu+sigma$ corrispondono a

$mu-sigma=(4-sqrt2)/3$

$mu+sigma=(4+sqrt2)/3$

e la probabilità cercata è

$p = int_((4-sqrt2)/3)^((4+sqrt2)/3) p(x) dx = 4/9 sqrt2 = 62.8%$

[Palliit]

@mazzarri:

del quesito 02 è corretto lo svolgimento. Unica osservazione: imporre la condizione di normalizzazione ed il calcolo della probabilità conclusivo si riducono ai calcoli dell'area rispettivamente di un triangolo rettangolo e di un trapezio rettangolo, per i quali si può fare a meno di ricorrere ad integrali.

[mazzarri1]

"Palliit":@mazzarri:

del quesito 02 è corretto lo svolgimento. Unica osservazione: imporre la condizione di normalizzazione ed il calcolo della probabilità conclusivo si riducono ai calcoli dell'area rispettivamente di un triangolo rettangolo e di un trapezio rettangolo, per i quali si può fare a meno di ricorrere ad integrali.

Forza dell'abitudine... grazie 1000!!

[mazzarri1]

post eliminato

[xAle2]

Grazie Palliit, questa sera dedicherò qaulche ora per testare le mie capacità. Magari scopro di essere più bravo del sapiente mazzarri in questa "nuova" matematica liceale chissà...

[mazzarri1]

ESERCIZIO 14

Per prima cosa sviluppo i fattoriali per vedere se si può semplificare qualcosa

$(n!+(n-1)!)/((n+1)!) =$

$= (n(n-1)(n-2)(n-3)...+(n-1)(n-2)(n-3)...)/((n+1)n!)=$

$=((n-1)(n-2)(n-3)....(n+1))/((n+1)n!)=$

$=((n+1)(n-1)!)/((n+1)n!)=$

$=((n-1)!)/(n!)=$

$= 1/n$

A questo punto il limite si riduce a

$lim_(n->infty) sin(2n)/n=0$

[Palliit]

Post eliminato.

[mazzarri1]

"xAle":Grazie Palliit, questa sera dedicherò qaulche ora per testare le mie capacità. Magari scopro di essere più bravo del sapiente mazzarri in questa "nuova" matematica liceale chissà...

ahahaha sarai più bravo sicuramente!!!

ho lasciato perdere 03, 15 e 19... statistica e probabilità non fanno proprio per me, non vedo questi argomenti da 25 anni e già allora non li avevo poi così chiari in mente devo fare un bel ripassino se diventa materia di maturità

[mazzarri1]

ESERCIZIO 20

$ksinx-sin(2x)=0$

$ksinx-2sinxcosx=0$

$sinx(k-2cosx)=0$

Il prodotto dei due termini è nullo se si annulla o il primo o il secondo termine

1) $sinx=0$

nell'intervallo dato dal problema $(0,2pi)$ ci sono 3 soluzioni: $x=0,pi,2pi$

2) $2cosx=k$

Disegnando il grafico della funzione $y=2cosx$ ci si accorge subito che

se $|k|<2$ ci sono altre due soluzioni
se $|k|>2$ non ci sono altre soluzioni
se $k=+2$ si aggiungono le due soluzioni $x=0,2pi$ coincidenti con quelle già trovate al punto 1)
se $k=-2$ si aggiunge la soluzione $x=pi$ coincidente con quella già trovata al punto 1)

In conclusione:

$k<-2$ l'equazione ha 3 soluzioni
$k=-2$ l'equazione ha 3 soluzioni di cui 1 doppia
$-2 $k=2$ l'equazione ha 3 soluzioni di cui 2 doppie
$k>2$ l'equazione ha 3 soluzioni

In particolare può essere interessante, anche se non richiesto, il caso $k=0$ che ricade nella tesi delle 5 soluzioni che sarebbero semplici da ricavare: $x=0,pi/2,pi,3pi/2,2pi$

[mazzarri1]

@Palliit... siamo pronti per un terzo questionario
come vedi ho apprezzato i primi due
grazie ancora

[mazzarri1]

@Palliit

la domanda 07 del tuo questionario, il volume del tronco di cono... è uscita realmente come quesito 02 del questionario di 10 domande...

spero che la mia soluzione abbia aiutato qualche maturando a questo punto

[Palliit]

Il che dimostra che erano esercizi ben mirati. Anzi, mi stupisce che me ne abbiano copiato soltanto uno

[mazzarri1]

"Palliit":Il che dimostra che erano esercizi ben mirati. Anzi, mi stupisce che me ne abbiano copiato soltanto uno

[anto_zoolander]

"mazzarri":PROBLEMA 10

Come "strategia" decido di studiare la funzione

$y=2x^3e^(-x)$

dominio: $AA x in RR$

$lim_(x->+infty) y= 0$
$lim_(x->-infty) y= -infty$

$y'=2x^2e^(-x) (3-x)$

$y''=2xe^(-x) (x^2-6x+6)$

$y'''=2e^(-x) (-x^3+9x^2-18x+6)$

Punti stazionari in

$O(0,0)$ e $A(3,54 e^(-3))$

Con il metodo delle derivate successive verifico che $O(0,0)$ è un flesso a tangente orizzontale ($y'''(0)!=0$) e che il punto $A$ è un massimo

Flessi in $x=3+-sqrt3$

Da notare che

$y_A=54 e^(-3)=2.688$

è il massimo assoluto della funzione

Dal grafico della funzione (che allego) deduco che essa è SEMPRE < 3 il che ci porta a dedurre che la equazione

$2x^3e^(-x)=3$

non ha soluzioni c.v.d.

Il ragionamento è ottimo(ovviamente che lo dica io non significa nulla), però potevi anche fermarti solo alla derivata prima.

$2x^3e^(-x)-3=0$ giustamente la poni $2x^3e^(-x)=3$

facendo la derivata prima abbiamo

$f'(x)=2x^2e^(-x)(3-x)$ inoltre abbiamo uno zero doppio $x^2geq0 forallx inR$ ed uno zero in $x=3$

il fattore $3-xgeq0 <=> xleq3$ quindi ragioniamo: in $x=0$è presente un punto stazionario/flesso ascendente che prosegue fino a $x=3$ dopo, la funzione decresce e basta, quindi $x=3$ è l'ascissa di massimo assoluto necessariamente.

calcolando $f(3)$ otteniamo $f(3)=54/e^3$ se questo numero è minore di 3, la funzione non ammetterà radici.

$54/e^3leq3 <=> 54/3leqe^3 <=> 18leqe^3$ anche approssimando a $eapprox2,7$ otteniamo $19,683geq18$ quindi la funzione non ammette radici.

[Palliit]

Visto che il post è riciclabile per il corrente anno (2016) e che restano ancora alcuni quesiti di cui nessuno ha proposto soluzione, lo faccio io.

Quesito 3.

Iniziamo col calcolo relativo a Vienna: valutiamo con: $" "p=24/62=12/31" "$ la probabilità che in un giorno scelto a caso piova. La variabile aleatoria $N$="numero di giorni di pioggia sui $10$ scelti" ha distribuzione bernoulliana, equivalendo il fenomeno alla ripetizione per $10$ volte di una prova che ha probabilità

$p=12/31" "$ di dare un certo risultato e $" "q=1-p=19/31" "$ di dare quello contrario.

Pertanto: $P[N=k]=(10!)/((10-k)!*k!)p^kq^(10-k)" "$, che per la probabilità richiesta fornisce:

$P_V[N<=1]=P[0]+P[1]= (19/31)^10+10(12/31)^1*(19/31)^9 approx 0.055=5.5%$.

Per Marrakech si può ripetere analogo calcolo con $" "p=1/62" "$ e quindi $" "q=61/62" "$, ottenendo:

$P_M[N<=1]approx0.989=98.9%$,

ma è anche ammissibile, visto l’esiguo valore della probabilità che ha di verificarsi l’evento “piove in un giorno scelto a caso a Marrakech”, ricorrere alla distribuzione di Poisson come approssimazione della binomiale:

$p(k)=lambda^k/(k!)e^(-lambda)" "$ con parametro $" "lambda=np=10*1/62=5/31" "$ ,

ottenendo in alternativa per la probabilità richiesta:

[size=114]$P_M[N<=1]=p(0)+p(1)=e^(-5/31)+5/31* e^(-5/31)=36/31* e^(-5/31)approx 0.988=98.8%$.[/size]

[Palliit]

Quesito 19.

Suddividiamo le $8$ ore di apertura dello sportello in $32$ quarti d'ora. La probabilità che in un quarto d'ora scelto a caso una persona entri nell'ufficio è: $" "p=4/32=1/8$, e viste le caratteristiche del problema (evento poco probabile che può verificarsi in un numero piuttosto grande di ripetizioni della prova) si può giustificare per la variabile aleatoria $N=$"numero di persone che entrano in un quarto d'ora scelto a caso" una distribuzione di Poisson (vedere precedente quesito, il n° 3) con parametro: $lambda="="1/8$.
Con tale scelta, la prima probabilità richiesta vale:

$P[N=2]=p(2)=(1"/"8)^2/(2!)*e^(-1"/"8)approx0.0069=0.69%$

e la seconda è:

$P[N>2]=1-[p(0)+p(1)+p(2)]=1-[e^(-1"/"8)+1/8*e^(-1"/"8)+p(2)]$

$approx 1-(0.8819+0.1102+0.0069) = 1-0.9990=0.0010=0.10%$

.