Dubbio risoluzione disequazione esponenziale
Rieccomi 
chiedo consiglio su come poter svolgere questa disequazione:
$(3^(2x-1) + 4^x)/((6^(sqrt(x)) - 2)) > 0$
personalmente non mi piace il $6^(sqrt(x)$, vorrei toglierlo quindi....essendo il numero sotto radice obbligatoriamente > 0 pena il decesso immediato della radice quadrata, posso desumere che la quantità a denominatore sia sempre positiva giusto????
quindi potrei moltiplicare a destra e sinistra per ((6^(sqrt(x)) - 2))? o è un ragionamento troppo semplicistico?
oppure conviene trasformare il $(6^(sqrt(x)) - 2)$ in $6^((x)^(1/2))$
quindi sfruttando le proprietà delle potenze (potenza di potenza) riesco a riscrivere come $6^(1/2x)$
per portarlo a numeratore poi basta invertire il segno della potenza e quindi ottenere $6^-(1/2x)$
corretto???
Grazie
chiedo consiglio su come poter svolgere questa disequazione:
$(3^(2x-1) + 4^x)/((6^(sqrt(x)) - 2)) > 0$
personalmente non mi piace il $6^(sqrt(x)$, vorrei toglierlo quindi....essendo il numero sotto radice obbligatoriamente > 0 pena il decesso immediato della radice quadrata, posso desumere che la quantità a denominatore sia sempre positiva giusto????
quindi potrei moltiplicare a destra e sinistra per ((6^(sqrt(x)) - 2))? o è un ragionamento troppo semplicistico?
oppure conviene trasformare il $(6^(sqrt(x)) - 2)$ in $6^((x)^(1/2))$
quindi sfruttando le proprietà delle potenze (potenza di potenza) riesco a riscrivere come $6^(1/2x)$
per portarlo a numeratore poi basta invertire il segno della potenza e quindi ottenere $6^-(1/2x)$
corretto???
Grazie
Risposte
"Marco1005":
personalmente non mi piace il $6^(sqrt(x)$, vorrei toglierlo quindi....essendo il numero sotto radice obbligatoriamente > 0 pena il decesso immediato della radice quadrata, posso desumere che la quantità a denominatore sia sempre positiva giusto????
Quanto fa $6^{0,00000001}$?
Studia separatamente il segno del numeratore e del denominatore e poi ripassati le proprietà delle potenze (secondo te si ha $1/2x=x^(1/2)$)
"ghira":[/quote]
[quote="Marco1005"]
Quanto fa $6^{0,00000001}$?
ehm....un numero vicinissimo a 1. poi sottraggo il 2 e il mio ragionamento della positività va a farsi benedire.
Dai non demoralizzarti. Il numeratore è sempre positivo perché somma di quantità positive. Basta studiare il segno del denominatore.
"axpgn":
Studia separatamente il segno del numeratore e del denominatore e poi ripassati le proprietà delle potenze (secondo te si ha $1/2x=x^(1/2)$)
Scusa l'ignoranza Alex ma potenza di potenza per me è sempre stata la moltiplicazione degli esponenti.
$(5^(3))^(3)$ quindi $5^9$, perchè qui non dovrebbe essere uguale?
"@melia":
Dai non demoralizzarti. Il numeratore è sempre positivo perché somma di quantità positive. Basta studiare il segno del denominatore.
eh il problema è che quella radice così com'è scritta non mi piace, vorrei riscriverla in modo più
fruibile ma i miei tentativi fatti fino ad ora sono finiti nel nulla.
so solo che la radice deve essere >= 0 ma nulla piu
Una cosa è $(a^b)^c=a^(bc)$ (potenza di potenza), un'altra $a^(b^c)=a^((b^c))$.
Perché non è una potenza di una potenza 
Non è $(6^x)^(1/2)$ ma $6^(x^(1/2))$
Non è $(6^x)^(1/2)$ ma $6^(x^(1/2))$
"axpgn":
Perché non è una potenza di una potenza
Non è $ (6^x)^(1/2) $ ma $ 6^(x^(1/2)) $
"axpgn":
Perché non è una potenza di una potenza
Non è $(6^x)^(1/2)$ ma $6^(x^(1/2))$
hai ragione, se fosse $(6^x)^(1/2)$ avrei tutto il $6^x$ sotto radice quadrata, quindi $sqrt(6^x)$,
mentre qui ho solo l'esponente sotto radice.
eh a questo punto però non posso riscriverlo in altro modo? e come studio la positività? un numero
elevato a una radice cosa può mai fare..più la radice risulta un numero piccolo più il valore tende a 1.
il denominatore è $6^(sqrt(x))-2)$, come posso isolare la x per studiare la positività?
"Marco1005":
il denominatore è $6^(sqrt(x))-2)$, come posso isolare la x per studiare la positività?
$6^\sqrt{x}-2>0$
$6^\sqrt{x}>2$
$\sqrt{x}>$... ?
"ghira":
$6^\sqrt{x}-2>0$
$6^\sqrt{x}>2$
$\sqrt{x}>$... ?
Eh..non lo so...se fosse $6*sqrt{x}>2$ dividerei per $6$, ma in questo caso come passo dal
$6$ alla radice singola??? logaritmo??? utilizzando la proprietà dell'atterraggio dell'esponente? non riesco veramente a capire...sarà semplice ma non capisco
Ma se da qui $6^(sqrt(x))>2$ passi ai logaritmi cosa succede? Una base qualsiasi, anzi in base $6$ è pure meglio ...
"axpgn":
Ma se da qui $6^(sqrt(x))>2$ passi ai logaritmi cosa succede? Una base qualsiasi, anzi in base $6$ è pure meglio ...
mhhh..posso farlo? cioè quando analizzo numeratore e denominatore posso farlo separatamente? quindi non devo applicare il log anche al numeratore?
In teoria si
, quindi$log_6(6)^(sqrt(x))> log_6(2)$
$(sqrt(x))*log_6(6)> log_6(2)$
$(sqrt(x))*1> log_6(2)$
$((sqrt(x))^2) > log_6(2)^2$
$x>2log_6(2)$
la base è positiva quindi mantengo il segno, faccio i calcoli per controllare di fatto quanto valga e poi
sulla linea delle soluzioni possibili scrivo i +++++ dopo $2log_6(2)$ e i ----- prima. incrocio poi con il numeratore e stabilisco qual'è la soluzione della seconda disequazione.
incrocio poi le soluzione delle due disequazioni a sistema e trovo la soluzione finale... spero di aver fatto bene
Marco, ti consiglio di pensare molto alla notazione.
$log_2(x^3)$ e $log_2(x)^3$ sono cose molto diverse. Nel primo caso si applica il logaritmo a $x^3$. Nel secondo caso si applica il logaritmo a $x$ e poi si eleva il risultato alla terza. Per esempio
$log_2(2^3)=3$
$log_2(2)^3=1^3=1$.
Inoltre
$log_2(x^3)=3 log_2(x)$
ma
$log_2(x)^3 ne 3 log_2(x)$.
Se metti le parentesi nei posti giusti non hai problemi.
$log_2(x^3)$ e $log_2(x)^3$ sono cose molto diverse. Nel primo caso si applica il logaritmo a $x^3$. Nel secondo caso si applica il logaritmo a $x$ e poi si eleva il risultato alla terza. Per esempio
$log_2(2^3)=3$
$log_2(2)^3=1^3=1$.
Inoltre
$log_2(x^3)=3 log_2(x)$
ma
$log_2(x)^3 ne 3 log_2(x)$.
Se metti le parentesi nei posti giusti non hai problemi.
"Marco1005":
cioè quando analizzo numeratore e denominatore posso farlo separatamente?
Ora stai studiando questa disequazione $6^(sqrt(x))>2$ quindi del resto del mondo non te ne importa niente; chiaramente, poi, devi mettere in relazione il tutto.
"Martino":
Se metti le parentesi nei posti giusti non hai problemi.
Grazie del consiglio.
Nel mio esercizio quindi quando elevo entrambi i membri alla seconda, sto elevando
$log_6(2)$ al quadrato....quindi in questo caso lo scrivo come $log_6(2)^2$ e quindi il risultato finale
sarebbe $x>log_6(4)$???
se l'esponente fa parte dell'argomento (nel senso che è tra parentesi) allora posso utilizzare la proprietà dell'atterraggio dell'esponente, altrimenti devo svolgerlo così com'è giusto?
alla fine ho sbagliato a scrivere anche $6^sqrt(x)$, quando inserivo il logaritmo dovevo scriverlo
come $log_6(6^sqrt(x))$ giusto? altrimenti non posso portare davanti l'esponente
"Marco1005":
Nel mio esercizio quindi quando elevo entrambi i membri alla seconda, sto elevando
$log_6(2)$ al quadrato....quindi in questo caso lo scrivo come $log_6(2)^2$ e quindi il risultato finale
sarebbe $x>log_6(4)$???
Hai una calcolatrice un un foglio di calcolo o un linguaggio di programmazione? Questi due numeri sono uguali? (Spoiler: no. $log_6(2)^2$ è 0,149655094 mentre $log_6(4)$ è 0,773705614)
"Marco1005":
la base è positiva quindi mantengo il segno
??
"Marco1005":No, per essere più chiaro (relativamente alla notazione), se elevi $log_6(2)$ al quadrato dovresti scrivere $(log_6(2))^2$, che come ripeto è molto diverso da $log_6(4)=log_6(2^2)=2log_6(2)$.
Nel mio esercizio quindi quando elevo entrambi i membri alla seconda, sto elevando
$log_6(2)$ al quadrato....quindi in questo caso lo scrivo come $log_6(2)^2$ e quindi il risultato finale
sarebbe $x>log_6(4)$???
Per fare un esempio più chiaro,
$(log_2(8))^2=3^2=9$
$log_2(8^2)=log_2(64)=6$
$(log_2(8))^2=3^2=9$
$log_2(8^2)=log_2(64)=6$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo