Equazioni irrazionali
Buonasera ancora
Mi trovo a rispondere a queste due domande teoriche sulle equazioni irrazionali .
Essendo un test di autovalutazione non sono presenti le soluzioni .
Ringrazio pertanto chiunque volesse aiutarmi nella correzione
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali quadratici quale delle seguenti affermazioni è vera ?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni pari
d. a,b,c sono false
La risposta è d : per dimostrazione , nell'insieme $R$ , elevando a potenza pari entrambi i membri di un'equazione non si ottiene un equazione equivalente a quella data ; le radici della prima sono anche radici della seconda , ma non viceversa e quindi vanno verificate algebricamente , oppure tramite disuguaglianze opportune
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici quale delle seguenti affermazioni è vera?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni dispari
d. a,b,c sono false
Risposta b : per dimostrazione ( che però il mio libro non fa se non per $x-2=4$) nell'insieme $R$ elevando a potenza dispari entrambi i membri di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a quella assegnata
Il mio libro effettua la dimostrazione per elevamento a esponente pari , ma non per quella dispari
io ho provato a fare la dimostrazione generalizzata per esponente dispari ...
siano $f$ e $g$ due funzioni generiche
$f=g$
$f^3 = g^3$
$f^3-g^3=0$
$(f-g)(f^2+fg+g^2)=0$ $=>$ $f=g$ soluzione valida
$f^2+fg+g^2=0$ $=>$ pongo $g^2=c$ e ottengo un'equazione di 2° grado nella variabile $f$
$f^2+fg+c$ il discriminante è $ g^2 - 4c = g^2-4g^2$ raccolgo e ottengo $g^2(1-4)<0$ quindi senza soluzioni reali
per questo le soluzioni ottenute da una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici sono tutte accettabili
...
Mi trovo a rispondere a queste due domande teoriche sulle equazioni irrazionali .
Essendo un test di autovalutazione non sono presenti le soluzioni .
Ringrazio pertanto chiunque volesse aiutarmi nella correzione
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali quadratici quale delle seguenti affermazioni è vera ?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni pari
d. a,b,c sono false
La risposta è d : per dimostrazione , nell'insieme $R$ , elevando a potenza pari entrambi i membri di un'equazione non si ottiene un equazione equivalente a quella data ; le radici della prima sono anche radici della seconda , ma non viceversa e quindi vanno verificate algebricamente , oppure tramite disuguaglianze opportune
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici quale delle seguenti affermazioni è vera?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni dispari
d. a,b,c sono false
Risposta b : per dimostrazione ( che però il mio libro non fa se non per $x-2=4$) nell'insieme $R$ elevando a potenza dispari entrambi i membri di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a quella assegnata
Il mio libro effettua la dimostrazione per elevamento a esponente pari , ma non per quella dispari
io ho provato a fare la dimostrazione generalizzata per esponente dispari ...
siano $f$ e $g$ due funzioni generiche
$f=g$
$f^3 = g^3$
$f^3-g^3=0$
$(f-g)(f^2+fg+g^2)=0$ $=>$ $f=g$ soluzione valida
$f^2+fg+g^2=0$ $=>$ pongo $g^2=c$ e ottengo un'equazione di 2° grado nella variabile $f$
$f^2+fg+c$ il discriminante è $ g^2 - 4c = g^2-4g^2$ raccolgo e ottengo $g^2(1-4)<0$ quindi senza soluzioni reali
per questo le soluzioni ottenute da una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici sono tutte accettabili
...
Risposte
Come regola generale, ricorda:
1) Se la radice è di indice pari devi trovare il dominio $f(x)>=0$
2) quindi elevi entrambi i membri dell'eq. al minimo comune indice
3) liberata l'eq. dai radicali, la risolvi come al solito
4) controlli che le soluz. trovate siano accettabili.
- se ne hai qualcuna in particolare vediamo
1) Se la radice è di indice pari devi trovare il dominio $f(x)>=0$
2) quindi elevi entrambi i membri dell'eq. al minimo comune indice
3) liberata l'eq. dai radicali, la risolvi come al solito
4) controlli che le soluz. trovate siano accettabili.
- se ne hai qualcuna in particolare vediamo
ci sarebbe questa che mi porta a spasso
$(root(3)(10x+45))^3=(sqrt(3x+1))^3$
$10x+45=(sqrt(3x+1))^3$
a questo punto ho provato a scomporla così , ma non mi porta a nulla
$10x+45=(3x+1)sqrt(3x+1)$ potrei estrarre $3x+1$ ma non mi porta a niente essendo i termini in x primi tra loro
risolvendo $10x+45=(sqrt(3x+1))^3$ classicamente mi diventa
$100x^2+900x+2025=27x^3+27x^2+9x+1$
semplifico i termini simili ed ho
$27x^3-73x^2-891x-2024=0$
il libro da come soluzione 8 ...
$(root(3)(10x+45))^3=(sqrt(3x+1))^3$
$10x+45=(sqrt(3x+1))^3$
a questo punto ho provato a scomporla così , ma non mi porta a nulla
$10x+45=(3x+1)sqrt(3x+1)$ potrei estrarre $3x+1$ ma non mi porta a niente essendo i termini in x primi tra loro
risolvendo $10x+45=(sqrt(3x+1))^3$ classicamente mi diventa
$100x^2+900x+2025=27x^3+27x^2+9x+1$
semplifico i termini simili ed ho
$27x^3-73x^2-891x-2024=0$
il libro da come soluzione 8 ...
"stefano.c":
ci sarebbe questa che mi porta a spasso
diciamo che il testo originale è questo?
$root(3)(10x+45)=sqrt(3x+1)$
- $3x+1>=0$ dominio della funzione
- eleva ambo i membri alla sesta (minimo comune indice tra $2$ e $3$)
- svolgi i calcoli
- verifica le soluzioni
dopo 2 passaggi ottengo
$(10x+45)^2=(3x+1)^3$
sviluppo il quadrato e il cubo dei due binomi e ottengo
$100x^2+900x+2025=27x^3+27x^2+9x+1$
$(10x+45)^2=(3x+1)^3$
sviluppo il quadrato e il cubo dei due binomi e ottengo
$100x^2+900x+2025=27x^3+27x^2+9x+1$
"stefano.c":
dopo 2 passaggi ottengo
$(10x+45)^2=(3x+1)^3$
ok, ma ricorda
$3x+1>=0$
-adesso sviluppa il quadrato e il cubo
"piero_":
ok, ma ricorda
$3x+1>=0$
-adesso sviluppa il quadrato e il cubo
non capisco ... cosa significa ?
$3x+1>=0$ è la condizione di esistenza del radicale giusto? mi servirà poi discuterla per verificare quali soluzioni sono vere e quali false
sviluppando i due prodotti notevoli , e semplificando ottengo
$27x^3-73x^2-891x-2024=0$
come andare avanti ?
"stefano.c":
dopo 2 passaggi ottengo
$(10x+45)^2=(3x+1)^3$
sviluppo il quadrato e il cubo dei due binomi e ottengo
$100x^2+900x+2025=27x^3+27x^2+9x+1$
ok, ci siamo quasi
$27x^3-73x^2-891x-2024=0$
sei troppo veloce...
Ruffini
Ruffini
"piero_":
sei troppo veloce...
Ruffini
quindi ... devo dividere valori che siano divisori di $27$ e $>=$ di $-1/3$
non capisco una cosa
il termine noto è $2024$ , i coef. del termine di grado maggiore è $27$ ... devo cercare quindi valori divisori di $2024/27$ ?
mi sono arenato ...
Grazie mille piero_ , è chiaro il meccanismo di scomposizione alla Ruffini , ad ogni modo mi farò chiarire meglio questa equazione in particolare dal mio ex prof di mate
grazie mille ancora del tempo che mi hai regalato
grazie mille ancora del tempo che mi hai regalato
"stefano.c":
[quote="piero_"]sei troppo veloce...
Ruffini
quindi ... devo dividere valori che siano divisori di $27$ e $>=$ di $-1/3$
non capisco una cosa
il termine noto è $2024$ , i coef. del termine di grado maggiore è $27$ ... devo cercare quindi valori divisori di $2024/27$ ?
mi sono arenato ...[/quote]
prima si prova con gli interi divisori di 27 e di 2024, dopo se non trovi nessun valore, con le frazioni.
ti risparmio la fatica, il polinomio decomposto è:
$(x-8)(27·x^2 + 143·x + 253)=0$
che ammette come soluzione reale appunto $x=8$
avrei un'altra domanda , piuttosto banale ... perdonate la mia ignoranza e insistenza
sempre a proposito di equazioni irrazionali : la discussione che faccio una volta ottenute le soluzioni è sempre assoluta , o ammette casi in cui le condizioni di esistenza dei radicali siano ambigue ? chiedo questo perchè ho trovato le due soluzioni a questa equazione , ma eseguendo la verifica tramite disequazioni non riesco ad escludere quella falsa ; perchè ?
$sqrt(3x-2)+sqrt(x-1)=3$
$(sqrt(3x-2)+sqrt(x-1))^2=(3)^2$
$3x-2+x-1+2sqrt((3x-2)(x-1))=9$
$2sqrt(3x^2-2x-3x+2)+4x-3=9$
$2sqrt(3x^2-5x+2)=12-4x$
$(2sqrt(3x^2-5x+2))^2=(12-4x)^2$
$4(3x^2-5x+2)=144-96x+16x^2$
$12x^2-20x+8=144-96x+16x^2$
$4x^2-76x+136=0$
$sqrt(Delta)=60$ ; $x_(1,2)=(76+-60)/8$ ; $x_1=16/8=2$ ; $x_2=136/8=17$
Le condizioni sono : $3x-2>=0=>x>=2/3$ ; $x-1>0=>x>1$ ; entrambe verificano 17 , che è falsa ; sostituendo all'interno dei radicali ottengo
$sqrt49+sqrt16=3$
ma dov'è l'inghippo ??
sempre a proposito di equazioni irrazionali : la discussione che faccio una volta ottenute le soluzioni è sempre assoluta , o ammette casi in cui le condizioni di esistenza dei radicali siano ambigue ? chiedo questo perchè ho trovato le due soluzioni a questa equazione , ma eseguendo la verifica tramite disequazioni non riesco ad escludere quella falsa ; perchè ?
$sqrt(3x-2)+sqrt(x-1)=3$
$(sqrt(3x-2)+sqrt(x-1))^2=(3)^2$
$3x-2+x-1+2sqrt((3x-2)(x-1))=9$
$2sqrt(3x^2-2x-3x+2)+4x-3=9$
$2sqrt(3x^2-5x+2)=12-4x$
$(2sqrt(3x^2-5x+2))^2=(12-4x)^2$
$4(3x^2-5x+2)=144-96x+16x^2$
$12x^2-20x+8=144-96x+16x^2$
$4x^2-76x+136=0$
$sqrt(Delta)=60$ ; $x_(1,2)=(76+-60)/8$ ; $x_1=16/8=2$ ; $x_2=136/8=17$
Le condizioni sono : $3x-2>=0=>x>=2/3$ ; $x-1>0=>x>1$ ; entrambe verificano 17 , che è falsa ; sostituendo all'interno dei radicali ottengo
$sqrt49+sqrt16=3$
ma dov'è l'inghippo ??
Elevando al quadrato hai introdotto delle radici spurie : mi riferisco al passaggio tra la quinta e la sesta riga
$2sqrt(3x^2-5x+2)=12-4x $
Perchè questa uguaglianza sia valida bisogna che $12-4x > 0 $ cioè $x<3 $ ecco la condizione aggiuntiva da imporre che fa escludere la soluzione $ x= 17 $.
$2sqrt(3x^2-5x+2)=12-4x $
Perchè questa uguaglianza sia valida bisogna che $12-4x > 0 $ cioè $x<3 $ ecco la condizione aggiuntiva da imporre che fa escludere la soluzione $ x= 17 $.
già è vero!!! l'avevo visto leggiucchiando qualcosa riguardo alle disequazioni irrazionali ... la condizione per la non negatività del radicale .
però il libro che uso , nel capitolo sulle equazioni irrazionali non ne fa parola ... grrr
grazie Camillo
però il libro che uso , nel capitolo sulle equazioni irrazionali non ne fa parola ... grrr
grazie Camillo
Hai due metodi da seguire per le equazioni irrazioali :
* Forza bruta * elevi al quadrato tutto quello che devi, poi però verifichi che le soluzioni che ottieni alla fine siano veramente anche soluzioni dell'equazione iniziale.
*Più elegante* prima di elevare al quadrato imponi le ulteriori e opportune condizioni/limitazioni sui valori che può assumere l'incognita e sarai così sicuro di passare da una equazione a un'altra equivalente.
* Forza bruta * elevi al quadrato tutto quello che devi, poi però verifichi che le soluzioni che ottieni alla fine siano veramente anche soluzioni dell'equazione iniziale.
*Più elegante* prima di elevare al quadrato imponi le ulteriori e opportune condizioni/limitazioni sui valori che può assumere l'incognita e sarai così sicuro di passare da una equazione a un'altra equivalente.
ad ogni passaggio con radicali impongo le condizioni di esistenza e non negatività del radicale , poi procedo coi calcoli , fino a che non ho più radicali
a quel punto risolvo l'equazione e verifico con le condizioni fino a quel momento trovate quale soluzione è vera o meno
tutto chiaro , grazie mille !
ripeto con parole mie , non per farti il verso , ma per tirar fuori quello che mi è entrato e rimasto in testa e vedere se è giusto o sbagliato
a quel punto risolvo l'equazione e verifico con le condizioni fino a quel momento trovate quale soluzione è vera o meno
tutto chiaro , grazie mille !
ripeto con parole mie , non per farti il verso , ma per tirar fuori quello che mi è entrato e rimasto in testa e vedere se è giusto o sbagliato
"stefano.c":
ad ogni passaggio con radicali impongo le condizioni di esistenza e non negatività del radicale, poi procedo coi calcoli,...
Io direi così: ad ogni passaggio con radicali impongo
- le condizioni di esistenza che sono la non negatività del radicale
- la concordanza dei segni prima di elevare al quadrato (o a qualunque potenza pari), che sono il fatto che entrambi i membri devono avere lo stesso segno e siccome il termine con la radice è per definizione non negativo, quando esiste, anche il secondo membro deve essere non negativo.
"@melia":
- le condizioni di esistenza che sono la non negatività del radicale
- la concordanza dei segni prima di elevare al quadrato (o a qualunque potenza pari), che sono il fatto che entrambi i membri devono avere lo stesso segno e siccome il termine con la radice è per definizione non negativo, quando esiste, anche il secondo membro deve essere non negativo.
per il primo punto avrei questa domanda :
le condizioni di esistenza valgono anche per equazioni letterali ? io a "pelle" direi proprio di no
per esempio all'equazione $sqrt(x+4ab)-sqrtx=2b$ non ha senso porre condizioni di esistenza dei radicali , visto che non potrò mai conoscere quanto valgono a e b ...
a proposito il risultato è $x=(a-b)^2$
"stefano.c":
[
per il primo punto avrei questa domanda :
le condizioni di esistenza valgono anche per equazioni letterali ? io a "pelle" direi proprio di no
per esempio all'equazione $sqrt(x+4ab)-sqrtx=2b$ non ha senso porre condizioni di esistenza dei radicali , visto che non potrò mai conoscere quanto valgono a e b ...
a proposito il risultato è $x=(a-b)^2$
Invece io direi proprio di sì, almeno le condizioni di esistenza per i radicali. Il resto si chiama discussione dell'equazione letterale e diventa piuttosto complicata.
$\{(x >= 0),(x>=-4ab):}$
$sqrt(x+4ab)-sqrtx=2b => sqrt(x+4ab)=sqrtx+2b $ a questo punto si dovrebbe imporre $sqrtx+2b>=0 =>sqrtx>= -2b$ che è sempre verificata se $b>=0$, mentre per $b<0$ è verificata solo se $x>=4b^2$
elevo ora tutto alla seconda ottenendo $x+4ab=x+4bsqrtx+4b^2$ da cui $4bsqrtx=4ab-4b^2$, se $b=0$ l'uguaglianza è sempre verificata, se $b!=0$ invece posso dividere tutto per 4b, ottenendo $sqrtx=a-b$, prima di elevare tutto alla seconda devo nuovamente imporre la non negatività del secondo membro $a>=b$ e ottengo finalmente il tanto agognato risultato $x=(a-b)^2$ che è sicuramente non negativo e sicuramente $>=$ di $ 4ab$
Riassumendo le soluzioni sono, senza la discussione
$x=(a-b)^2$ se $a>=b^^b!=0$
$x>=0$ se $b=0$
La discussione invece chiede di andare a verificare anche le condizioni $sqrtx+2b>=0 =>sqrtx>= -2b$ che è sempre verificata se $b>=0$, mentre per $b<0$ è verificata solo se $x>=4b^2$, o di andare a sostituire i risultati nell'equazione di partenza.
grazie davvero !
devo ammettere che un pò temevo di aver torto
... ora mi guardo con calma tutti i passaggi ...
ps: ok , sì tutto chiaro !
Grazie!!
devo ammettere che un pò temevo di aver torto
... ora mi guardo con calma tutti i passaggi ...
ps: ok , sì tutto chiaro !
Grazie!!
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