Equazioni irrazionali
Buonasera ancora
Mi trovo a rispondere a queste due domande teoriche sulle equazioni irrazionali .
Essendo un test di autovalutazione non sono presenti le soluzioni .
Ringrazio pertanto chiunque volesse aiutarmi nella correzione
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali quadratici quale delle seguenti affermazioni è vera ?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni pari
d. a,b,c sono false
La risposta è d : per dimostrazione , nell'insieme $R$ , elevando a potenza pari entrambi i membri di un'equazione non si ottiene un equazione equivalente a quella data ; le radici della prima sono anche radici della seconda , ma non viceversa e quindi vanno verificate algebricamente , oppure tramite disuguaglianze opportune
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici quale delle seguenti affermazioni è vera?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni dispari
d. a,b,c sono false
Risposta b : per dimostrazione ( che però il mio libro non fa se non per $x-2=4$) nell'insieme $R$ elevando a potenza dispari entrambi i membri di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a quella assegnata
Il mio libro effettua la dimostrazione per elevamento a esponente pari , ma non per quella dispari
io ho provato a fare la dimostrazione generalizzata per esponente dispari ...
siano $f$ e $g$ due funzioni generiche
$f=g$
$f^3 = g^3$
$f^3-g^3=0$
$(f-g)(f^2+fg+g^2)=0$ $=>$ $f=g$ soluzione valida
$f^2+fg+g^2=0$ $=>$ pongo $g^2=c$ e ottengo un'equazione di 2° grado nella variabile $f$
$f^2+fg+c$ il discriminante è $ g^2 - 4c = g^2-4g^2$ raccolgo e ottengo $g^2(1-4)<0$ quindi senza soluzioni reali
per questo le soluzioni ottenute da una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici sono tutte accettabili
...
Mi trovo a rispondere a queste due domande teoriche sulle equazioni irrazionali .
Essendo un test di autovalutazione non sono presenti le soluzioni .
Ringrazio pertanto chiunque volesse aiutarmi nella correzione
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali quadratici quale delle seguenti affermazioni è vera ?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni pari
d. a,b,c sono false
La risposta è d : per dimostrazione , nell'insieme $R$ , elevando a potenza pari entrambi i membri di un'equazione non si ottiene un equazione equivalente a quella data ; le radici della prima sono anche radici della seconda , ma non viceversa e quindi vanno verificate algebricamente , oppure tramite disuguaglianze opportune
Data una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici quale delle seguenti affermazioni è vera?
a. sono accettabili solo le soluzioni positive
b. sono accettabili tutte le soluzioni
c. sono accettabili solo le soluzioni dispari
d. a,b,c sono false
Risposta b : per dimostrazione ( che però il mio libro non fa se non per $x-2=4$) nell'insieme $R$ elevando a potenza dispari entrambi i membri di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a quella assegnata
Il mio libro effettua la dimostrazione per elevamento a esponente pari , ma non per quella dispari
io ho provato a fare la dimostrazione generalizzata per esponente dispari ...
siano $f$ e $g$ due funzioni generiche
$f=g$
$f^3 = g^3$
$f^3-g^3=0$
$(f-g)(f^2+fg+g^2)=0$ $=>$ $f=g$ soluzione valida
$f^2+fg+g^2=0$ $=>$ pongo $g^2=c$ e ottengo un'equazione di 2° grado nella variabile $f$
$f^2+fg+c$ il discriminante è $ g^2 - 4c = g^2-4g^2$ raccolgo e ottengo $g^2(1-4)<0$ quindi senza soluzioni reali
per questo le soluzioni ottenute da una equazione irrazionale contenente solo radicali cubici sono tutte accettabili
...
Risposte
Innanzitutto una critica a chi ha scritto le domande: per come sono scritte le domande non significano niente, bisognava aggiungere "elevando a potenza 2" o "elevando a potenza 3". Per il primo secondo me avresti dovuto procedere tramite controesempi.
"WiZaRd":
Per il primo secondo me avresti dovuto procedere tramite controesempi.
Intende dire dimostrare la falsità di ogni singola risposta ?
Per dimostrazione , elevando entrambi i membri di un'equazione a potenza pari non ottengo una equazione equivalente , e come tale nelle sue radici ottengo valori validi per la prima equaz. ma anche valori non validi , e quindi in linea generale non sono accettabili tutte le soluzioni ( risposta b) ; per le risposte a e c invece credo basti dire che non ha senso parlare di valori delle radici pari o dispari , avendo dimostrato per valori generici , a maggior ragione vale la non assoluta validità per valori numerici .
vorrei risolvere questa equazione ma non riesco
dov'è che sbaglio ?
$root(3)(13x+1)=sqrt(4x+1)$
$(root(3)(13x+1))^3=(sqrt(4x+1))^3$
$13x+1=sqrt((4x+1)^3)$
$(13x+1)^2=(sqrt(64x^3+48x^2+12x+1))^2$
$169x^2+26x+1=64x^3+48x^2+12x+1$
$64x^3-121x^2-14x=0$
devo aver sbagliato da qualche parte, ma dove ? ... il libro da come soluzioni 0 e 2
dov'è che sbaglio ?
$root(3)(13x+1)=sqrt(4x+1)$
$(root(3)(13x+1))^3=(sqrt(4x+1))^3$
$13x+1=sqrt((4x+1)^3)$
$(13x+1)^2=(sqrt(64x^3+48x^2+12x+1))^2$
$169x^2+26x+1=64x^3+48x^2+12x+1$
$64x^3-121x^2-14x=0$
devo aver sbagliato da qualche parte, ma dove ? ... il libro da come soluzioni 0 e 2
$64x^3 - 121x^2 - 14x = 0$ mettendo in evidenza x viene $x(64x^2 - 121x -14) = 0$, per la legge dell'annullamento del prodotto $x = 0$ prima soluzione, risolvi la seconda equazioni (2 grado) $64x^2 - 121x -14=0$ e ottieni gli altri due risultati che sono $x = 2$ e $x = -7$, ma inizialmente hai dato i campi di esistenza $4x +1 >=0$ quindi $x>=-1/4$ quindi -7 non è accettabile.
credevo che il metodo di ruffini fosse applicabile solo in presenza del termine noto , ovvero cercare tra i valori divisori del termine noto gli zeri .
quindi posso usare tale metodo per tentativi anche in assenza del termine noto , ok
grazie mille!
la risposta modificata è più esauriente , grazie ancora , ora so come procedere
quindi posso usare tale metodo per tentativi anche in assenza del termine noto , ok
grazie mille!
la risposta modificata è più esauriente , grazie ancora , ora so come procedere
adesso la regola di ruffini non la ricordo bene, comunque il secondo metodo che ti ho dato è senz'altro il più giusto.
Scomposizione di Ruffini: si può scomporre un polinomio nei suoi binomi divisori del tipo $(x-a)$ purche $a$ sia radice (ovvero zero) del polinomio , ovvero sostituendo $a$ ad $x$ il polinomio si annulla . Per trovare $a$ si procede per tentativi , cercando tra i divisori del termine noto del polinomio
ok per ruffini c'è bisogno del termine noto, lo terrò a mente.
Grazie.
Grazie.
"stefano.c":
credevo che il metodo di ruffini fosse applicabile solo in presenza del termine noto , ovvero cercare tra i valori divisori del termine noto gli zeri .
quindi posso usare tale metodo per tentativi anche in assenza del termine noto , ok
grazie mille!
La regola di Ruffini serve a scomporre un polinomio nel prodotto di più fattori di grado minore, ma per la soluzione dell'equazione, come giustamente detto da OverRun, si usa la "Legge di annullamento del prodotto".
OverRun ha fattorizzato il polinomio senza Ruffini, che è usato come extrema ratio quando non si vedono altri metodi più immediati.
Tieni conto anche del fatto che, in polinomi non monici, per gli zeri si considerano anche i divisori del primo termine, con segno positivo e negativo, e le frazioni di detti divisori (primo e ultimo termine), sempre presi con segno + e -.
"piero_":
La regola di Ruffini serve a scomporre un polinomio nel prodotto di più fattori di grado minore, ma per la soluzione dell'equazione, come giustamente detto da OverRun, si usa la "Legge di annullamento del prodotto".
OverRun ha fattorizzato il polinomio senza Ruffini, che è usato come extrema ratio quando non si vedono altri metodi più immediati.
Ok perfetto , tutto chiaro
Senza termine noto posso usare la legge di annullamento del prodotto
Con termine noto , se non c'è altra maniere lampante , uso ruffini ...
E dire che , a riguardare gli appunti , ci avevo anche provato a risolverla come l'ha risolta overrun , solamente che mi sono spaventato nel vedere la $x_1$ ed ho tirato una riga
$x(64x^2-121x-14)=0$
$x_1=-7/64$ ; $x_2=2$
grazie ancora ragazzi
"stefano.c":
Senza termine noto posso usare la legge di annullamento del prodotto
Con termine noto , se non c'è altra maniere lampante , uso ruffini ...
Guarda che anche con Ruffini, per risolvere l'equazione, applichi in pratica la legge di annullamento del prodotto.
Come spunto di riflessione ti lascio questa.
$30·x^3 - 31·x^2 + 10·x - 1=0$
"piero_":
Guarda che anche con Ruffini, per risolvere l'equazione, applichi in pratica la legge di annullamento del prodotto.
Come spunto di riflessione ti lascio questa.
$30·x^3 - 31·x^2 + 10·x - 1=0$
non capisco ...
$x(30x^2-31x+10)=1$
non mi sembra che in questo caso 1 possa essere una radice ..
"stefano.c":
non capisco ...
$x(30x^2-31x+10)=1$
non mi sembra che in questo caso 1 possa essere una radice ..
Infatti non lo è!
mi spiego meglio:
Quello che volevo farti osservare è che la soluzione dell'equazione $30x^3-31x^2+10x-1=0$ che ti ho lasciato non la trovi tra gli interi divisori di 30, ma tra le frazioni composte dai divisori del termine noto e di 30...
pensaci, poi ti dico.
"piero_":
la soluzione dell'equazione $30x^3-31x^2+10x-1=0$ che ti ho lasciato non la trovi tra gli interi divisori di 30, ma tra le frazioni composte dai divisori del termine noto e di 30...
pensaci, poi ti dico.
quindi devo per tentativi trovare i valori che mi annullano l'equazione tra questi :
$+-1/30$ , $+-1/15$ , $+-1/10$ , $+-1/6$ , $+-1/5$ , $+-1/2$
"stefano.c":
[quote="piero_"]
la soluzione dell'equazione $30x^3-31x^2+10x-1=0$ che ti ho lasciato non la trovi tra gli interi divisori di 30, ma tra le frazioni composte dai divisori del termine noto e di 30...
pensaci, poi ti dico.
quindi devo per tentativi trovare i valori che mi annullano l'equazione tra questi :
$+-1/30$ , $+-1/15$ , $+-1/10$ , $+-1/6$ , $+-1/5$ , $+-1/2$[/quote]
Bravo!
come consiglio, partirei dal minore
ok , credo di aver capito
in poche parole è come se , prima di procedere alla ricerca degli zeri , debba ridurre l'equazione di modo da avere il coefficiente del termine di grado maggiore uguale ad 1
ora devo scappare , ho un'appuntamento dal dottore
grazie ancora per l'aiuto e le dritte
ciao
in poche parole è come se , prima di procedere alla ricerca degli zeri , debba ridurre l'equazione di modo da avere il coefficiente del termine di grado maggiore uguale ad 1
ora devo scappare , ho un'appuntamento dal dottore
grazie ancora per l'aiuto e le dritte
ciao
"stefano.c":
ok , credo di aver capito
in poche parole è come se , prima di procedere alla ricerca degli zeri , debba ridurre l'equazione di modo da avere il coefficiente del termine di grado maggiore uguale ad 1
direi che ci siamo, anche se non è necessario che il primo termine sia 1, ma si può dire anche così.
a proposito, l'equazione diventa :
$(x - 1/2)*(x - 1/3)*(x - 1/5)=0
sì , chiedo scusa non l'ho risolta ... mi ero fermato al ragionamento
ora mi sono concentrato su altre equazioni irrazionali , di questo tipo
$root(a)f_x=root(b)g_x$
che mi stanno dando un pò di problemi ...
ora mi sono concentrato su altre equazioni irrazionali , di questo tipo
$root(a)f_x=root(b)g_x$
che mi stanno dando un pò di problemi ...
"stefano.c":
sì , chiedo scusa non l'ho risolta ... mi ero fermato al ragionamento
ora mi sono concentrato su altre equazioni irrazionali , di questo tipo
$root(a)f_x=root(b)g_x$
che mi stanno dando un pò di problemi ...
intendi queste?
$root(a)f(x)=root(b)g(x)$
"piero_":
intendi queste?
$root(a)f(x)=root(b)g(x)$
sì , decisamente quelle
a quanto pare ho ancora qualche problema con scomposizione di polinomi
... e dire che volevo cominciare con funzioni esponenziali e logaritmiche ...credo che sia il caso rimandare
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