Equazione goniometrica
Ciao, mi sorge un dubbio inerente a quello che so dalle scuole superiori e sullo "studio" di una funzione sinx periodica. Mi spiego:
vorrei mostrare le soluzioni di una generica $sinx=sin(x+T)$ e come intuitivo mostrare che $T=2pi$
Ora, io ho pensato di scrivere (facendo un disegnino e intersezione con circonferenza goniometrica): $x=x+T+2kpi$ oppure $x=pi-x-T+2kpi$
solo che:
$x=x+T+2kpi -> T02kpi$ (che può anche starci pensando a k=1)
ma
$x=pi-x-T+2kpi -> T=2x-2kpi$ (non capisco proprio questa soluzione che senso abbia)
Però il ragionamento non capisco dove faccia acqua e vorrei chiedervi un aiuto: la mia idea è che un angolo x e pari a un certo y (cioè sinx=siny) se x è uguale a y + la periodicità oppure se è pi-x + la periodicità.
Quindi, perché diamine non torna?
grazieeee
vorrei mostrare le soluzioni di una generica $sinx=sin(x+T)$ e come intuitivo mostrare che $T=2pi$
Ora, io ho pensato di scrivere (facendo un disegnino e intersezione con circonferenza goniometrica): $x=x+T+2kpi$ oppure $x=pi-x-T+2kpi$
solo che:
$x=x+T+2kpi -> T02kpi$ (che può anche starci pensando a k=1)
ma
$x=pi-x-T+2kpi -> T=2x-2kpi$ (non capisco proprio questa soluzione che senso abbia)
Però il ragionamento non capisco dove faccia acqua e vorrei chiedervi un aiuto: la mia idea è che un angolo x e pari a un certo y (cioè sinx=siny) se x è uguale a y + la periodicità oppure se è pi-x + la periodicità.
Quindi, perché diamine non torna?
grazieeee
Risposte
Ciao auctapus,
Benvenuto sul forum!
Sinceramente non è che ho capito un gran che del tuo dubbio, sarà anche perché non hai scritto le formule come prescritto dal forum...
Comunque provo a risponderti:
$sin x = sin(x + T) $
è la definizione di funzione periodica di periodo $T$. Per determinare il valore di tale periodo, ammesso che esista (ma in realtà sappiamo già che esiste... ), si può sfruttare la somma del seno di due archi:
$ sin x = sin(x + T) = sin x cos T + cos x sin T $
Affinché sussista l'uguaglianza col primo termine della catena di uguaglianze ovviamente deve essere verificato il sistema seguente:
${(cos T = 1),(sin T = 0):} $
Quest'ultimo sistema è verificato nel caso banale $T = 0$ oppure nel caso $T = 2\pi $. La soluzione banale $T = 0 $ va evidentemente scartata, per cui si conclude che il periodo della funzione in esame è $T = 2\pi $.
Benvenuto sul forum!
Sinceramente non è che ho capito un gran che del tuo dubbio, sarà anche perché non hai scritto le formule come prescritto dal forum...
Comunque provo a risponderti:
$sin x = sin(x + T) $
$sin x = sin(x + T) $
è la definizione di funzione periodica di periodo $T$. Per determinare il valore di tale periodo, ammesso che esista (ma in realtà sappiamo già che esiste...
), si può sfruttare la somma del seno di due archi:$ sin x = sin(x + T) = sin x cos T + cos x sin T $
$ sin x = sin(x + T) = sin x cos T + cos x sin T $
Affinché sussista l'uguaglianza col primo termine della catena di uguaglianze ovviamente deve essere verificato il sistema seguente:
${(cos T = 1),(sin T = 0):} $
${(cos T = 1),(sin T = 0):} $
Quest'ultimo sistema è verificato nel caso banale $T = 0$ oppure nel caso $T = 2\pi $. La soluzione banale $T = 0 $ va evidentemente scartata, per cui si conclude che il periodo della funzione in esame è $T = 2\pi $.
Do anche un'altra risposta.
La formula deve valere per ogni x e per $x=0$ diventa
$0=sin T->T=k pi$
Ho quindi $sin x=sin(x+k pi)$
Se $k$ è dispari, essa diventa $sin x=-sin x$ e non è un'identità; lo è invece se $k$ è pari.
La formula deve valere per ogni x e per $x=0$ diventa
$0=sin T->T=k pi$
Ho quindi $sin x=sin(x+k pi)$
Se $k$ è dispari, essa diventa $sin x=-sin x$ e non è un'identità; lo è invece se $k$ è pari.
Ciao e grazie. La soluzione che proponi è quella che ho trovato online da altre fonti però mi ostino a non capire perché la mia non funzioni e per non ripetere l'errore in furuto vorri capirlo a fondo.
Ho ricorretto con le formule la prima domanda ma la riesplicito qui con la variabile "ausiliaria y" così che rileggendo il primo messaggio sia più chiaro.
Allora, mettiamo di avere $sin(z)=sin(y)$ se disegno su un foglio la circonferenza goniometrica mi accorgo che la retta che la interseca a un certo $siny$ è uguale a un $sinx$ se e solo se
$x=y+2kpi$ e $x=(pi-y)+2kpi$ quello che ho fatto nel primo messaggio è semplicmente dire $y=x+T$ e ricavare T.
Mi attendevo che così facendo trovassi il periodo T, ma come si vede mi escono scempiaggini. Perché? Il ragionamento mi pare corretto.
Ho ricorretto con le formule la prima domanda ma la riesplicito qui con la variabile "ausiliaria y" così che rileggendo il primo messaggio sia più chiaro.
Allora, mettiamo di avere $sin(z)=sin(y)$ se disegno su un foglio la circonferenza goniometrica mi accorgo che la retta che la interseca a un certo $siny$ è uguale a un $sinx$ se e solo se
$x=y+2kpi$ e $x=(pi-y)+2kpi$ quello che ho fatto nel primo messaggio è semplicmente dire $y=x+T$ e ricavare T.
Mi attendevo che così facendo trovassi il periodo T, ma come si vede mi escono scempiaggini. Perché? Il ragionamento mi pare corretto.
"auctapus":
se disegno su un foglio la circonferenza goniometrica
e non il grafico di $\sin(x)$?
"auctapus":
$x=y+2k\pi$ e $x=(\pi−y)+2k\pi $
La prima mi torna, è come scrivere $x = y + kT $ con $k \in \ZZ $ e $T = 2\pi $, la seconda dopo la congiunzione no, perché si ha:
$x=y+2k\pi$
$x + \pi =y+2k\pi + \pi $
$x = (y - \pi)+(2k + 1)\pi $
@ghira: si probabilmente anche con il grafico, ma mi era venuto più intuitivo così. Dici che non va bene?
@pilloeffe: no aspetta forse sono stato poco chiaro.
Assumo l'equazione $sinx=siny$ e voglio trovare per quali x sinx è pari a un certo sin con y fissato.
Intuitivamente quindi ho che: x potrà essere pari a $y+skpi$ oppure $(pi-y)+2kpi$ che sono le soluzioni per cui un angolo x ha seno che coincide con un seno di y fissato.
A questo punto mi sono detto, ok io voglio risolvere $sin(x)=sin(x+T)$, posso chiamare la y di prima $y:=x+T$ nessuno me lo vieta. Orbene, le soluzioni quali saranno? Beh saranno quelle di prima:
$x=y+skpi$ or $x=(pi-y)+2kpi$ dove metto i y il valore x+T.
Ma questo metodo risolutivo non sembra darmi il T corretto, che come segnali dovrebbe essere $T=2pi$. Ma dove sbaglio? non capico.
Inoltre come cosa aggiuntiva volevo chiederti:
non ho ben capito cosa vuoi dire, come dicevo prima per me $y:=x+T$
@pilloeffe: no aspetta forse sono stato poco chiaro.
Assumo l'equazione $sinx=siny$ e voglio trovare per quali x sinx è pari a un certo sin con y fissato.
Intuitivamente quindi ho che: x potrà essere pari a $y+skpi$ oppure $(pi-y)+2kpi$ che sono le soluzioni per cui un angolo x ha seno che coincide con un seno di y fissato.
A questo punto mi sono detto, ok io voglio risolvere $sin(x)=sin(x+T)$, posso chiamare la y di prima $y:=x+T$ nessuno me lo vieta. Orbene, le soluzioni quali saranno? Beh saranno quelle di prima:
$x=y+skpi$ or $x=(pi-y)+2kpi$ dove metto i y il valore x+T.
Ma questo metodo risolutivo non sembra darmi il T corretto, che come segnali dovrebbe essere $T=2pi$. Ma dove sbaglio? non capico.
Inoltre come cosa aggiuntiva volevo chiederti:
La prima mi torna, è come scrivere $x = y + kT $ con $k \in \ZZ $ e $T = 2\pi $
non ho ben capito cosa vuoi dire, come dicevo prima per me $y:=x+T$
Quello che devi fare non è risolvere l'equazione "$sin(x)=sin(x+T)$".
Quello che devi fare è risolvere il seguente sistema (che consiste di infinite equazioni)
$sin(x+T)=sin(x)$
per ogni $x in RR$.
Osserva bene il "per ogni $x in RR$". Pensaci bene.
Il "per ogni" riguarda solo la $x$ (invece $T$ è lo stesso per ognuna delle equazioni). Inoltre l'unica incognita del sistema è $T$.
Come si risolve? Per esempio puoi sostituire dei valori alla $x$ per trovare un sistema con un numero finito di equazioni e da questo dedurre che $T$ deve per forza essere uguale a (un multiplo di) $2 pi$. Poi puoi mostrare che $T=2 pi$ effettivamente risolve il sistema (quello con infinite equazioni).
Quello che devi fare è risolvere il seguente sistema (che consiste di infinite equazioni)
$sin(x+T)=sin(x)$
per ogni $x in RR$.
Osserva bene il "per ogni $x in RR$". Pensaci bene.
Il "per ogni" riguarda solo la $x$ (invece $T$ è lo stesso per ognuna delle equazioni). Inoltre l'unica incognita del sistema è $T$.
Come si risolve? Per esempio puoi sostituire dei valori alla $x$ per trovare un sistema con un numero finito di equazioni e da questo dedurre che $T$ deve per forza essere uguale a (un multiplo di) $2 pi$. Poi puoi mostrare che $T=2 pi$ effettivamente risolve il sistema (quello con infinite equazioni).
Devo dire che mi sembra di capire il fatto di avere infinite equazioni, una PER OGNI x. in sostanza con T che è idealmente un parametro fissato per ognuna di quelle funzioni (parametro che poi dovrebbe essere $2kpi$.
Però sinceramente io continuo a non capire cosa abbia il mio metodo che non va.
se qualunque sia y $sinx=siny$ => $x=y+2kpi$ or $x=(pi-y)+2kpi$, come si vede dal mio disegno sopra.
Se ora pongo y=x+T allora risolvere $sinx=sin(x+T)$ dovrebbe voler dire avere per soluzione $x=y+2kpi$ or $x=(pi-y)+2kpi$ con $y=x+T$, ma a me non sembra uscire quanto voluto (ossia non esce $T=2kpi$ come atteso). E continuo a ostinarmi a non capire perché...
Però sinceramente io continuo a non capire cosa abbia il mio metodo che non va.
se qualunque sia y $sinx=siny$ => $x=y+2kpi$ or $x=(pi-y)+2kpi$, come si vede dal mio disegno sopra.
Se ora pongo y=x+T allora risolvere $sinx=sin(x+T)$ dovrebbe voler dire avere per soluzione $x=y+2kpi$ or $x=(pi-y)+2kpi$ con $y=x+T$, ma a me non sembra uscire quanto voluto (ossia non esce $T=2kpi$ come atteso). E continuo a ostinarmi a non capire perché...
"auctapus":
Ma dove sbaglio?
Qui:
"auctapus":
$ x=y+sk\pi $
Non è un numero $s$ qualsiasi, è proprio $2$; nel caso particolare in cui $k = 1 $ (un angolo giro) si ottiene $x = y + 2\pi = y + T $
Analogamente nell'altro caso in cui sommi $2 k\pi $, $k \in \ZZ $, come hai fatto qui:
"auctapus":
$ x=(\pi−y)+2k\pi $ dove metto in $y$ il valore $x+T$
No: o fai un giro e quindi consideri $k = 1 $ e allora scrivi $ x = (\pi−y)+2\pi $ e a questo punto puoi mettere $y = x + T = x + 2\pi $ oppure consideri il generico $k \in \ZZ$ e scrivi $ x = (\pi−y)+2k\pi $ e a questo punto devi mettere $y = x + kT = x + 2k\pi$ e poi scegli il valore da dare a $k$ (cioè il numero di giri) che più ti aggrada. D'altronde se ad $y$ o a $\pi - y $ sommi un numero dispari di angoli piatti, cioè $(2k + 1)\pi $, $k \in \ZZ $, ottieni un angolo il cui seno è l'opposto di quello dell'angolo di partenza, come ti ha già evidenziato giammaria.
"auctapus":
non ho ben capito cosa vuoi dire, come dicevo prima per me $y:=x+T $
Questo non è che il caso particolare in cui $k = 1 $; se una funzione $f$ è periodica di periodo $T$ non è difficile dimostrare che si ha:
$ ... = f(x - 2T) = f(x - T) = f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = ... $
Più brevemente si può scrivere $f(x) = f(x + kT) $, $k \in \ZZ $, che nel caso in esame diventa
$sin(x) = sin(x + kT) $
$k \in \ZZ $
Qui:
Ma no, quello è un typo
, come si vede da $x=y+skpi$ or $x=(pi-y)+2kpi$ ove compare il $2kpi$ a ultimo membro, appunto: l' s era un 2 riuscito male 
.Ad ogni buon conto,
Analogamente nell'altro caso in cui sommi $2 k\pi $, $k \in \ZZ $, come hai fatto qui:
"auctapus":
$ x=(\pi−y)+2k\pi $ dove metto in $y$ il valore $x+T$
No: o fai un giro e quindi consideri $k = 1 $ e allora scrivi $ x = (\pi−y)+2\pi $ e a questo punto puoi mettere $y = x + T = x + 2\pi $ oppure consideri il generico $k \in \ZZ$ e scrivi $ x = (\pi−y)+2k\pi $ e a questo punto devi mettere $y = x + kT = x + 2k\pi$ e poi scegli il valore da dare a $k$ (cioè il numero di giri) che più ti aggrada. D'altronde se ad $y$ o a $\pi - y $ sommi un numero dispari di angoli piatti, cioè $(2k + 1)\pi $, $k \in \ZZ $, ottieni un angolo il cui seno è l'opposto di quello dell'angolo di partenza, come ti ha già evidenziato giammaria.
Nel tuo ragionamento non riesco a seguirti perché scrivi: a questo punto puoi mettere $y = x + T = x + 2\pi $ oppure consideri il generico $k \in \ZZ$ e scrivi $ x = (\pi−y)+2k\pi $" ma in questo modo tu sai già che $T=2pi$ quindi capisco che non mi sono spiegato bene perché io voglio ricavare T dal mio ragionamento, non l'opposto come fai tu
. In poche parole T lo voglio ricavare come incognita e vorrei uscisse $T=2pi$, perché il ragionamento mi sembra corretto.vediamo se questo ragionamento è più chiaro
Io riparametrizzo semplicemente $y=x+T$ e lo introduco a posteriori nei ragionamenti che trovano per quali valori di x vale $sinx=siny$.
COme si vee dal disegno sopra i valori che rendono vera l'uguaglianza data una QUALUNQUE y sono:
1) $x=y+2kpi$
2) $x=(pi-y)+2kpi$
Quindi cosa mi dico ora, beh, per trovare il periodo T basta inserire in y la sua riparametrizzazione in T e isolare T a primo menbro. Cosa dovrei ottenere da questo? dovrei ottenere proprio $T=2pi$...
Orbene,
1) $x=y+2kpi$ => (sostituisco y=x+T) $x=(x+T)+2kpi$ => $T=-2kpi$
2) $x=(pi-y)+2kpi$ => (sostituisco al solito y=x+T) $x=(pi-x-T)+2kpi$ => $T=-2x+(2k+1)pi$
Fallimento: non esce $T=2pi$ come vorrei, e non trovo la pecca.
Sbagli perché non usi il fatto che tutto questo deve valere per ogni $x$. Devi usare il "per ogni $x$" altrimenti non ne esci.
Quando arrivi a
(*) $T=-2k pi$ oppure $T=-2x+(2k+1)pi$
ti devi chiedere quali sono i valori di $T$ che rendono vera (*) per ogni $x$. Nota che (*) è una proposizione del tipo "A oppure B" e quindi è vera quando almeno uno tra A e B è vero. Se ci pensi, perché (*) sia vera per ogni $x$, è necessario (e sufficiente) che $T$ sia un multiplo di $2 pi$.
Quando arrivi a
(*) $T=-2k pi$ oppure $T=-2x+(2k+1)pi$
ti devi chiedere quali sono i valori di $T$ che rendono vera (*) per ogni $x$. Nota che (*) è una proposizione del tipo "A oppure B" e quindi è vera quando almeno uno tra A e B è vero. Se ci pensi, perché (*) sia vera per ogni $x$, è necessario (e sufficiente) che $T$ sia un multiplo di $2 pi$.
Ciao Martino,
ah ecco, solo ora ho capito quello che volevi dirmi. Devi perdonare la mia ottusità!
Ammetto però che ora che ho compreso ci ho ragionato un po' su e non capisco però come sfruttare il per ogni, cioè non capisco come mostrare che in virtu' del dover valere per ogni x allora ho solo il caso $T=2pi$.
Ho capito il tuo suggerimento eh, solo che sono un po' tonno e non riesco a capire come applicarlo. Se hai ancora tempo da dedicarmi potrei chiederti correttamente come si mostra? Vorrei tanto imparare
ah ecco, solo ora ho capito quello che volevi dirmi. Devi perdonare la mia ottusità!
Ammetto però che ora che ho compreso ci ho ragionato un po' su e non capisco però come sfruttare il per ogni, cioè non capisco come mostrare che in virtu' del dover valere per ogni x allora ho solo il caso $T=2pi$.
Ho capito il tuo suggerimento eh, solo che sono un po' tonno e non riesco a capire come applicarlo. Se hai ancora tempo da dedicarmi potrei chiederti correttamente come si mostra? Vorrei tanto imparare
@(martino)²: forse sono più stupido del necessario. Vediamo se è corretto:
Tu mi suggerisci che deve valere per ogni x inoltre è un "or" che congiunge le due frasi. Quindi se riesco a dimostrare che di AorB A è sempre vera per ogni x sono a cavallo.
Ma questo è vero, perché: A:="$x=x+T+2kπ$ per ogni x" <=> "$T=-2kpi$ per ogni x" <=> (poiché quella scrittura è equivalente a dire -essendo k in Z che sono positivi e negativi-) "T è multiplo di $2pi$". Ho dimostrato che A è sempre vera.
FINE.
Intendevi questo?
PS: mi resta però un dubbio, se io considero B:=$T=-2x+(2k+1)pi$, io potrei dire se trovo un T che rende sempre vera questa, allora A or B è parimenti valida.
E chi mi dice che non trovo un T che renda vera quella per ogni x?
Tu mi suggerisci che deve valere per ogni x inoltre è un "or" che congiunge le due frasi. Quindi se riesco a dimostrare che di AorB A è sempre vera per ogni x sono a cavallo.
Ma questo è vero, perché: A:="$x=x+T+2kπ$ per ogni x" <=> "$T=-2kpi$ per ogni x" <=> (poiché quella scrittura è equivalente a dire -essendo k in Z che sono positivi e negativi-) "T è multiplo di $2pi$". Ho dimostrato che A è sempre vera.
FINE.
Intendevi questo?
PS: mi resta però un dubbio, se io considero B:=$T=-2x+(2k+1)pi$, io potrei dire se trovo un T che rende sempre vera questa, allora A or B è parimenti valida.
E chi mi dice che non trovo un T che renda vera quella per ogni x?
Non esattamente, intendevo che "A or B" è vera per ogni $x$ se e solo se A è vera per ogni $x$.
Quello che hai appena scritto mostra che se A è vera per ogni $x$ allora "A or B" è vera per ogni $x$, ora bisogna mostrare il viceversa, cioè che se "A or B" è vera per ogni $x$ allora A è vera per ogni $x$. Prova.
Quello che hai appena scritto mostra che se A è vera per ogni $x$ allora "A or B" è vera per ogni $x$, ora bisogna mostrare il viceversa, cioè che se "A or B" è vera per ogni $x$ allora A è vera per ogni $x$. Prova.
Ok, hai ragione. Diciamo che ho fato solo metà del lavoro. Cioè ho mostrato solo una parte di quello che volevi dirmi, mancherebbe <=. Provvedo subito (o meglio, ci provo)
Dobbiamo dimostrare qualcosa tipo: (A or B) => C mi viene più facile 1) A=>C e 2) B=>C
con
-A:= $ T=-2k pi $
-B:= $T=−2x+(2k+1)π$
-C:= $sinx=sin(x+T)$
procedo così:
1) $sin(x)=sin(x+T)=sinxcos(2pi)+cos(x)sin(2pi)=sinx+0=sinx$
2) $sin(x)=sin(x-2x+pi+2kpi)=sin((2k+1)pi-x)=$
$=sin((2k+1)pi)*cos(x)-(cos((2k+1)pi)*sin(x)=-(-sinx)$
cvd (spero ok??)
Però permane in me questo dubbio che dicevo sopra: io dimostro C <=> (A or B), con C:="sinx=sin(x+T)"
In breve mi sembra che io non ho mostrato che vale solo e unicamente $T=2pi$, non so se mi spiego
Dobbiamo dimostrare qualcosa tipo: (A or B) => C mi viene più facile 1) A=>C e 2) B=>C
con
-A:= $ T=-2k pi $
-B:= $T=−2x+(2k+1)π$
-C:= $sinx=sin(x+T)$
procedo così:
1) $sin(x)=sin(x+T)=sinxcos(2pi)+cos(x)sin(2pi)=sinx+0=sinx$
2) $sin(x)=sin(x-2x+pi+2kpi)=sin((2k+1)pi-x)=$
$=sin((2k+1)pi)*cos(x)-(cos((2k+1)pi)*sin(x)=-(-sinx)$
cvd (spero ok??)
Però permane in me questo dubbio che dicevo sopra: io dimostro C <=> (A or B), con C:="sinx=sin(x+T)"
se io considero B:=$T=-2x+(2k+1)pi$, io potrei dire se trovo un T che rende sempre vera questa, allora A or B è parimenti valida.In pratica per il verso "=>" io ho mostrato che dato C ho che vale (A oppure B), per farlo ho mostrato che C=>A. Ma perché non potrei dire beh, per quanto ne so potrebbe valere anche B e avrei C=>B che rende vera C=>A or B. (Con B:=$ T=-2x+(2k+1)pi $).
E chi mi dice che non trovo un T che renda vera quella per ogni x?
In breve mi sembra che io non ho mostrato che vale solo e unicamente $T=2pi$, non so se mi spiego
No, ho detto una stupidaggine immensa, ho letto male il tuo ultimo post e ho interpretato A come C. Aspetta... ci riprovo. Prima ci ragiono un attimo
Te lo scrivo meglio. Fissiamo un $T in RR$. Per ogni $x in RR$ definiamo $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ come segue.
Chiamiamo $A(x)$ la seguente proposizione.
"Esiste $k in ZZ$ tale che $T=-2k pi$".
Chiamiamo $B(x)$ la seguente proposizione.
"Esiste $h in ZZ$ tale che $T=-2x+(2h+1)pi$".
Chiamiamo $C(x)$ la proposizione
"$A(x)$ OR $B(x)$".
Bisogna mostrare che se $C(x)$ è vera per ogni $x$, allora $A(x)$ è vera per ogni $x$.
Per farlo, puoi per esempio procedere per contraddizione. Supponiamo che esista un certo (d'ora in poi fissato) $x_0 in RR$ tale che $A(x_0)$ è falsa. Questo significa che non esiste nessun $k in ZZ$ tale che $T=-2k pi$, cioè che $T$ non è un multiplo intero di $2 pi$. Ma allora $A(x)$ è falsa per ogni $x in RR$ (infatti se guardi bene, $A(x)$ non dipende proprio da $x$). Siccome $C(x)$ è vera per ogni $x$ (per ipotesi), segue che $B(x)$ è vera per ogni $x$. Ora penso che tu sia capace di mostrare che $B(x)$ non può assolutamente essere vera per ogni $x$ (ricordati che $T$ è fissato).
Chiamiamo $A(x)$ la seguente proposizione.
"Esiste $k in ZZ$ tale che $T=-2k pi$".
Chiamiamo $B(x)$ la seguente proposizione.
"Esiste $h in ZZ$ tale che $T=-2x+(2h+1)pi$".
Chiamiamo $C(x)$ la proposizione
"$A(x)$ OR $B(x)$".
Bisogna mostrare che se $C(x)$ è vera per ogni $x$, allora $A(x)$ è vera per ogni $x$.
Per farlo, puoi per esempio procedere per contraddizione. Supponiamo che esista un certo (d'ora in poi fissato) $x_0 in RR$ tale che $A(x_0)$ è falsa. Questo significa che non esiste nessun $k in ZZ$ tale che $T=-2k pi$, cioè che $T$ non è un multiplo intero di $2 pi$. Ma allora $A(x)$ è falsa per ogni $x in RR$ (infatti se guardi bene, $A(x)$ non dipende proprio da $x$). Siccome $C(x)$ è vera per ogni $x$ (per ipotesi), segue che $B(x)$ è vera per ogni $x$. Ora penso che tu sia capace di mostrare che $B(x)$ non può assolutamente essere vera per ogni $x$ (ricordati che $T$ è fissato).
"auctapus":
In poche parole T lo voglio ricavare come incognita e vorrei uscisse $T=2\pi $, perché il ragionamento mi sembra corretto.
No, il ragionamento non è corretto se in un'equazione consideri $k = 1 $ e nell'altra $k \in \ZZ $ arbitrario: o tutte e due con $k = 1 $ o tutte e due con $k \in \ZZ $ arbitrario, altrimenti non otterrai mai $T = 2\pi $
"auctapus":
Io riparametrizzo semplicemente $y=x+T$ e lo introduco a posteriori nei ragionamenti che trovano per quali valori di $x$ vale $sinx=siny$.
[...]
1) $x=y+2k\pi $
Considerando quest'ultima equazione 1) si nota che $y = x - 2k\pi $ e, siccome $k \in \ZZ \implies - k \in \ZZ $, la si può anche scrivere $y = x + 2k\pi $; dovendo valere anche l'equazione $y = x + T $ che hai scritto sopra, si ottiene $T = 2k\pi $. Ancora non hai ottenuto quanto desiderato, cioè $T = 2\pi $, che in questo caso otterresti solo nel caso particolare $k = 1$. Invece tutto torna se consideri come ti dicevo nel mio post precedente $y = x + k T $. In tal caso, seguendo lo stesso ragionamento visto poc'anzi, si ottiene $kT = 2k\pi \implies T = 2\pi $. Se consideri in un'equazione (la 1)) $k $ arbitrario e nell'altra ($y = x + T$) $k = 1 $ infatti otterresti $(k + 1)\pi $ o $(k - 1)\pi$: a questo punto se $k$ è dispari tutto bene, ma se $k$ è pari $(k + 1) $ o $(k - 1)$ sono dispari ed otterresti multipli dispari di $\pi $ e quindi angoli che hanno seno opposto a quello dell'angolo iniziale considerato, sicché non può funzionare.
Se invece proprio ci tieni spasmodicamente a scrivere $y = x + T $, allora devi riscrivere la 1) con $k = - 1 $ e quindi ottenere $y = x + 2\pi $ dalla quale per confronto diretto si ottiene subito $T = 2\pi $
@martino
Volevo concludere la tua:
$B(x)$ non è vera per ogni x, poiché scegliendo ad esempio il controesempio con $x=pi/2$ avremmo che esiste k per cui $T=2kpi$ in evidente contrasto con la non esistenza di un k tale che $T=-2kpi$ trovato da A(x) per ogni x.
Quindi non esistendo alcun $x_0$ t.c A(x) sia falsa, A(x) è sempre vera come voluto.
Mi nasce solo un dubbio su questo, poi direi che ho capito, mi spiego: noi troviamo un $x_0$ tale che $A(x_0)$ è falsa da cui deduciamo che $A(x)$ è sempre falsa, benissimo. ora, se come dicevamo trovo che B(x) non è sempre vera per ogni x, vuol dire che esiste un $x_1$ per cui $B(x_1)$ è falsa e quel' $x_1$ a sua volta rende $A(x_1)$ vera (non potendo più essere corretto dire che è sempre falsa A(x) per ogni x). Dunque abbiamo $A(x_1)$ vera ma questo non ci nega che $A(x_0)$ sia falsa, cosa che in realtà mi servirebbe per concludere -voglio infatti che per qualunque $x_0$ fissato $A(x_0)$ falsa-. (perché non è che $A(x)$ sia sempre vera, so che è vera per un $x_1$, ma potrebbe benissimo rimanere falsa per $x_0$)
Per il resto,
Siccome ho fatto degli errori che però mi hanno portato a ragionare approfonditamente sulla questione vorrei giusto porti alcune domande se ti va.
1)
Non ho ben capito perché questo discenda dal mio ragionamento, voglio cioè dire: se A(x) è vera per ogni x, allora è sempre vero che A(x) or B(x) è sempre vera. Non c'è molto da mostrare discende direttamente dalla tavola di verità mi pare.
2)
Con questo ragionamento volevo in realtà mostrare questo:
(Siano -A:= $ T=-2k pi $, -B:= $T=−2x+(2k+1)π$, -C:= $sinx=sin(x+T)$)
Pensavo di riuscire a far vedere che C=>A e quindi ne derivasse che C=>(A or B), però mi pare sbagliato come ho operato perché in realtà C non implica A, ma C implica (A or B).
Infatti con il ragionamento del quote non dimostro che C=>A, sto solo mostrando che A è vera per ogni x e in quel caso $T=2pi$, ma di fatto è poco utile.
Dico poco utile perché se A è sempre vera si avrebbe che C=>A non è sempre vera e quindi cade la dimostrazione che avevo pensato: (C=>A)=>(C=>(A or B)). Mi sembra corretto quello che sto dicendo ora, ma vorrei essere più sicuro dato che provo un senso di incertezza.
@pilloeffe: mentre rispondevo a martino ho visto che hai scritto anche tu, ci penso un po' sopra e ti dico.
Volevo concludere la tua:
$B(x)$ non è vera per ogni x, poiché scegliendo ad esempio il controesempio con $x=pi/2$ avremmo che esiste k per cui $T=2kpi$ in evidente contrasto con la non esistenza di un k tale che $T=-2kpi$ trovato da A(x) per ogni x.
Quindi non esistendo alcun $x_0$ t.c A(x) sia falsa, A(x) è sempre vera come voluto.
Mi nasce solo un dubbio su questo, poi direi che ho capito, mi spiego: noi troviamo un $x_0$ tale che $A(x_0)$ è falsa da cui deduciamo che $A(x)$ è sempre falsa, benissimo. ora, se come dicevamo trovo che B(x) non è sempre vera per ogni x, vuol dire che esiste un $x_1$ per cui $B(x_1)$ è falsa e quel' $x_1$ a sua volta rende $A(x_1)$ vera (non potendo più essere corretto dire che è sempre falsa A(x) per ogni x). Dunque abbiamo $A(x_1)$ vera ma questo non ci nega che $A(x_0)$ sia falsa, cosa che in realtà mi servirebbe per concludere -voglio infatti che per qualunque $x_0$ fissato $A(x_0)$ falsa-. (perché non è che $A(x)$ sia sempre vera, so che è vera per un $x_1$, ma potrebbe benissimo rimanere falsa per $x_0$)
Per il resto,
Siccome ho fatto degli errori che però mi hanno portato a ragionare approfonditamente sulla questione vorrei giusto porti alcune domande se ti va.
1)
Quello che hai appena scritto mostra che se A è vera per ogni x allora "A or B" è vera per ogni x
Non ho ben capito perché questo discenda dal mio ragionamento, voglio cioè dire: se A(x) è vera per ogni x, allora è sempre vero che A(x) or B(x) è sempre vera. Non c'è molto da mostrare discende direttamente dalla tavola di verità mi pare.
2)
Tu mi suggerisci che deve valere per ogni x inoltre è un "or" che congiunge le due frasi. Quindi se riesco a dimostrare che di AorB A è sempre vera per ogni x sono a cavallo.
Ma questo è vero, perché: A:="$x=x+T+2kπ$ per ogni x" <=> "$T=-2kpi$ per ogni x" <=> (poiché quella scrittura è equivalente a dire -essendo k in Z che sono positivi e negativi-) "T è multiplo di $2pi$". Ho dimostrato che A è sempre vera.
FINE.
Con questo ragionamento volevo in realtà mostrare questo:
(Siano -A:= $ T=-2k pi $, -B:= $T=−2x+(2k+1)π$, -C:= $sinx=sin(x+T)$)
Pensavo di riuscire a far vedere che C=>A e quindi ne derivasse che C=>(A or B), però mi pare sbagliato come ho operato perché in realtà C non implica A, ma C implica (A or B).
Infatti con il ragionamento del quote non dimostro che C=>A, sto solo mostrando che A è vera per ogni x e in quel caso $T=2pi$, ma di fatto è poco utile.
Dico poco utile perché se A è sempre vera si avrebbe che C=>A non è sempre vera e quindi cade la dimostrazione che avevo pensato: (C=>A)=>(C=>(A or B)). Mi sembra corretto quello che sto dicendo ora, ma vorrei essere più sicuro dato che provo un senso di incertezza.
@pilloeffe: mentre rispondevo a martino ho visto che hai scritto anche tu, ci penso un po' sopra e ti dico.
"auctapus":Sì che lo nega, il motivo è che $A(x_1)=A(x_0)$. Se guardi bene $A(x)$ non dipende proprio da $x$, in altre parole se cambio $x$, la proposizione $A(x)$ non cambia.
Dunque abbiamo $A(x_1)$ vera ma questo non ci nega che $A(x_0)$ sia falsa
Non c'è molto da mostrare discende direttamente dalla tavola di verità mi pare.Sì certo, ho scritto che lo hai dimostrato, se preferisci lo hai osservato
è un fatto banale.Sul resto che hai scritto non ti seguo, è troppo confuso. In ogni caso non scrivere che $A$ è "$T=-2k pi$", devi scrivere che $A$ è "esiste $k in ZZ$ tale che $T=-2k pi$" (è ben diverso, e fa tutta la differenza).
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