Equazioni irrazionali
Buonasera ancora
Mi trovo a rispondere a queste due domande teoriche sulle equazioni irrazionali .
Essendo un test di autovalutazione non sono presenti le soluzioni .
Ringrazio pertanto chiunque volesse aiutarmi nella correzione
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali quadratici quale delle seguenti affermazioni è vera ?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni pari
d. a,b,c sono false
La risposta è d : per dimostrazione , nell'insieme $R$ , elevando a potenza pari entrambi i membri di un'equazione non si ottiene un equazione equivalente a quella data ; le radici della prima sono anche radici della seconda , ma non viceversa e quindi vanno verificate algebricamente , oppure tramite disuguaglianze opportune
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici quale delle seguenti affermazioni è vera?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni dispari
d. a,b,c sono false
Risposta b : per dimostrazione ( che però il mio libro non fa se non per $x-2=4$) nell'insieme $R$ elevando a potenza dispari entrambi i membri di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a quella assegnata
Il mio libro effettua la dimostrazione per elevamento a esponente pari , ma non per quella dispari
io ho provato a fare la dimostrazione generalizzata per esponente dispari ...
siano $f$ e $g$ due funzioni generiche
$f=g$
$f^3 = g^3$
$f^3-g^3=0$
$(f-g)(f^2+fg+g^2)=0$ $=>$ $f=g$ soluzione valida
$f^2+fg+g^2=0$ $=>$ pongo $g^2=c$ e ottengo un'equazione di 2° grado nella variabile $f$
$f^2+fg+c$ il discriminante è $ g^2 - 4c = g^2-4g^2$ raccolgo e ottengo $g^2(1-4)<0$ quindi senza soluzioni reali
per questo le soluzioni ottenute da una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici sono tutte accettabili
...
Mi trovo a rispondere a queste due domande teoriche sulle equazioni irrazionali .
Essendo un test di autovalutazione non sono presenti le soluzioni .
Ringrazio pertanto chiunque volesse aiutarmi nella correzione
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali quadratici quale delle seguenti affermazioni è vera ?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni pari
d. a,b,c sono false
La risposta è d : per dimostrazione , nell'insieme $R$ , elevando a potenza pari entrambi i membri di un'equazione non si ottiene un equazione equivalente a quella data ; le radici della prima sono anche radici della seconda , ma non viceversa e quindi vanno verificate algebricamente , oppure tramite disuguaglianze opportune
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici quale delle seguenti affermazioni è vera?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni dispari
d. a,b,c sono false
Risposta b : per dimostrazione ( che però il mio libro non fa se non per $x-2=4$) nell'insieme $R$ elevando a potenza dispari entrambi i membri di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a quella assegnata
Il mio libro effettua la dimostrazione per elevamento a esponente pari , ma non per quella dispari
io ho provato a fare la dimostrazione generalizzata per esponente dispari ...
siano $f$ e $g$ due funzioni generiche
$f=g$
$f^3 = g^3$
$f^3-g^3=0$
$(f-g)(f^2+fg+g^2)=0$ $=>$ $f=g$ soluzione valida
$f^2+fg+g^2=0$ $=>$ pongo $g^2=c$ e ottengo un'equazione di 2° grado nella variabile $f$
$f^2+fg+c$ il discriminante è $ g^2 - 4c = g^2-4g^2$ raccolgo e ottengo $g^2(1-4)<0$ quindi senza soluzioni reali
per questo le soluzioni ottenute da una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici sono tutte accettabili
...
Risposte
dunque :
$sqrt(5a^2-x)=5a-sqrt(x+8a^2)$ ; pongo le condizioni $5a^2-x>=0=>x<=5a^2$ sempre vero per $+-a$ ; $x+8a^2>=0=>x>=-8a^2$ per $+-a$
discuto la non negativita del secondo membro $5a-sqrt(x+8a^2)>=0$ se $a=0$ il radicale diventa negativo , rendendo impossibile l'equazione ;
idem per $a<0$ ; per $a!=0^^a>0$ invece ho $sqrt(x+8a^2)<=5a=>x+8a^2<=25a^2$ quindi $x<=17a^2$
ora posso procedere
$(sqrt(5a^2-x))^2=(5a-sqrt(x+8a^2))^2$ ; $5a^2-x=25a^2+x+8a^2-10asqrt(x+8a^2)$ ; $(10asqrt(x+8a^2))^2=(28a^2+2x)^2$
$100a^2(x+8a^2)=784a^4+112a^2x+4x^2$ ; $100a^2x-112a^2x+800a^4-784a^4-4x^2=0$ ; $-4x^2-12a^2x+16a^4=0$
$x^2+3a^2x-4a^4=0$ ; $Delta=9a^4+16a^4$ $x_(1,2)=(-3a^2+-5a^2)/2$ $x_1=-4a^2"$ , $x_2=a^2$
i risultati sono esatti viste le condizioni $x<=5a^2$ , $x>=-8a^2$ , e tenendo conto che per $a!=0=>x<=17a^2$
questa sarebbe la discussione dell'equazione letterale ?
$sqrt(5a^2-x)=5a-sqrt(x+8a^2)$ ; pongo le condizioni $5a^2-x>=0=>x<=5a^2$ sempre vero per $+-a$ ; $x+8a^2>=0=>x>=-8a^2$ per $+-a$
discuto la non negativita del secondo membro $5a-sqrt(x+8a^2)>=0$ se $a=0$ il radicale diventa negativo , rendendo impossibile l'equazione ;
idem per $a<0$ ; per $a!=0^^a>0$ invece ho $sqrt(x+8a^2)<=5a=>x+8a^2<=25a^2$ quindi $x<=17a^2$
ora posso procedere
$(sqrt(5a^2-x))^2=(5a-sqrt(x+8a^2))^2$ ; $5a^2-x=25a^2+x+8a^2-10asqrt(x+8a^2)$ ; $(10asqrt(x+8a^2))^2=(28a^2+2x)^2$
$100a^2(x+8a^2)=784a^4+112a^2x+4x^2$ ; $100a^2x-112a^2x+800a^4-784a^4-4x^2=0$ ; $-4x^2-12a^2x+16a^4=0$
$x^2+3a^2x-4a^4=0$ ; $Delta=9a^4+16a^4$ $x_(1,2)=(-3a^2+-5a^2)/2$ $x_1=-4a^2"$ , $x_2=a^2$
i risultati sono esatti viste le condizioni $x<=5a^2$ , $x>=-8a^2$ , e tenendo conto che per $a!=0=>x<=17a^2$
questa sarebbe la discussione dell'equazione letterale ?
domanda banale , che rispecchia tutta la mia ignoranza
quando discuto l'argomento di un radicale , per imporne le condizioni di esistenza , può capitare che mi trovi di fronte ad una equazione di 2° grado : in questo caso mi comporto come se fosse una normale disequazione o ci sono condizioni particolari di cui tener conto ?
faccio un esempio che sicuramente spiega meglio quel che voglio dire
$sqrt(x^2-5)=0$ quando pongo le condizioni , e nella verifica delle soluzioni dell'equazione ,devo tener conto dei valori esterni all'intervallo $+-sqrt5$ o i singoli fattori $x>=+sqrt5$ ; $x>=-sqrt5$
scusate l'ignoranza e grazie in anticipo delle risposte
quando discuto l'argomento di un radicale , per imporne le condizioni di esistenza , può capitare che mi trovi di fronte ad una equazione di 2° grado : in questo caso mi comporto come se fosse una normale disequazione o ci sono condizioni particolari di cui tener conto ?
faccio un esempio che sicuramente spiega meglio quel che voglio dire
$sqrt(x^2-5)=0$ quando pongo le condizioni , e nella verifica delle soluzioni dell'equazione ,devo tener conto dei valori esterni all'intervallo $+-sqrt5$ o i singoli fattori $x>=+sqrt5$ ; $x>=-sqrt5$
scusate l'ignoranza e grazie in anticipo delle risposte
dei valori esterni all'intervallo $+-sqrt5$ , ovvero $x<-sqrt5 vv x>sqrt5$
PS non ho ancora controllato la discussione dell'esercizio precedente, prometto che domani lo farò, ma mi ci vuole un po' di tranquillità, che adesso mi manca.
PS non ho ancora controllato la discussione dell'esercizio precedente, prometto che domani lo farò, ma mi ci vuole un po' di tranquillità, che adesso mi manca.
ok ... ero quasi sicuro , ho preferito chiedere a causa di un esercizio con soluzione nettamente in contrasto con quanto detto sopra .
errare è umano , e i libri son fatti da uomini purtroppo
ad ogni modo ho approfondito a sufficienza l'argomento equazioni irrazionali e grazie al forum e a tutti sono riuscito a capire i miei errori
credo sia il caso di passare ad un nuovo argomento : esponenziali e logaritmi ... non tarderanno ad arrivare le domande
ciao ciao e ancora grazie a tutti , mod e utenti
errare è umano , e i libri son fatti da uomini purtroppo
ad ogni modo ho approfondito a sufficienza l'argomento equazioni irrazionali e grazie al forum e a tutti sono riuscito a capire i miei errori
credo sia il caso di passare ad un nuovo argomento : esponenziali e logaritmi ... non tarderanno ad arrivare le domande
ciao ciao e ancora grazie a tutti , mod e utenti
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