Equazione logaritmica

[giacarta]

Salve a tutti sono nuovo del forum. Il mio problema sono i logaritmi ma in particolare questa equazione:
[log x+1/2 log x-4]=2
La soluzione 10^3
Grazie [emoji2]

[giacarta]

Queste sono le uniche funzioni decrescenti? Però se c'è 1/2^(x+1) non è decrescente giusto?
Potresti dirmi anche quanto fa log x per log x?

[@melia]

Ci sono un sacco di funzioni decrescenti, qui stavi facendo esercizi su esponenziali e logaritmi, per cui ti ho fatto alcuni esempi su quelle funzioni.

Scherzi? $ 1/2^(x+1) = (1/2)^(x+1) $ è decrescente.

$(log x) * (log x) = (logx)^2 = log^2 x$

[giacarta]

Ahhh si scusami adesso ho capito, però potresti darmi una mano con questo esercizio? perché non capisco
Log x -1>2/log x
Io farei così
Log x •log x > 3
Però non so continuare

[giacarta]

Qualcuno mi aiuta?

[andar9896]

$logx-1-2/logx>0$ con $x!=1$
$(log^2x-logx-2)/(logx)>0$
Da qui sai continuare?

[giacarta]

Che significa $x!=1$?
Comunque non ho capito come hai risolto il secondo passaggio

[andar9896]

Allora se vogliamo essere più precisi, le condizioni di esistenza sono $logx !=0 rarr x !=1$ (poiché il denominatore deve essere diverso da 0) e $x>0$ per definizione di logaritmo. Ora possiamo procedere: portiamo tutto al primo membro e riduciamo al minimo comun denominatore...se hai difficoltà puoi porre $logx=y$ e procedere

[giacarta]

OK fino a qui ci sono, poi come continuo?

[andar9896]

Procediamo con quella sostituzione e otteniamo $(y^2-y-2)/y >0$ che dovresti saper risolvere studiando il segno della frazione...ricorda di tenere conto delle condizioni di esistenza! ($x>0$ e $x!=1$) Ricorda inoltre alla fine di passare dalla $y$ al logaritmo

[giacarta]

Io faccio così
Ho tolto il denominatore e mi rimane y^2-y-2>0
Poi faccio la formula della completa e mi risulta $y1> 2 $y2>-1
Ora come procedo?

[andar9896]

Attento è una disequazione, non puoi togliere il denominatore se non con particolari accorgimenti! Partiamo dalla frazione:
$(log^2x-logx-2)/logx$ di cui dobbiamo studiare il segno.
Numeratore: dobbiamo risolvere la disequazione $y^2-y-2>0$ con $y=logx$. Una soluzione l'hai già trovata tu ed è $y_1=-1$, l'altra è $y_2=2$. Ora, quali valori dobbiamo prendere? Quelli esterni ovviamente! Dunque: $y<-1 vv y>2$ ovvero $logx<-1 vv logx>2 rarr xe^2$
Denominatore: dobbiamo porre $logx>0$ ovvero $x>1$.
Ora abbiamo queste due condizioni più la terza delle condizioni di esistenza...non ti resta che fare il grafico dei segni e vedere dove la frazione è positiva. Più di così non so come aiutarti

[giacarta]

A me risulta così però se tu dici che non posso togliere il denominatore si fa complicata [emoji31]

[andar9896]

Non so come, ma ti trovi con i risultati ahaha comunque prima cosa pensavo che i logaritmi fossero in base $e$, ma non cambia molto alla fine; poi nelle condizioni di esistenza va aggiunto $x>0$, ma tu, considerando anche la condizione $logx>0$ hai fatto in modo da poter eliminare il denominatore ultima cosa, dopo aver risolto l'equazione di secondo grado associata alla disequazione, non devi porre entrambe le soluzioni maggiori ma devi risolvere la disequazione $(y-y_1)(y-y_2)>0$ ovvero $(logx+1)(logx-2)>0$

[giacarta]

Mm...OK quindi:
1) se pongo come condizione log x >0 posso sempre togliere il denominatore?
2) una volta che ho ottenuto (logx+1)(logx-2)>0 cosa faccio?
3) lo so che sembro un deficiente ma fidati nelle altre sono bravo [emoji16]

[andar9896]

In una disequazione è possibile moltiplicare entrambi i membri senza cambiare il verso solo se lo si fa per una quantità sempre positiva. Imponendo che $logx$ sia positivo hai potuto eliminare il denominatore in questo caso, ma in genere è una pratica che non si usa molto perché si terrebbero conto di troppe limitazioni e si rischia di "mangiarsi" qualche soluzione. Comunque, mettiamo che in questo caso si possa fare: dobbiamo ora risolvere $log^2x-logx-2>0$ che possiamo riscrivere come $(logx+1)(logx-2)>0$... ora studiando il segno di entrambi i fattori e prendendo solo il caso in cui il prodotto sia positivo, ti accorgi che le soluzioni sono $logx<-1 vv logx>2$ (i cosiddetti "valori esterni"). Ora da qui ricaviamo che $logx<-1 rarr x<10^(-1) rarr x<1/10$ e $logx>2 rarr x>10^2 rarr x>100$ ora non ci resta che fare il classico grafico dei segni tenendo conto di tre condizioni:
1) $x<1/10 vv x>100$
2) $logx>0 rarr x>1$
3) $x>0 ^^ x!=1$

[@melia]

[xdom="@melia"]Un richiamo a giacarta01 per aver postato delle immagini di alcuni passaggi che potevano essere scritti normalmente con MathML o TeX. Ricordo che:
3.8 E' fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella comunità, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.

Cerca di imparare perché non è difficile e facilita molto il nostro lavoro.[/xdom]

[giacarta]

"@melia":[xdom="@melia"]Un richiamo a giacarta01 per aver postato delle immagini di alcuni passaggi che potevano essere scritti normalmente con MathML o TeX. Ricordo che:
3.8 E fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella comunità, luso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.

Cerca di imparare perché non è difficile e facilita molto il nostro lavoro.[/xdom]

OK tranquilla

[giacarta]

"andar9896":In una disequazione è possibile moltiplicare entrambi i membri senza cambiare il verso solo se lo si fa per una quantità sempre positiva. Imponendo che $logx$ sia positivo hai potuto eliminare il denominatore in questo caso, ma in genere è una pratica che non si usa molto perché si terrebbero conto di troppe limitazioni e si rischia di "mangiarsi" qualche soluzione. Comunque, mettiamo che in questo caso si possa fare: dobbiamo ora risolvere $log^2x-logx-2>0$ che possiamo riscrivere come $(logx+1)(logx-2)>0$... ora studiando il segno di entrambi i fattori e prendendo solo il caso in cui il prodotto sia positivo, ti accorgi che le soluzioni sono $logx<-1 vv logx>2$ (i cosiddetti "valori esterni"). Ora da qui ricaviamo che $logx<-1 rarr x<10^(-1) rarr x<1/10$ e $logx>2 rarr x>10^2 rarr x>100$ ora non ci resta che fare il classico grafico dei segni tenendo conto di tre condizioni:
1) $x<1/10 vv x>100$
2) $logx>0 rarr x>1$
3) $x>0 ^^ x!=1$

Grazie mille, non è che potresti spiegarmi il fatto dei valori esterni, valori interni? Cioè quando e come si usano? E poi se potessi anche spiegarmi quando si dice che un logaritmo impossibile o ha un insieme vuoto, grazie

[andar9896]

Partiamo dalla seconda richiesta: la funzione logaritmo (che si indica $log_a(x)$ è definita solo per $x>0$. Questo nasce dalla sua definizione:
Poiché dato $y=log_a(x)$ vale che $a^y=x$ e siccome l'esponenziale è una funzione sempre positiva allora possiamo concludere che la funzione logaritmo, sua funzione inversa, non sarà definita per valori maggiori di 0.
Per quanto riguarda le disequazioni, cerco di spiegarlo in maniera non troppo teorica:
Data una disequazione di secondo grado completa del tipo $x^2+3x+2<0$ conviene ragionare sulla sua equazione associata $x^2+3x+2=0$. Risolviamola: $Δ=9-8=1$ dunque $x_(1,2)=((-3)+-1)/2$ da cui $x_1=-2$ e $x_2=-1$. Come saprai, possiamo dunque scrivere il polinomio così $(x+1)(x+2)=0$.
Ritorniamo a noi...a questo punto abbiamo $(x+1)(x+2)<0$ che si risolve col grafico dei segni: ti accorgerai che otterremo $-20$ con $Δ>0$ e $a>0$, allora dovremmo prendere i valori esterni poiché il verso è maggiore; viceversa col veso opposto prenderemo quelli interni (se $a$ è negativo basta cambiare il segno e il verso).

[giacarta]

"andar9896":Partiamo dalla seconda richiesta: la funzione logaritmo (che si indica $log_a(x)$ è definita solo per $x>0$. Questo nasce dalla sua definizione:
Poiché dato $y=log_a(x)$ vale che $a^y=x$ e siccome l'esponenziale è una funzione sempre positiva allora possiamo concludere che la funzione logaritmo, sua funzione inversa, non sarà definita per valori maggiori di 0.
Per quanto riguarda le disequazioni, cerco di spiegarlo in maniera non troppo teorica:
Data una disequazione di secondo grado completa del tipo $x^2+3x+2<0$ conviene ragionare sulla sua equazione associata $x^2+3x+2=0$. Risolviamola: $Δ=9-8=1$ dunque $x_(1,2)=((-3)+-1)/2$ da cui $x_1=-2$ e $x_2=-1$. Come saprai, possiamo dunque scrivere il polinomio così $(x+1)(x+2)=0$.
Ritorniamo a noi...a questo punto abbiamo $(x+1)(x+2)<0$ che si risolve col grafico dei segni: ti accorgerai che otterremo $-20$ con $Δ>0$ e $a>0$, allora dovremmo prendere i valori esterni poiché il verso è maggiore; viceversa col veso opposto prenderemo quelli interni (se $a$ è negativo basta cambiare il segno e il verso).

Ok grazie mille, quindi un logaritmo è Impossibile quando? Ahahaha scusa ma non ho capito tantissimo di quel ragionamento