Equazione trigonometrica di secondo grado
come la risolvo? $ cos^2x + sin x -2cos x >0 $
Risposte
Intanto quella che hai scritto è una disequazione...
ah è vero scusa... aiuti???
Con le formule parametriche in tangente di alfa mezzi.
come?
Silvia, sei sicura di aver scritto bene il testo? Così com'è, il metodo suggerito da @melia è effettivamente l'unico possibile, ma conduce ad un'equazione di quarto grado senza soluzioni facili.
Controlla; se non hai sbagliato a copiare potrebbe esserci un errore di stampa. In tal caso, dicci le soluzioni del testo: forse lo individueremo.
Controlla; se non hai sbagliato a copiare potrebbe esserci un errore di stampa. In tal caso, dicci le soluzioni del testo: forse lo individueremo.
c'e un errore: è maggiore di meno uno non zero
Allora segui le indicazioni da @melia ed otterrai un'equazione non particolarmente difficile. Le formule parametriche le sai, ed infatti le hai usate nell'altro post in cui ci siamo incontrati; se ci sono altre difficoltà scrivi i tuoi calcoli ed i dubbi relativi.
una persona mi ha detto di usare il metodo grafico e se non lo so fare di impararlo. qui si può usare il metodo grafico?
anche perché proprio non capisco come posso usare qui le formule parametriche
Il metodo grafico può essere usato solo per le equazioni (e disequazioni) lineari, cioè del tipo $asinx+bcosx+c=0$, dove $a,b,c$ sono tre numeri qualsiasi.
Quanto alle parametriche, le si usa in modo banalissimo, sostituendo a seno e coseno la formula da loro indicata. Posto $t=tan frac x 2$, la tua disequazione diventa quindi
$((1-t^2)/(1+t^2))^2+(2t)/(1+t^2)-2(1-t^2)/(1+t^2)> -1$
Ora fai i calcoli, ricavi $t$ e ne deduci $x$.
Quanto alle parametriche, le si usa in modo banalissimo, sostituendo a seno e coseno la formula da loro indicata. Posto $t=tan frac x 2$, la tua disequazione diventa quindi
$((1-t^2)/(1+t^2))^2+(2t)/(1+t^2)-2(1-t^2)/(1+t^2)> -1$
Ora fai i calcoli, ricavi $t$ e ne deduci $x$.
"giammaria":
Il metodo grafico può essere usato solo per le equazioni (e disequazioni) lineari, cioè del tipo $asinx+bcosx+c=0$, dove $a,b,c$ sono tre numeri qualsiasi.
Quanto alle parametriche, le si usa in modo banalissimo, sostituendo a seno e coseno la formula da loro indicata. Posto $t=tan frac x 2$, la tua disequazione diventa quindi
$((1-t^2)/(1+t^2))^2+(2t)/(1+t^2)-2(1-t^2)/(1+t^2)> -1$
Ora fai i calcoli, ricavi $t$ e ne deduci $x$.
sei sicuri? perché il tutor di analisi che ha inventato l'esercizio mi ha detto di risolverlo graficamente
"Silvia panera":
il tutor di analisi che ha inventato l'esercizio mi ha detto di risolverlo graficamente
Di solito il metodo grafico viene usato solo per le lineari, ma effettivamente può essere esteso anche ad equazioni o disequazioni di qualsiasi tipo.
In ogni caso, si tratta di trovare quale parte del cerchio goniometrico, definito da
${(X=cosx),(Y=sinx):}$
soddisfa alla formula data, che nel tuo caso è
$X^2+Y-2X> -1 hArr Y> -X^2+2X-1$
Bisogna quindi trovare quali parti del cerchio goniometrico stanno al di sopra di quella parabola. Adesso continua tu.
dovrebbe essere una parabola con vertice in (0, 1) e asse x=1
sostituisco la y nell'equazione $x^2+y^2=1$
ottengo:
$x^4+4x^3+7x^2=0$, che non so come risolvere
sostituisco la y nell'equazione $x^2+y^2=1$
ottengo:
$x^4+4x^3+7x^2=0$, che non so come risolvere
Si chiama "metodo grafico" perché va risolto non con i calcoli ma col disegno; vediamo come.
Disegni il cerchio goniometrico, con centro nell'origine e raggio 1. Poi disegni la parabola: è rivolta verso il basso, ha vertice in (1,0) e passa per (0,-1). Guardando il disegno, vedi subito che le due curve si incontrano solo nei due punti citati; la parte di cerchio goniometrico che sta sopra alla parabola è quella fra 0 e $(3pi)/2$, quindi la soluzione è
$0+2kpi
Correggo qualche altro tuo errore:
- le coordinata sono X, Y (maiuscole) e non vanno confuse con l'angolo x (minuscolo);
- il vertice è in (1,0) e non in (0,1);
- facendo i calcoli (anche se in questo caso sono superflui, in base a quello che ti ho detto) non si trova la tua equazione, ma $X^4-4X^3+7X^2-4X=0$. Per risolverla cominci a mettere in evidenza X, poi con la regola di Ruffini scopri che quello che resta è divisibile per $X-1$, che metti in evidenza; arrivi così a $X(X-1)(X^2-3X+4)=0$. Per la legge di annullamento del prodotto, un prodotto vale zero se e solo se un fattore vale zero: nel tuo caso può valere zero il primo (soluzione X=0) o il secondo (soluzione X=1) o il terzo (nessuna soluzione reale). A questo punto hai trovato le soluzioni dell'equazione (le stesse che avevamo viste subito) e guardi il disegno per quelle della disequazione.
- se davvero l'equazione fosse quella che riporti, la soluzione sarebbe facilissima: basta mettere in evidenza $x^2$ e poi applicare la legge di annullamento del prodotto.
P.S. Parli di un tutor, quindi suppongo che tu sia all'università, in una facoltà che dà importanza alla matematica. Ma in questa materia hai poche basi; sei sicura di aver fatto la scelta giusta?
Disegni il cerchio goniometrico, con centro nell'origine e raggio 1. Poi disegni la parabola: è rivolta verso il basso, ha vertice in (1,0) e passa per (0,-1). Guardando il disegno, vedi subito che le due curve si incontrano solo nei due punti citati; la parte di cerchio goniometrico che sta sopra alla parabola è quella fra 0 e $(3pi)/2$, quindi la soluzione è
$0+2kpi
Correggo qualche altro tuo errore:
- le coordinata sono X, Y (maiuscole) e non vanno confuse con l'angolo x (minuscolo);
- il vertice è in (1,0) e non in (0,1);
- facendo i calcoli (anche se in questo caso sono superflui, in base a quello che ti ho detto) non si trova la tua equazione, ma $X^4-4X^3+7X^2-4X=0$. Per risolverla cominci a mettere in evidenza X, poi con la regola di Ruffini scopri che quello che resta è divisibile per $X-1$, che metti in evidenza; arrivi così a $X(X-1)(X^2-3X+4)=0$. Per la legge di annullamento del prodotto, un prodotto vale zero se e solo se un fattore vale zero: nel tuo caso può valere zero il primo (soluzione X=0) o il secondo (soluzione X=1) o il terzo (nessuna soluzione reale). A questo punto hai trovato le soluzioni dell'equazione (le stesse che avevamo viste subito) e guardi il disegno per quelle della disequazione.
- se davvero l'equazione fosse quella che riporti, la soluzione sarebbe facilissima: basta mettere in evidenza $x^2$ e poi applicare la legge di annullamento del prodotto.
P.S. Parli di un tutor, quindi suppongo che tu sia all'università, in una facoltà che dà importanza alla matematica. Ma in questa materia hai poche basi; sei sicura di aver fatto la scelta giusta?
mmh in effetti non ho le basi, poi di geometria analitica soprattutto...
non sono sicura della mia scelta
comunque, ho letto il boieri-chiti, Precorso di matematica per recuperare le basi
aVEVO utilizzato il metodo del completamento del quadrato
$ -(x^2-2x)+1 $
$ -(x^2-2x +1)+1 -1 $
$ -(x^2-1)^2 $
secondo il boieri, è una parabola con vertice in (p,q), dove p è 1 e q è 0
quindi avevo semplicemente sbagliato a scrivere: avevo trovato il vertice in (1,0)
ora sto cercando di capire come fai a capire che passa per (0,-1) facendo il disegno mi sono chiesta se passasse di lì o meno, e non ho saputo rispondere*, perciò sono andata avanti con la sostituzione. L'ho sbagliata: ho saltato il meno davanti a x^2. Ma, correggendo, non trovo lo stesso polinomio che hai trovato tu
$ x^2+(-x^2+2x+1)^2=1 $
$ x^2+x^4+4x^2+1-4x^3-2x^2+4x-1=0 $
$ x^4-4x^3+3x^2+4x=0 $
*basta verificare che le coordinate del punto verifichino l'equazione della parabola in questione, ma non la verificano
non sono sicura della mia scelta
comunque, ho letto il boieri-chiti, Precorso di matematica per recuperare le basi
aVEVO utilizzato il metodo del completamento del quadrato
$ -(x^2-2x)+1 $
$ -(x^2-2x +1)+1 -1 $
$ -(x^2-1)^2 $
secondo il boieri, è una parabola con vertice in (p,q), dove p è 1 e q è 0
quindi avevo semplicemente sbagliato a scrivere: avevo trovato il vertice in (1,0)
ora sto cercando di capire come fai a capire che passa per (0,-1) facendo il disegno mi sono chiesta se passasse di lì o meno, e non ho saputo rispondere*, perciò sono andata avanti con la sostituzione. L'ho sbagliata: ho saltato il meno davanti a x^2. Ma, correggendo, non trovo lo stesso polinomio che hai trovato tu
$ x^2+(-x^2+2x+1)^2=1 $
$ x^2+x^4+4x^2+1-4x^3-2x^2+4x-1=0 $
$ x^4-4x^3+3x^2+4x=0 $
*basta verificare che le coordinate del punto verifichino l'equazione della parabola in questione, ma non la verificano
"Silvia panera":
avevo utilizzato il metodo del completamento del quadrato
Nel tuo caso il quadrato è già completo:
$-x^2+2x-1=-(x^2-2x+1)=-(x-1)^2$
$ -(x^2-2x)+1 $
$ -(x^2-2x +1)+1 -1 $
$ -(x^2-1)^2 $
Devi essere un po' meno distratta: nella prima riga occorreva $-1$, che infatti hai messo nella seconda. Nella terza riga il risultato doveva essere $-(x-1)^2$.
ora sto cercando di capire come fai a capire che passa per (0,-1)
Per disegnare bene una parabola si cerca sempre la sua intersezione con l'asse y, perché richiede calcoli semplicissimi. Infatti l'asse y ha equazione $x=0$, quindi basta sostituire questo valore nell'equazione e trovi $y=-1$. La parabola passa quindi per $(0,-1)$
facendo il disegno mi sono chiesta se passasse di lì o meno, e non ho saputo rispondere*
E' una domanda a cui si risponde facilmente, anche se non hai la più pallida idea di come è fatto il disegno: basta sostituire le coordinate del punto nell'equazione. Ti faccio un esempio con una curva che non sapresti disegnare: il punto $(2,-3)$ sta sulla curva $x^2+xy-5y+3=0$ ? Sostituiamo:
$2^2+2*(-3)-5*(-3)+3=0->4-6+15+3=0->16=0$
Falso, quindi il punto non sta sulla curva.
$ x^2+(-x^2+2x+1)^2=1 $
Di nuovo la distrazione: il giusto era $ x^2+(-x^2+2x-1)^2=1 $
non sono errori di distrazione!!! ho copiato male sin dall'inizio la formula della parabola che hai scritto +1 al posto di -1. discendono da un unico errore di distrazione
@Silvia
Se posso permettermi, vorrei darti un consiglio ... hai delle lacune, è evidente, ma non è quello il tuo problema principale.
La Matematica vuole precisione, rigore, cura del dettaglio invece il tuo approccio va in direzione opposta, è quasi sempre approssimativo, confusionario, direi quasi "furioso".
A mio parere dovresti "lavorare" su questo aspetto più che sul resto ... IMHO
Cordialmente, Alex
Se posso permettermi, vorrei darti un consiglio ... hai delle lacune, è evidente, ma non è quello il tuo problema principale.
La Matematica vuole precisione, rigore, cura del dettaglio invece il tuo approccio va in direzione opposta, è quasi sempre approssimativo, confusionario, direi quasi "furioso".
A mio parere dovresti "lavorare" su questo aspetto più che sul resto ... IMHO
Cordialmente, Alex
interessante
comunque sulla geometria non mi voglio soffermare, preferisco studiare prima il programma universitario di geometria
ho fatto questa cosa che vi ho chiesto graficamente
lo stesso esercizio prevede che io calcoli la stessa espressione trigonometrica minore di meno uno (praticamente l'esercizio chiede di trovare il massimo sottoinsieme di R dove è definito l'arcoseno di quella roba lì)
in questo caso l'intersezione con l'asse x viene - 0,91421 (l'altro è maggiore di uno perciò lo scarto).... quindi leggermente maggiore di meno uno. di conseguenza le intersezioni parabola-circonferenza sono due (una è in (0,1) )e per capire precisamente dove è verificata la disequazione (che è verificata sotto la parabola) devo necessariamente sostituire
il problema è che non riesco a trovare le radici del polinomio: $ x^3 -4x^2 +3x +4 $
comunque sulla geometria non mi voglio soffermare, preferisco studiare prima il programma universitario di geometria
ho fatto questa cosa che vi ho chiesto graficamente
lo stesso esercizio prevede che io calcoli la stessa espressione trigonometrica minore di meno uno (praticamente l'esercizio chiede di trovare il massimo sottoinsieme di R dove è definito l'arcoseno di quella roba lì)
in questo caso l'intersezione con l'asse x viene - 0,91421 (l'altro è maggiore di uno perciò lo scarto).... quindi leggermente maggiore di meno uno. di conseguenza le intersezioni parabola-circonferenza sono due (una è in (0,1) )e per capire precisamente dove è verificata la disequazione (che è verificata sotto la parabola) devo necessariamente sostituire
il problema è che non riesco a trovare le radici del polinomio: $ x^3 -4x^2 +3x +4 $
lo stesso esercizio prevede che io calcoli la stessa espressione trigonometrica minore di meno uno
Forse ti sei espressa male; secondo me questa frase significa che devi risolvere la stessa disequazione, ma col > modificato in <. Se davvero è così, non capisco i tuoi risultati: alle due disequazioni corrisponde la stessa equazione, quindi ci sono gli stessi numeri, lo stesso disegno e le stesse equazioni successive; cambia solo la conclusione finale.
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