Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)
Come da titolo, per fornire ai maturandi 2015 in vista dell'ormai imminente II prova un'occasione di autoverifica e di esercizio. Buon lavoro!
Questionario 1.
1. Risolvere il seguente problema di Cauchy: $\{(y'-y=e^x),(y(0)=1):}$.
2. Il grafico sottostante rappresenta l’andamento della densità di probabilità $f(x)$ di una variabile aleatoria $X$ libera di assumere valori compresi nell’intervallo $[0,2]$ .Dopo aver scritto l’espressione della funzione $f(x)$, determinare il valor medio $mu$ di $X$ e la sua varianza $sigma^2$, e calcolare infine la probabilità che il valore della v. a. $X$ risulti compreso tra $mu-sigma$ e $mu+sigma$.
3. Nei mesi di Luglio e Agosto dello scorso anno, a Marrakech (Marocco) c’è stato un solo giorno di pioggia; nello stesso periodo, a Vienna ci sono stati complessivamente 24 giorni in cui è piovuto.
Supponendo di soggiornare 10 giorni durante tale bimestre del corrente anno in una delle due località, calcolare la probabilità che nel corso della permanenza piova per non più di un giorno sia a Marrakech sia a Vienna.
4. Su una particella, animata di moto rettilineo, agisce una forza parallela al moto la cui componente $F$ rispetto ad un sistema di ascisse $x$ fissato sulla retta su cui si muove la particella varia secondo la legge: $F(x)=100*x*sinx$ (con l’intesa che le ascisse siano espresse in metri e la componente della forza in newton). Calcolare il lavoro compiuto dalla forza tra le ascisse $x=0$ ed $x=pi$.
5. Fra tutti i coni circolari retti aventi il medesimo apotema $a$ si determini quello di volume massimo..
6. Determinare tutte le funzioni $f(x)$ per le quali si ha: $f'(x)=2x*f(x)$ .
7. Dedurre, nel modo che si ritiene più opportuno, la formula per calcolare il volume di un tronco di cono avente raggi di base $R$ e $r$ ed altezza $h$.
8. Sia $P(x)$ una funzione razionale intera di terzo grado in $x$ tale che la curva $gamma$ di equazione: $y=P(x)$ abbia due estremi relativi nei punti $O(0,0)$ ed $A(2,2)$ . Dopo aver determinato $P(x)$ , si dimostri che la curva $gamma$ possiede un flesso collocato nel punto medio tra i due punti estremi.
9. Nella seguente funzione: $f(x)=\{(x+1," se "x<=0),(ax^2+bx+c," se "x>0):}$ determinare i coefficienti reali $a$, $b$, $c$ in modo che $f(x)$ soddisfi le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo $[-1,3]$ .
10. Dimostrare, usando il metodo che si ritiene più opportuno, che l’equazione: $2x^3*e^(-x)-3=0$ non ammette soluzioni reali.
Questionario 1.
1. Risolvere il seguente problema di Cauchy: $\{(y'-y=e^x),(y(0)=1):}$.
2. Il grafico sottostante rappresenta l’andamento della densità di probabilità $f(x)$ di una variabile aleatoria $X$ libera di assumere valori compresi nell’intervallo $[0,2]$ .Dopo aver scritto l’espressione della funzione $f(x)$, determinare il valor medio $mu$ di $X$ e la sua varianza $sigma^2$, e calcolare infine la probabilità che il valore della v. a. $X$ risulti compreso tra $mu-sigma$ e $mu+sigma$.
3. Nei mesi di Luglio e Agosto dello scorso anno, a Marrakech (Marocco) c’è stato un solo giorno di pioggia; nello stesso periodo, a Vienna ci sono stati complessivamente 24 giorni in cui è piovuto.
Supponendo di soggiornare 10 giorni durante tale bimestre del corrente anno in una delle due località, calcolare la probabilità che nel corso della permanenza piova per non più di un giorno sia a Marrakech sia a Vienna.
4. Su una particella, animata di moto rettilineo, agisce una forza parallela al moto la cui componente $F$ rispetto ad un sistema di ascisse $x$ fissato sulla retta su cui si muove la particella varia secondo la legge: $F(x)=100*x*sinx$ (con l’intesa che le ascisse siano espresse in metri e la componente della forza in newton). Calcolare il lavoro compiuto dalla forza tra le ascisse $x=0$ ed $x=pi$.
5. Fra tutti i coni circolari retti aventi il medesimo apotema $a$ si determini quello di volume massimo..
6. Determinare tutte le funzioni $f(x)$ per le quali si ha: $f'(x)=2x*f(x)$ .
7. Dedurre, nel modo che si ritiene più opportuno, la formula per calcolare il volume di un tronco di cono avente raggi di base $R$ e $r$ ed altezza $h$.
8. Sia $P(x)$ una funzione razionale intera di terzo grado in $x$ tale che la curva $gamma$ di equazione: $y=P(x)$ abbia due estremi relativi nei punti $O(0,0)$ ed $A(2,2)$ . Dopo aver determinato $P(x)$ , si dimostri che la curva $gamma$ possiede un flesso collocato nel punto medio tra i due punti estremi.
9. Nella seguente funzione: $f(x)=\{(x+1," se "x<=0),(ax^2+bx+c," se "x>0):}$ determinare i coefficienti reali $a$, $b$, $c$ in modo che $f(x)$ soddisfi le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo $[-1,3]$ .
10. Dimostrare, usando il metodo che si ritiene più opportuno, che l’equazione: $2x^3*e^(-x)-3=0$ non ammette soluzioni reali.
Risposte
Grazie mille Pallit, un grande servizio!
Se possibile inserisco la "mia" soluzione di alcuni esercizi in spoiler in modo da poter aprire delle discussioni
ESERCIZIO 01
ESERCIZIO 01
ESERCIZIO 04
ESERCIZIO 05
ESERCIZIO 06
Un appunto rispetto a
"mazzarri":
ESERCIZIO 06
ESERCIZIO 09
"Palliit":
Un appunto rispetto a ESERCIZIO 06
Grazie Palliit mi era sfuggito, ho modificato il testo spero di aver "risolto"
Grazie ancora a te per questa iniziativa
PROBLEMA 10
@mazzarri:
ESERCIZIO 08
"Palliit":
@mazzarri:
"mazzarri":
[quote="Palliit"]@mazzarri:
[/quote]
Guarda in questa pagina http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm il testo sulle variabili separabili.
"vict85":
Guarda in questa pagina http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm il testo sulle variabili separabili.
Grazie per la segnalazione Vict85, evidentemente c'è qualcosa che mi sfugge queste cose le ho fatte ormai 25 anni fa, ci darò una occhiata e ci penserò su... ho ricontrollato la soluzione sostituendola nella equazione di partenza, mi sembra tutto giusto, forse bisogna imporre la condizione $k!=0$, potrebbe essere una risoluzione della questione
Spero inoltre che gli esercizi che ho risolto in spoiler possano in qualche modo essere utili ai maturandi
ciao!!
ESERCIZIO 07
QUESTIONARIO 2
11. Determinare la funzione $f(x)$ sapendo che la curva $y=f(x)$ ha nel punto $T(3,1)$ retta tangente di equazione $y=1/4(x+1)$ e che ha derivata seconda data da: $f''(x)=(-4x)/(1-x^2)^2$.
12. Studiare la continuità e la derivabilità in $x=0$ della seguente funzione: $f(x)=\{(sqrt(2x^2-3x)," se " x<=0),(e^(-2/x)," se " x>0):}$.
13. Determinare il valore medio della funzione: $f(x)=x|x|-2" "$ nell’intervallo $[-1,3]$, ed il valore $x_m$ di $x$ in cui la funzione assume tale valore medio.
14. Calcolare il seguente limite: $lim_(n to + infty)[(n!+(n-1)!)/((n+1)!)sin2n]$.
15. Una fabbrica di materiale elettrico mette in vendita delle lampadine la cui durata è assicurata per almeno 1000 ore di funzionamento. L’eventuale durata successiva a tale periodo è una variabile aleatoria $T$ la cui densità di probabilità è data dalla funzione: $f(t)=k/(t+2)^2$ con l’intesa che $t$ sia da esprimere in centinaia di ore. Così, ad esempio, se $t=2$ la lampadina ha una durata di 1200 ore.
Dopo aver fissato il valore della costante $k$, determinare la probabilità che una lampadina scelta a caso duri complessivamente più di 1200 ore.
Tempo fa un cliente ha acquistato 1000 lampadine di quel tipo. Di queste si prendano in considerazione le 100 che hanno dimostrato di essere le più longeve: qual è stata, presumibilmente, la minima durata di una lampadina scelta fra queste 100 ?
16. La regione finita $S$ delimitata, in un piano $Oxy$, dalla curva di equazione: $y=sqrt(x)$, dall’asse delle ascisse e dalla retta $x=2$ è la base di un solido $Omega$ le cui sezioni secondo piani perpendicolari all’asse $x$ sono triangoli equilateri. Determinare il volume di $Omega$.
17. Una particella di massa unitaria libera di muoversi di moto rettilineo è soggetta ad un’accelerazione proporzionale, a mezzo di una costante negativa, al quadrato della sua velocità, sicchè dette $a$ l’accelerazione e $v$ la sua velocità vale: $a=-Kv^2$, con $K$ opportuna costante positiva.
Determinare le espressioni, in funzione del tempo, della velocità e della posizione della particella. In particolare, ponendo: $K=0.5 m^(-1)$ e $v(0)=4 m"/"s$, determinare la velocità all’istante $t=2s$.
18. La potenza sviluppata da un motore a partire dall’istante $t=0$ è, in funzione del tempo, data dalla seguente espressione: $P(t)=P_0(1-e^(-t/tau))$, dove $P_0$ e $tau$ sono due opportune costanti espresse rispettivamente in watt ed in secondi.
Dopo aver determinato $P_0$ e $tau$ in modo che si abbia: $\{(lim_(t to +infty)P(t)=100" "W),(P’(0)=25" " W"/"s):}$, calcolare il lavoro compiuto dal motore dall’istante $t_1=0$ all’istante $t_2=4s$.
19. In una piccola cittadina, nel corso delle 8 ore di apertura dello sportello postale preposto alla spedizione di raccomandate si presentano in media 4 persone al giorno. Calcolare la probabilità che in un quarto d’ora all’interno dell’orario di apertura:
- si presentino allo sportello due utenti;
- si presentino allo sportello più di due utenti.
20. Discutere al variare di $k in RR$ il numero delle soluzioni dell’equazione: $ksinx-sin2x=0$ comprese nell'intervallo $[0,2pi]$.
11. Determinare la funzione $f(x)$ sapendo che la curva $y=f(x)$ ha nel punto $T(3,1)$ retta tangente di equazione $y=1/4(x+1)$ e che ha derivata seconda data da: $f''(x)=(-4x)/(1-x^2)^2$.
12. Studiare la continuità e la derivabilità in $x=0$ della seguente funzione: $f(x)=\{(sqrt(2x^2-3x)," se " x<=0),(e^(-2/x)," se " x>0):}$.
13. Determinare il valore medio della funzione: $f(x)=x|x|-2" "$ nell’intervallo $[-1,3]$, ed il valore $x_m$ di $x$ in cui la funzione assume tale valore medio.
14. Calcolare il seguente limite: $lim_(n to + infty)[(n!+(n-1)!)/((n+1)!)sin2n]$.
15. Una fabbrica di materiale elettrico mette in vendita delle lampadine la cui durata è assicurata per almeno 1000 ore di funzionamento. L’eventuale durata successiva a tale periodo è una variabile aleatoria $T$ la cui densità di probabilità è data dalla funzione: $f(t)=k/(t+2)^2$ con l’intesa che $t$ sia da esprimere in centinaia di ore. Così, ad esempio, se $t=2$ la lampadina ha una durata di 1200 ore.
Dopo aver fissato il valore della costante $k$, determinare la probabilità che una lampadina scelta a caso duri complessivamente più di 1200 ore.
Tempo fa un cliente ha acquistato 1000 lampadine di quel tipo. Di queste si prendano in considerazione le 100 che hanno dimostrato di essere le più longeve: qual è stata, presumibilmente, la minima durata di una lampadina scelta fra queste 100 ?
16. La regione finita $S$ delimitata, in un piano $Oxy$, dalla curva di equazione: $y=sqrt(x)$, dall’asse delle ascisse e dalla retta $x=2$ è la base di un solido $Omega$ le cui sezioni secondo piani perpendicolari all’asse $x$ sono triangoli equilateri. Determinare il volume di $Omega$.
17. Una particella di massa unitaria libera di muoversi di moto rettilineo è soggetta ad un’accelerazione proporzionale, a mezzo di una costante negativa, al quadrato della sua velocità, sicchè dette $a$ l’accelerazione e $v$ la sua velocità vale: $a=-Kv^2$, con $K$ opportuna costante positiva.
Determinare le espressioni, in funzione del tempo, della velocità e della posizione della particella. In particolare, ponendo: $K=0.5 m^(-1)$ e $v(0)=4 m"/"s$, determinare la velocità all’istante $t=2s$.
18. La potenza sviluppata da un motore a partire dall’istante $t=0$ è, in funzione del tempo, data dalla seguente espressione: $P(t)=P_0(1-e^(-t/tau))$, dove $P_0$ e $tau$ sono due opportune costanti espresse rispettivamente in watt ed in secondi.
Dopo aver determinato $P_0$ e $tau$ in modo che si abbia: $\{(lim_(t to +infty)P(t)=100" "W),(P’(0)=25" " W"/"s):}$, calcolare il lavoro compiuto dal motore dall’istante $t_1=0$ all’istante $t_2=4s$.
19. In una piccola cittadina, nel corso delle 8 ore di apertura dello sportello postale preposto alla spedizione di raccomandate si presentano in media 4 persone al giorno. Calcolare la probabilità che in un quarto d’ora all’interno dell’orario di apertura:
- si presentino allo sportello due utenti;
- si presentino allo sportello più di due utenti.
20. Discutere al variare di $k in RR$ il numero delle soluzioni dell’equazione: $ksinx-sin2x=0$ comprese nell'intervallo $[0,2pi]$.
ESERCIZIO 11
ESERCIZIO 12
@mazzarri:
ESERCIZIO 13
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo