Equazione parametrica numeri complessi

[HowardRoark]

Devo rispondere alle seguenti domande vero/falso

Data l'equazione $z^2 + kiz = 2 -z * \bar(z)$, ove $k$ è un parametro reale:

1) se $k=0$, allora l'equazione ha due soluzioni complesse distinte;

2) l'equazione ammette soluzioni solo se $-2<=k<=2$;

3) se $-2<=k<=2$, allora l'equazione ha tre soluzioni complesse non reali distinte;

4) se $k!=0$, allora l'equazione ha una soluzione immaginaria.

5) esiste almeno un valore $kinRR$ tale che l'equazione non abbia soluzioni complesse.


Non so proprio come fare la discussione. L'unica idea che mi è venuta è stata quella di scrivere il generico numero $z$ nella forma algebrica $a+bi$

Quindi ho: $(a+bi)^2 + ki (a+bi)= 2 - (a+bi)(a-bi) => 2a^2 + 2abi + (-kb +kai) - 2 =0$.

Adesso però non so proprio come procedere...

[Bokonon]

Rinfrescati il teorema fondamentale dell'algebra!
E' un polinomio di secondo grado a coefficienti complessi.
Quante radici ammette? Possono essere tutte reali?

[HowardRoark]

è vero, non ci avevo pensato. Quindi la prima e la quarta sono vere; la seconda, la terza e la quinta sono false.

[Bokonon]

"HowardRoark":è vero, non ci avevo pensato. Quindi la prima e la quarta sono vere; la seconda, la terza e la quinta sono false.

Esatto, anche se la 4) mi puzza un po'. Forse volevano formurla come "ha almeno una sol. immaginaria"

[Bokonon]

Che scemenza che ho scritto...ci pensavo ora mentre tornavo a casa.
Ha grado due quindi se una sol è complessa l'altra è la sua coniugata.
Quindi la formulazione della 4) è corretta.

[StellaMartensitica]

Così com'è non è un'equazione algebrica. Penso non sia così banale con quel $z* \bar(z)$.

[Bokonon]

"SirDanielFortesque":Così com'è non è un'equazione algebrica. Penso non sia così banale con quel $z* \bar(z)$.

E' un numero reale positivo.
Anzi questo mi fa pensare ad una domanda per Roark.
Supponiamo che al secondo membro ci sia $+z* \bar(z)$, che risposta daresti al primo quesito?

[StellaMartensitica]

"Bokonon":
E' un numero reale positivo.

$z*\bar(z)=|z|^2$

[anonymous_0b37e9]

"HowardRoark":
Adesso però non so proprio come procedere ...

Devi impostare un sistema. Le soluzioni sono:

$\{(x=0),(y=-2/k):} vv \{(x=+-1/2sqrt(4-k^2)),(y=-k/2):}$

In definitiva, la risposta corretta è la 5.

[StellaMartensitica]

"HowardRoark":Quindi la prima e la quarta sono vere;

A me la prima sembra falsa.

Vai un po' a risolvere l'equazione che si ottiene per $k=0$
Hai $z^2=2-|z|^2$
$z=a+ib$
$a^2+2aib-b^2=2-a^2-b^2$

2a^2-2=0
2ab=0

$a=+-1 ^^ (a=0 vv b=0)$

Quindi le soluzioni sono $z=+-1$ che sono due soluzioni reali. Forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua.
Di conseguenza la quinta sarebbe verificata per $k=0$: non vedo soluzioni complesse.
Questa me la rivedo domani con calma.

[HowardRoark]

"Bokonon":
Supponiamo che al secondo membro ci sia $+z* \bar(z)$, che risposta daresti al primo quesito?

$(a+bi)^2 + ki(a+bi)=2+(a+bi)(a-bi) => a^2 + b^2 +2abi -kb +kai = 2 + a^2 +b^2 => 2b^2 -2abi +kb -kai = 0$.

Abbiamo $k=0$, quindi $2b^2-2abi = 0$

Viene sempre un'equazione di secondo grado, solo che stavolta è relativa alla parte immaginaria $b$; quindi direi sempre la stessa, cioè che l'equazione ha due soluzioni complesse distinte.

[HowardRoark]

"anonymous_0b37e9":[quote="HowardRoark"]
Adesso però non so proprio come procedere ...

Devi impostare un sistema. Le soluzioni sono:

$\{(x=0),(y=-2/k):} vv \{(x=+-1/2sqrt(4-k^2)),(y=-k/2):}$

In definitiva, la risposta corretta è la 5.[/quote]


Impostare un sistema era infatti quello che volevo fare dall'inizio.
Allora, sono in questa situazione: $2a^2 + 2abi + (-kb +kai) -2=0$. Prendiamo per es. il primo quesito: per $k=0$ abbiamo $2a^2 + 2abi -2 = 0$ Come faccio a rispondere alla domanda senza dover ricorrere al teorema fondamentale dell'algebra?

[Bokonon]

"SirDanielFortesque":
Hai $z^2=2-|z|^2$

Hai ragione, non avevo fatto mezzo calcolo e mi ero fermato a contemplare mentalmente solo quella relazione.
Era giusto andare a vedere nel concreto in questo caso.
...ma i reali sono numeri complessi, quindi la 1) è viziata...e mi ha indotto alla pigrizia!

[Bokonon]

"HowardRoark":[quote="Bokonon"]
Supponiamo che al secondo membro ci sia $+z* \bar(z)$, che risposta daresti al primo quesito?

$(a+bi)^2 + ki(a+bi)=2+(a+bi)(a-bi) => a^2 + b^2 +2abi -kb +kai = 2 + a^2 +b^2 => 2b^2 -2abi +kb -kai = 0$.

Abbiamo $k=0$, quindi $2b^2-2abi = 0$

Viene sempre un'equazione di secondo grado, solo che stavolta è relativa alla parte immaginaria $b$; quindi direi sempre la stessa, cioè che l'equazione ha due soluzioni complesse distinte.[/quote]
Hai sbagliato qualcosa.

Se $z^2=2-|z|^2$ l'equazione ha soluzioni reali se la norma di z <2...come in effetti accade. Non avevo controllato lasciandomi trarre in inganno dalla domanda 1....visto che anche i reali sono numeri complessi, quindi la 1) è vera a priori

Se $z^2=2+|z|^2$ allora hai la certezza che siano due soluzioni reali perchè per qualsiasi z la norma è un reale positivo e 2 è un numero positivo e quindi $z^2$ = un numero reale positivo.

[StellaMartensitica]

"anonymous_0b37e9": Le soluzioni sono

Sergente lei ha capito tutto due minuti prima di me. Ma dato che ormai avevo scritto ho inviato.
Bisogna fare il sistema in questo caso.

[anonymous_0b37e9]

"SirDanielFortesque":
Bisogna fare il sistema in questo caso.

Vero è che, sostituendo almeno $k=0$ per evitare la discussione, si poteva concludere lo stesso.

[StellaMartensitica]

[ot]Quando penso alle equazioni con i complessi non posso fare a meno di far riaffiorare questo esercizio sfiziosissimissimo che mi era capitato per le mani un po' di tempo fa:
Si trattava di:
Risolvere l'equazione $sqrt(2)*z^3+|z|^2+i=0$,
$zin CC$
Qua il sistema poco può aiutare. Occorre un momentino pensarci su.[/ot]

[HowardRoark]

[ot]Ho deciso di sorvolare un attimo questo quesito per ripassare meglio i numeri complessi. Avevo studiato solo la teoria un po' di tempo fa, senza fare esercizi. Li ho ripresi soltanto ieri facendo dei test online, ma ho constatato come non sia la stessa cosa rispetto a fare gli esercizi dal libro.
Di domande ne posterò sicuramente altre, mi farebbe molto piacere se aveste la voglia di rispondermi anche lì. [/ot]

[Bokonon]

"SirDanielFortesque":[ot]Quando penso alle equazioni con i complessi non posso fare a meno di far riaffiorare questo esercizio sfiziosissimissimo che mi era capitato per le mani un po' di tempo fa:
Si trattava di:
Risolvere l'equazione $sqrt(2)*z^3+|z|^2+i=0$,
$zin CC$
Qua il sistema poco può aiutare. Occorre un momentino pensarci su.[/ot]

[ot]Cavolo, non sono mica riuscito a risolverla!
Non trovo l'"astuzia" ma sneto che è una falsa equazione di terzo grado
Come si fa?[/ot]

[StellaMartensitica]

[ot]L'esercizio si può dividere in due parti.
Anzitutto si può notare che l'equazione:
$sqrt(2)z^3+|z|^2+i=0$
(che non è algebrica)
è equivalente a
$z^3=(-|z|^2-i)/sqrt(2)$ (*)

A questo punto diventa abbastanza semplice. Riscrivo $z$ in questo modo:
$z=|z|*[cos(\theta)+isen(\theta)]$
cioè lo porto in forma trigonometrica.
Sostiuisco nell'equazione (*) questo tipo di riscrittura di $z$
ottenendo:
$z^3=(-|z|^2-i)/sqrt(2)$
$ {|z|*[cos(\theta)+isen(\theta)]}^3=(-|z|^2-i)/sqrt(2)$
ossia:
$|z|^3*[cos(3*\theta)+isen(3*\theta)]=-|z|^2/sqrt(2)-i/sqrt(2)$ (**)

A questo punto, due numeri complessi sono uguali se hanno uguale modulo e se i loro argomenti differiscono di $2kpi, k in ZZ$
Nell'equazione (**) di fatto hai un numero a destra e uno a sinistra. Più di tanto non mi interessa l'argomento. Più interessante è eguagliare i moduli di questi due numeri:

$|z|^3=sqrt[(-|z|^2/sqrt(2))+(1/sqrt(2))^2]$
$|z|^3=sqrt[|z|^4/2+1/2]$
Trattandosi di una somma di quadrati posso evitare di studiare il segno del radicando. Trattandosi di un modulo |z| sarà comunque positivo.
Elevo membro a membro al quadrato:
$|z|^6=(|z|^4+1)/2$
$2|z|^6-|z|^4-1=0$
A questo punto posso scomporre, per esempio, con Ruffini questo polinomio. $|z|=1$ è soluzione

ottengo:
$(|z|-1)*(2*|z|^5+2*|z|^4+|z|^3+|z|^2+|z|+1)=0$
$|z|=-1$ (anche se è un valore impossibile) soddisfa l'uguaglianza. Riapplico lo schema di Ruffini e ottengo:
$(|z|-1)*(|z|+1)(2*|z|^4+|z|^2+1)=0$
$2*|z|^4+|z|^2+1$
Questa provo a risolvere in $|z|^2$ con la formula. Calcolo il delta: $1-8<0$ quindi non ammette soluzioni (tenendo conto del fatto che $|z|$ è un numero reale.
...To make a long story short...
l'unico valore che mi va bene di $|z|$ è $|z|=1$
Lo sostituisco nell'equazione (*), equivalente a quella iniziale:
$z^3=(-|z|^2-i)/sqrt(2)$
$z^3=-1/sqrt(2)-i/sqrt(2)$
che diventa un problema di radice n-esima risolvibile con la formula di DeMoivre, facilmente:
$z^3=cos(5pi/4)+isen(5pi/4)$
$z=cos(5/12pi+2/3kpi)+i sen(5/12pi+2/3kpi)$
con $k=0,1,2$

[/ot]

[Bokonon]

@SirDanielFortesque
Ammappete! Grazie!