Equazioni irrazionali

stefano.c11
Buonasera ancora

Mi trovo a rispondere a queste due domande teoriche sulle equazioni irrazionali .
Essendo un test di autovalutazione non sono presenti le soluzioni .
Ringrazio pertanto chiunque volesse aiutarmi nella correzione


Data una equazione irrazionale contenente solo radicali quadratici quale delle seguenti affermazioni è vera ?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni pari
d. a,b,c sono false

La risposta è d : per dimostrazione , nell'insieme $R$ , elevando a potenza pari entrambi i membri di un'equazione non si ottiene un equazione equivalente a quella data ; le radici della prima sono anche radici della seconda , ma non viceversa e quindi vanno verificate algebricamente , oppure tramite disuguaglianze opportune



Data una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici quale delle seguenti affermazioni è vera?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni dispari
d. a,b,c sono false


Risposta b : per dimostrazione ( che però il mio libro non fa se non per $x-2=4$) nell'insieme $R$ elevando a potenza dispari entrambi i membri di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a quella assegnata

Il mio libro effettua la dimostrazione per elevamento a esponente pari , ma non per quella dispari

io ho provato a fare la dimostrazione generalizzata per esponente dispari ...
siano $f$ e $g$ due funzioni generiche
$f=g$

$f^3 = g^3$

$f^3-g^3=0$

$(f-g)(f^2+fg+g^2)=0$ $=>$ $f=g$ soluzione valida

$f^2+fg+g^2=0$ $=>$ pongo $g^2=c$ e ottengo un'equazione di 2° grado nella variabile $f$

$f^2+fg+c$ il discriminante è $ g^2 - 4c = g^2-4g^2$ raccolgo e ottengo $g^2(1-4)<0$ quindi senza soluzioni reali

per questo le soluzioni ottenute da una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici sono tutte accettabili
...

Risposte
piero_1
Come regola generale, ricorda:
1) Se la radice è di indice pari devi trovare il dominio $f(x)>=0$
2) quindi elevi entrambi i membri dell'eq. al minimo comune indice
3) liberata l'eq. dai radicali, la risolvi come al solito
4) controlli che le soluz. trovate siano accettabili.

- se ne hai qualcuna in particolare vediamo

stefano.c11
ci sarebbe questa che mi porta a spasso

$(root(3)(10x+45))^3=(sqrt(3x+1))^3$

$10x+45=(sqrt(3x+1))^3$

a questo punto ho provato a scomporla così , ma non mi porta a nulla

$10x+45=(3x+1)sqrt(3x+1)$ potrei estrarre $3x+1$ ma non mi porta a niente essendo i termini in x primi tra loro

risolvendo $10x+45=(sqrt(3x+1))^3$ classicamente mi diventa



$100x^2+900x+2025=27x^3+27x^2+9x+1$

semplifico i termini simili ed ho

$27x^3-73x^2-891x-2024=0$

il libro da come soluzione 8 ...

piero_1
"stefano.c":
ci sarebbe questa che mi porta a spasso





diciamo che il testo originale è questo?

$root(3)(10x+45)=sqrt(3x+1)$

- $3x+1>=0$ dominio della funzione
- eleva ambo i membri alla sesta (minimo comune indice tra $2$ e $3$)
- svolgi i calcoli
- verifica le soluzioni

stefano.c11
dopo 2 passaggi ottengo

$(10x+45)^2=(3x+1)^3$

sviluppo il quadrato e il cubo dei due binomi e ottengo

$100x^2+900x+2025=27x^3+27x^2+9x+1$

piero_1
"stefano.c":
dopo 2 passaggi ottengo

$(10x+45)^2=(3x+1)^3$

ok, ma ricorda
$3x+1>=0$
-adesso sviluppa il quadrato e il cubo

stefano.c11
"piero_":

ok, ma ricorda
$3x+1>=0$
-adesso sviluppa il quadrato e il cubo


non capisco ... cosa significa ?
$3x+1>=0$ è la condizione di esistenza del radicale giusto? mi servirà poi discuterla per verificare quali soluzioni sono vere e quali false

sviluppando i due prodotti notevoli , e semplificando ottengo

$27x^3-73x^2-891x-2024=0$

come andare avanti ?

piero_1
"stefano.c":
dopo 2 passaggi ottengo

$(10x+45)^2=(3x+1)^3$

sviluppo il quadrato e il cubo dei due binomi e ottengo

$100x^2+900x+2025=27x^3+27x^2+9x+1$


ok, ci siamo quasi

$27x^3-73x^2-891x-2024=0$

piero_1
sei troppo veloce...
Ruffini

stefano.c11
"piero_":
sei troppo veloce...
Ruffini


quindi ... devo dividere valori che siano divisori di $27$ e $>=$ di $-1/3$

non capisco una cosa

il termine noto è $2024$ , i coef. del termine di grado maggiore è $27$ ... devo cercare quindi valori divisori di $2024/27$ ?

mi sono arenato ...

stefano.c11
Grazie mille piero_ , è chiaro il meccanismo di scomposizione alla Ruffini , ad ogni modo mi farò chiarire meglio questa equazione in particolare dal mio ex prof di mate
grazie mille ancora del tempo che mi hai regalato :-)

piero_1
"stefano.c":
[quote="piero_"]sei troppo veloce...
Ruffini


quindi ... devo dividere valori che siano divisori di $27$ e $>=$ di $-1/3$

non capisco una cosa

il termine noto è $2024$ , i coef. del termine di grado maggiore è $27$ ... devo cercare quindi valori divisori di $2024/27$ ?

mi sono arenato ...[/quote]

prima si prova con gli interi divisori di 27 e di 2024, dopo se non trovi nessun valore, con le frazioni.
ti risparmio la fatica, il polinomio decomposto è:
$(x-8)(27·x^2 + 143·x + 253)=0$
che ammette come soluzione reale appunto $x=8$

stefano.c11
avrei un'altra domanda , piuttosto banale ... perdonate la mia ignoranza e insistenza

sempre a proposito di equazioni irrazionali : la discussione che faccio una volta ottenute le soluzioni è sempre assoluta , o ammette casi in cui le condizioni di esistenza dei radicali siano ambigue ? chiedo questo perchè ho trovato le due soluzioni a questa equazione , ma eseguendo la verifica tramite disequazioni non riesco ad escludere quella falsa ; perchè ?

$sqrt(3x-2)+sqrt(x-1)=3$

$(sqrt(3x-2)+sqrt(x-1))^2=(3)^2$

$3x-2+x-1+2sqrt((3x-2)(x-1))=9$

$2sqrt(3x^2-2x-3x+2)+4x-3=9$

$2sqrt(3x^2-5x+2)=12-4x$

$(2sqrt(3x^2-5x+2))^2=(12-4x)^2$

$4(3x^2-5x+2)=144-96x+16x^2$

$12x^2-20x+8=144-96x+16x^2$

$4x^2-76x+136=0$

$sqrt(Delta)=60$ ; $x_(1,2)=(76+-60)/8$ ; $x_1=16/8=2$ ; $x_2=136/8=17$

Le condizioni sono : $3x-2>=0=>x>=2/3$ ; $x-1>0=>x>1$ ; entrambe verificano 17 , che è falsa ; sostituendo all'interno dei radicali ottengo

$sqrt49+sqrt16=3$

ma dov'è l'inghippo ??

Camillo
Elevando al quadrato hai introdotto delle radici spurie : mi riferisco al passaggio tra la quinta e la sesta riga

$2sqrt(3x^2-5x+2)=12-4x $
Perchè questa uguaglianza sia valida bisogna che $12-4x > 0 $ cioè $x<3 $ ecco la condizione aggiuntiva da imporre che fa escludere la soluzione $ x= 17 $.

stefano.c11
già è vero!!! l'avevo visto leggiucchiando qualcosa riguardo alle disequazioni irrazionali ... la condizione per la non negatività del radicale .
però il libro che uso , nel capitolo sulle equazioni irrazionali non ne fa parola ... grrr

grazie Camillo

Camillo
Hai due metodi da seguire per le equazioni irrazioali :

* Forza bruta * elevi al quadrato tutto quello che devi, poi però verifichi che le soluzioni che ottieni alla fine siano veramente anche soluzioni dell'equazione iniziale.

*Più elegante* prima di elevare al quadrato imponi le ulteriori e opportune condizioni/limitazioni sui valori che può assumere l'incognita e sarai così sicuro di passare da una equazione a un'altra equivalente.

stefano.c11
ad ogni passaggio con radicali impongo le condizioni di esistenza e non negatività del radicale , poi procedo coi calcoli , fino a che non ho più radicali
a quel punto risolvo l'equazione e verifico con le condizioni fino a quel momento trovate quale soluzione è vera o meno
tutto chiaro , grazie mille !

ripeto con parole mie , non per farti il verso , ma per tirar fuori quello che mi è entrato e rimasto in testa e vedere se è giusto o sbagliato :-)

@melia
"stefano.c":
ad ogni passaggio con radicali impongo le condizioni di esistenza e non negatività del radicale, poi procedo coi calcoli,...

Io direi così: ad ogni passaggio con radicali impongo
- le condizioni di esistenza che sono la non negatività del radicale
- la concordanza dei segni prima di elevare al quadrato (o a qualunque potenza pari), che sono il fatto che entrambi i membri devono avere lo stesso segno e siccome il termine con la radice è per definizione non negativo, quando esiste, anche il secondo membro deve essere non negativo.

stefano.c11
"@melia":

- le condizioni di esistenza che sono la non negatività del radicale
- la concordanza dei segni prima di elevare al quadrato (o a qualunque potenza pari), che sono il fatto che entrambi i membri devono avere lo stesso segno e siccome il termine con la radice è per definizione non negativo, quando esiste, anche il secondo membro deve essere non negativo.


per il primo punto avrei questa domanda :
le condizioni di esistenza valgono anche per equazioni letterali ? io a "pelle" direi proprio di no

per esempio all'equazione $sqrt(x+4ab)-sqrtx=2b$ non ha senso porre condizioni di esistenza dei radicali , visto che non potrò mai conoscere quanto valgono a e b ...

a proposito il risultato è $x=(a-b)^2$

@melia
"stefano.c":
[
per il primo punto avrei questa domanda :
le condizioni di esistenza valgono anche per equazioni letterali ? io a "pelle" direi proprio di no
per esempio all'equazione $sqrt(x+4ab)-sqrtx=2b$ non ha senso porre condizioni di esistenza dei radicali , visto che non potrò mai conoscere quanto valgono a e b ...
a proposito il risultato è $x=(a-b)^2$


Invece io direi proprio di sì, almeno le condizioni di esistenza per i radicali. Il resto si chiama discussione dell'equazione letterale e diventa piuttosto complicata.
$\{(x >= 0),(x>=-4ab):}$
$sqrt(x+4ab)-sqrtx=2b => sqrt(x+4ab)=sqrtx+2b $ a questo punto si dovrebbe imporre $sqrtx+2b>=0 =>sqrtx>= -2b$ che è sempre verificata se $b>=0$, mentre per $b<0$ è verificata solo se $x>=4b^2$

elevo ora tutto alla seconda ottenendo $x+4ab=x+4bsqrtx+4b^2$ da cui $4bsqrtx=4ab-4b^2$, se $b=0$ l'uguaglianza è sempre verificata, se $b!=0$ invece posso dividere tutto per 4b, ottenendo $sqrtx=a-b$, prima di elevare tutto alla seconda devo nuovamente imporre la non negatività del secondo membro $a>=b$ e ottengo finalmente il tanto agognato risultato $x=(a-b)^2$ che è sicuramente non negativo e sicuramente $>=$ di $ 4ab$

Riassumendo le soluzioni sono, senza la discussione
$x=(a-b)^2$ se $a>=b^^b!=0$
$x>=0$ se $b=0$

La discussione invece chiede di andare a verificare anche le condizioni $sqrtx+2b>=0 =>sqrtx>= -2b$ che è sempre verificata se $b>=0$, mentre per $b<0$ è verificata solo se $x>=4b^2$, o di andare a sostituire i risultati nell'equazione di partenza.

stefano.c11
grazie davvero !
devo ammettere che un pò temevo di aver torto
... ora mi guardo con calma tutti i passaggi ...

ps: ok , sì tutto chiaro !
Grazie!!

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