Equazione goniometrica
Ciao, mi sorge un dubbio inerente a quello che so dalle scuole superiori e sullo "studio" di una funzione sinx periodica. Mi spiego:
vorrei mostrare le soluzioni di una generica $sinx=sin(x+T)$ e come intuitivo mostrare che $T=2pi$
Ora, io ho pensato di scrivere (facendo un disegnino e intersezione con circonferenza goniometrica): $x=x+T+2kpi$ oppure $x=pi-x-T+2kpi$
solo che:
$x=x+T+2kpi -> T02kpi$ (che può anche starci pensando a k=1)
ma
$x=pi-x-T+2kpi -> T=2x-2kpi$ (non capisco proprio questa soluzione che senso abbia)
Però il ragionamento non capisco dove faccia acqua e vorrei chiedervi un aiuto: la mia idea è che un angolo x e pari a un certo y (cioè sinx=siny) se x è uguale a y + la periodicità oppure se è pi-x + la periodicità.
Quindi, perché diamine non torna?
grazieeee
vorrei mostrare le soluzioni di una generica $sinx=sin(x+T)$ e come intuitivo mostrare che $T=2pi$
Ora, io ho pensato di scrivere (facendo un disegnino e intersezione con circonferenza goniometrica): $x=x+T+2kpi$ oppure $x=pi-x-T+2kpi$
solo che:
$x=x+T+2kpi -> T02kpi$ (che può anche starci pensando a k=1)
ma
$x=pi-x-T+2kpi -> T=2x-2kpi$ (non capisco proprio questa soluzione che senso abbia)
Però il ragionamento non capisco dove faccia acqua e vorrei chiedervi un aiuto: la mia idea è che un angolo x e pari a un certo y (cioè sinx=siny) se x è uguale a y + la periodicità oppure se è pi-x + la periodicità.
Quindi, perché diamine non torna?
grazieeee
Risposte
E' vero che sciocco! E'chiaro, proprio per lo stesso motivo per cui era falsa per ogni x quando lo era per x0, ossia la sua indipendenza d x!!! Sai che non avevo mai ragionato in questo modo, mi hai aperto un mondo e ti ringrazio. E' molto potente, dovrò porci più attenzione.
Siccome hai detto che sono stato confuso e a mente fredda rileggendo quello che mi sembrava chiaro è una schifezza volevo cercare di correggere il tiro. Vediamo se riesco a esprimermi meglio, siccome ci tenevo a concludere tutto.
Siano:
-A:="$x=x+T+2kπ$,
-B:= $T=−2x+(2k+1)π$,
-C:= $sinx=sin(x+T)$
Astraiamo un attimo dal discorso dell'esercizio, nel senso che io per errore all'inizio pensavo mi dicessi di mostrare che C=>(A or B), ma non mi ero accorto che in realtà avevo già dimostrato che C<=>(A or B) perché appunto A o B sono il risultato dell'equazione in C. Però mettiamo si voglia arrivare a: C=>(A or B)
Mi pare chiaro che se si riuscisse a dimostrare (C=>A) allora sarebbe dimostrato che (C=>(A or B)), ok.
Ora, io avevo scritto questa dimostrazione
Però guardando poi a posteriori meglio il ragionamento del quote non dimostro che C=>A, sto solo mostrando che A è vera per ogni x e in quel caso $T=2pi$, ma di fatto è poco utile. Volevo capire se in effetti era così.
______________
Inoltre volevo chiedere dato che in questi giorni ho pensato molto: sempre per una dimostrazione tipo
C=> (A or B), se io dimostro in qualche modo che A è una proposizione sempre vera a prescindere da tutto, posso dire che C=> (A or B) è dimostrato? Mi pare di no, anche se intuitivamente avrei detto di si. Ma vorrei essere sicuro.
Ciao e grazie.
Siccome hai detto che sono stato confuso e a mente fredda rileggendo quello che mi sembrava chiaro è una schifezza volevo cercare di correggere il tiro. Vediamo se riesco a esprimermi meglio, siccome ci tenevo a concludere tutto.
Siano:
-A:="$x=x+T+2kπ$,
-B:= $T=−2x+(2k+1)π$,
-C:= $sinx=sin(x+T)$
Astraiamo un attimo dal discorso dell'esercizio, nel senso che io per errore all'inizio pensavo mi dicessi di mostrare che C=>(A or B), ma non mi ero accorto che in realtà avevo già dimostrato che C<=>(A or B) perché appunto A o B sono il risultato dell'equazione in C. Però mettiamo si voglia arrivare a: C=>(A or B)
Mi pare chiaro che se si riuscisse a dimostrare (C=>A) allora sarebbe dimostrato che (C=>(A or B)), ok.
Ora, io avevo scritto questa dimostrazione
se riesco a dimostrare che di AorB A è sempre vera per ogni x sono a cavallo.che speravo dimostrasse C=>A
A:="$x=x+T+2kπ$ per ogni x" <=> "$T=-2kpi$ per ogni x" <=> (poiché quella scrittura è equivalente a dire -essendo k in Z che sono positivi e negativi-) "T è multiplo di $2pi$". Ho dimostrato che A è sempre vera.
Però guardando poi a posteriori meglio il ragionamento del quote non dimostro che C=>A, sto solo mostrando che A è vera per ogni x e in quel caso $T=2pi$, ma di fatto è poco utile. Volevo capire se in effetti era così.
______________
Inoltre volevo chiedere dato che in questi giorni ho pensato molto: sempre per una dimostrazione tipo
C=> (A or B), se io dimostro in qualche modo che A è una proposizione sempre vera a prescindere da tutto, posso dire che C=> (A or B) è dimostrato? Mi pare di no, anche se intuitivamente avrei detto di si. Ma vorrei essere sicuro.
Ciao e grazie.
Purtroppo vedo una grande confusione, ti avviso che queste cose vanno elaborate molto e ti invito ad elaborarle, ci vuole tempo per dominarle al 100%.
Non dimostra che C=>A, in realtà non dimostra niente, stai solo osservando che A è equivalente a dire che $T$ è un multiplo di $2 pi$.
Inoltre stai andando in una direzione sbagliata. Quello che volevi dimostrare all'inizio è che se C è vera per ogni $x$, allora A è vera. Quindi non devi dimostrare che C implica A. Devi dimostrare che se C vale per ogni $x$ allora A è vera. Non puoi eliminare il "per ogni $x$" perché è fondamentale.
Mi sono già trovato in situazioni simili sul forum, purtroppo riesco ad aiutarti solo fino a un certo punto, perché il lavoro di elaborazione lo devi fare tu.
"auctapus":Questo lo hai già dimostrato quando hai risolto l'equazione $sin(x)=sin(x+T)$.
Però mettiamo si voglia arrivare a: C=>(A or B)
Ora, io avevo scritto questa dimostrazioneche speravo dimostrasse C=>A. Però guardando poi a posteriori meglio il ragionamento del quote non dimostro che C=>A, sto solo mostrando che A è vera per ogni x e in quel caso $T=2pi$, ma di fatto è poco utile. Volevo capire se in effetti era così.[/quote]
[quote]se riesco a dimostrare che di AorB A è sempre vera per ogni x sono a cavallo.
A:="$x=x+T+2kπ$ per ogni x" <=> "$T=-2kpi$ per ogni x" <=> (poiché quella scrittura è equivalente a dire -essendo k in Z che sono positivi e negativi-) "T è multiplo di $2pi$". Ho dimostrato che A è sempre vera.
Non dimostra che C=>A, in realtà non dimostra niente, stai solo osservando che A è equivalente a dire che $T$ è un multiplo di $2 pi$.
Inoltre stai andando in una direzione sbagliata. Quello che volevi dimostrare all'inizio è che se C è vera per ogni $x$, allora A è vera. Quindi non devi dimostrare che C implica A. Devi dimostrare che se C vale per ogni $x$ allora A è vera. Non puoi eliminare il "per ogni $x$" perché è fondamentale.
Inoltre volevo chiedere dato che in questi giorni ho pensato molto: sempre per una dimostrazione tipoInvece sì, se A è vera allora "C => (A or B)" è vera, perché "vero implica vero" e "falso implica vero" sono vere entrambe (questo segue da una semplice tabella di verità).
C=> (A or B), se io dimostro in qualche modo che A è una proposizione sempre vera a prescindere da tutto, posso dire che C=> (A or B) è dimostrato? Mi pare di no, anche se intuitivamente avrei detto di si. Ma vorrei essere sicuro.
Mi sono già trovato in situazioni simili sul forum, purtroppo riesco ad aiutarti solo fino a un certo punto, perché il lavoro di elaborazione lo devi fare tu.
"Martino":Questo lo hai già dimostrato quando hai risolto l'equazione $sin(x)=sin(x+T)$.
Purtroppo vedo una grande confusione, ti avviso che queste cose vanno elaborate molto e ti invito ad elaborarle, ci vuole tempo per dominarle al 100%.
[quote="auctapus"]Però mettiamo si voglia arrivare a: C=>(A or B)
Ora, io avevo scritto questa dimostrazioneche speravo dimostrasse C=>A. Però guardando poi a posteriori meglio il ragionamento del quote non dimostro che C=>A, sto solo mostrando che A è vera per ogni x e in quel caso $T=2pi$, ma di fatto è poco utile. Volevo capire se in effetti era così.[/quote]
[quote]se riesco a dimostrare che di AorB A è sempre vera per ogni x sono a cavallo.
A:="$x=x+T+2kπ$ per ogni x" <=> "$T=-2kpi$ per ogni x" <=> (poiché quella scrittura è equivalente a dire -essendo k in Z che sono positivi e negativi-) "T è multiplo di $2pi$". Ho dimostrato che A è sempre vera.
Non dimostra che C=>A, in realtà non dimostra niente, stai solo osservando che A è equivalente a dire che $T$ è un multiplo di $2 pi$.
Inoltre stai andando in una direzione sbagliata. Quello che volevi dimostrare all'inizio è che se C è vera per ogni $x$, allora A è vera. Quindi non devi dimostrare che C implica A. Devi dimostrare che se C vale per ogni $x$ allora A è vera. Non puoi eliminare il "per ogni $x$" perché è fondamentale.[/quote]
Tutto giusto quello che dici, e infatti non avevo reso bene quello che volevo dire
.Rispiego solo per non lasciare un senso di frustrazione pensando non ti abbia capito: tutto il discorso che facevo nel mio precedente (da astraiamo) era per spiegare il mio dubbio iniziale, cioè il mio contorto errore di ragionamento iniziale che hai dipanato con le tue risposte nella pagina precedente. Invece mi pare di aver fatto intendere fosse anche il dubbio attuale ma non era affatto così!!
Tutto quello che dici è giusto e mi conferma che ho capito dato che mi torna molto bene, nel senso che sono le esatte obiezioni che volevo muovere al mio discorso. Quindi, insomma, ho capito, prendila come una mia inutile pippa quello che ho scritto prima, perché sei stato molto chiaro.
Invece sì, se A è vera allora "C => (A or B)" è vera, perché "vero implica vero" e "falso implica vero" sono vere entrambe (questo segue da una semplice tabella di verità).
A parte quello, invece una cosa che mi rimane da capire c'è davvero.
[quote]Inoltre volevo chiedere dato che in questi giorni ho pensato molto: sempre per una dimostrazione tipo
C=> (A or B), se io dimostro in qualche modo che A è una proposizione sempre vera a prescindere da tutto, posso dire che C=> (A or B) è dimostrato? Mi pare di no, anche se intuitivamente avrei detto di si. Ma vorrei essere sicuro.
[/quote]
Qui mi ero fatto proprio una tavola di verità e forse non scovo uno stupido errore. Mi spiego meglio:
A ha 4 valori tutti V (V,V,V,V) perché come detto dimostriamo in qualche modo essere asserto vero sempre; C ha (V,V,F,F) e B ovviamente (V,F,V,V). Ora se io compongo "A or B" mi sembra di avere valore sempre vero quidni (V,V,V,V).
Resta quindi solo da valutare C=>(A o B) ma non mi sembra sempre vero perché C era (V,V,F,F) e i due falsi alla fine rendono falso l'asserto C=>(A o B) in quanto implicano vero.
Edito mentre scrivevo perché ho capito solo ora l'errore idiota: falso implica vero.
stupido me.Niente come non detto, posso buttare tutto nel cestino questo post e dire semplicemente: ti ringrazio per avermi spiegato e fatto capire!
Prego
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