Equazione logaritmica

[giacarta]

Salve a tutti sono nuovo del forum. Il mio problema sono i logaritmi ma in particolare questa equazione:
[log x+1/2 log x-4]=2
La soluzione 10^3
Grazie [emoji2]

[andar9896]

Un logaritmo non esiste se l'argomento è minore di 0.
Es. $logx$ esiste solo se $x>0$;
$log(-2x)$ esiste solo se $-2x>0$ cioè $x<0$. Negli altri casi il logaritmo non esiste o, come dici tu anche se non è molto corretto, è "impossibile".

[giacarta]

"andar9896":Un logaritmo non esiste se l'argomento è minore di 0.
Es. $logx$ esiste solo se $x>0$;
$log(-2x)$ esiste solo se $-2x>0$ cioè $x<0$. Negli altri casi il logaritmo non esiste o, come dici tu anche se non è molto corretto, è "impossibile".

Ahaha non lo dico io, è il mio libro stupido che accanto a qualche equazione o disequazione logaritmica da come soluzione "impossibile", comunque forse è meglio se ti faccio un esempio così la risolviamo e vediamo perché è Impossibile [emoji2]

[andar9896]

Un'equazione può essere impossibile così come un logaritmo, ma per quest'ultimo non si usa questo termine. Ma vediamo l'esempio piuttosto

[giacarta]

Log (x^2+8x)/log (x-5)=2

[andar9896]

Bene, prima di tutto dobbiamo porre delle condizioni di esistenza, no? Per fare ciò dobbiamo impostare un sistema di disequazioni, quali?

[giacarta]

x^2+8x>0 rarr x*(x+8)>0 rarr x>0 e x>-8
x-5>0 rarr x >5
x-5!=0 rarr x!=6

[giacarta]

È giusto?

[andar9896]

Ottimo, ma bisogna concludere la prima disequazione: abbiamo che $x(x+8)>0$ dunque, per ciò che abbiamo detto prima, dobbiamo prendere i valori esterni e otteniamo $x<-8 vv x>0$. Ora devi mettere tutto a sistema e trovare la soluzione.

[giacarta]

Cioè i valori interni ed esterni si fanno anche su questo? Pensavo si facessero solo quando avevi una "completa" come soluzione di una disequazione

[andar9896]

L'importante è che si possa scrivere nella forma $(x-x_1)(x-x_2)=0$ poi io prima ti ho fatto l'esempio con una completa perché era il caso più generale (infondo questa è una completa con $c=0$)... in ogni caso però andiamo avanti con l'esercizio!

[giacarta]

Non riesco a trovare le soluzioni perché non si incontrano in nessun punto del grafico

[andar9896]

Devi fare il grafico come fai quando devi studiare il segno, solo che non ti interessa il segno ma le soluzioni comuni... ti faccio un esempio: se ho il sistema:
$ { ( x>3 ),( x>1/2 ):} $ facendo il grafico ottengo che la soluzione comune è $x>3$ ... ti allego il grafico (le soluzioni sono l'area in verde)

[giacarta]

Si lo so come si fa un grafico ma in questo caso le soluzioni comuni non le trovo

[giacarta]

E poi come faccio a mettere x!=6 nel grafico?

[andar9896]

Visto che dici di saperlo fare allora ricapitoliamo con calma.
Allora abbiamo questo sistema:
$ { ( x(x+8)>0 ),( x>5 ),( x!=6):} rarr { ( x<-8 vv x>0 ),( x>5 ),( x!=6):} $
A questo punto, fatte tutte le linee che servono, per convenzione si può mettere un cerchietto in corrispondenza del $6$ per indicare che è un valore da escludere... alla fine avremo che il campo di esistenza è rappresentato dalle soluzioni comuni alle prime due disequazioni più la condizione $x!=6$, ovvero alla fine avremo : ...

[giacarta]

Mh...le soluzioni sono x<-8 vv x>0 vv x>5 ?

[andar9896]

No...devi prendere le soluzioni comuni come ho fatto nel grafico di prima allegato e escludere il 6.

[giacarta]

Ahhhh aspetta mi sono confuso con i valori interni

[giacarta]

Le soluzioni sono x<-8 vv x>5

[andar9896]

Su $x>5$ sono d'accordo, su $x<-8$ non tanto. Devi prendere solo le soluzioni comuni, ovvero quelle con due linee...ricorda che non stai studiando il segno.
P.S. un consiglio, racchidi le formule che scrivi nel simbolo del dollaro, ci faciliterai l'aiuto