Domanda..
Una volta mi è stato dato il seguente esercizio:
se $lim_(n -> +oo) a_n = +oo$ e se $lim_(n -> +oo) b_n = +oo$ dimostrare che $lim_(n -> +oo) a_nb_n = "?"$
non ho saputo come dimostrarlo allora, e ne tantomeno ora so come dimostrarlo, sapreste darmi una mano?
se $lim_(n -> +oo) a_n = +oo$ e se $lim_(n -> +oo) b_n = +oo$ dimostrare che $lim_(n -> +oo) a_nb_n = "?"$
non ho saputo come dimostrarlo allora, e ne tantomeno ora so come dimostrarlo, sapreste darmi una mano?
Risposte
Scusa ma se utilizziamo le proprietà dei limiti, sappiamo che $ lim_(n -> +∞) a_n*b_n = lim_(n -> +∞) a_n * lim_(n-> +∞) b_n = +∞ * +∞ $ che non è nemmeno una forma indeterminata.. Se poi bisogna evitarle si deve fare un altro discorso 
mah io nel testo dell'esercizio non mi ricordo che bisognava evitarle, ma se così fosse come procedo nella dimostrazione?
"antrope":
Scusa ma se utilizziamo le proprietà dei limiti, sappiamo che $ lim_(n -> +oo) a_n*b_n = lim_(n -> +oo) a_n * lim_(n-> +oo) b_n = +oo * +oo $ che non è nemmeno una forma indeterminata.. Se poi bisogna evitarle si deve fare un altro discorso
Non è proprio proprio "matematichese"... Infatti moltiplicare due infiniti potrebbe dare un tantino fastidio (le proprietà dei limiti di "compatibilità" rispetto a somma e prodotto valgono quando i suddetti limiti sono finiti).
Per risolvere l'esercizio si può fare così: fissiamo M>0. Bisogna mostrare che esiste un naturale N tale che $a_nb_n ge M$ per ogni $n ge N$. Ora, di sicuro esiste $N_1$ tale che $a_n ge M$ per ogni $n ge N_1$ (perché la $a_n$ tende a $+oo$), e di sicuro esiste $N_2$ tale che $b_n ge 1$ per ogni $n ge N_2$ (perché la $b_n$ tende a $+oo$). Fissiamo $N=max(N_1,N_2)$. Allora quando $n ge N$ abbiamo $a_nb_n ge M \cdot 1 = M$.
scusa martino ma tu ora non hai dimostrato che $lim_(n->+oo) a_nb_n = +oo$?
"Mega-X":
scusa martino ma tu ora non hai dimostrato che $lim_(n->+oo) a_nb_n = +oo$?
Mmh sì...
Scusa forse non ho capito bene la questione, che cosa bisogna dimostrare?
"Mega-X":
Una volta mi è stato dato il seguente esercizio:
se $lim_(n -> +oo) a_n = +oo$ e se $lim_(n -> +oo) b_n = +oo$ dimostrare che $lim_(n -> +oo) a_nb_n = "?"$
non ho saputo come dimostrarlo allora, e ne tantomeno ora so come dimostrarlo, sapreste darmi una mano?
questo (a meno che non stia ricordando male..)
Devo dimostrare che il limite è "?" ? Il simbolo "?" non è ancora stato inserito tra i numeri reali 
"Martino":
Devo dimostrare che il limite è "?" ? Il simbolo "?" non è ancora stato inserito tra i numeri reali
e vabbè ti vuoi fermare pure a queste sottigliezze?
scherzi a parte il simbolo "?" penso (dico penso perché non mi ricordo..
) che significhi che il limite non esiste
Ah d'accordo
Ma allora, a parte il fatto che prendendo $a_n=b_n=n$ si ottiene che il limite di $a_nb_n$ esiste e vale $+oo$ (quindi non è possibile dimostrare che quel limite non esiste), credo di aver dimostrato qualche post fa che questo è vero in generale...
Ma allora, a parte il fatto che prendendo $a_n=b_n=n$ si ottiene che il limite di $a_nb_n$ esiste e vale $+oo$ (quindi non è possibile dimostrare che quel limite non esiste), credo di aver dimostrato qualche post fa che questo è vero in generale...
allora che diavolo di esercizio è questo, avevo ragione io che esisteva (ECCOME) il limite..
@Mega-X
per favore, leggi quello che scrivevo in questo post "erga ommnes":
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 703#169703
per favore, leggi quello che scrivevo in questo post "erga ommnes":
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 703#169703
"Martino":
Devo dimostrare che il limite è "?" ? Il simbolo "?" non è ancora stato inserito tra i numeri reali
peccato che abbiamo fra i piedi un """punto"" di accumulazione"
sennò, dopo Giosuè:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 974#175974
era uno scherzo far venire "?" come limite
ok forse dovevo sbatterci la testa ancora di più di quanto non l'abbia sbattuta (cioè $0$.. )
)
P.V. (presa visione 
).
Buona notte, "tendo" le braccia verso il letto dopo aver bevuto un bicchiere in cui l'acqua si distingue per l'accumulazione.
Quando l'avrò finito, farò dei miei sogni un limite.
).Buona notte, "tendo" le braccia verso il letto dopo aver bevuto un bicchiere in cui l'acqua si distingue per l'accumulazione.
Quando l'avrò finito, farò dei miei sogni un limite.
ok seguendo il consiglio di Fioravante sono arrivato alla soluzione 
(Il consiglio era quello di sbatterci la testa.. 
)
quindi dobbiamo dimostrare che se abbiamo $lim_(n->oo) a_n = +oo$ e $lim_(n->oo) b_n = +oo$ allora $lim_(n->oo) a_n * lim_(n->oo) a_n != lim_(n->oo) a_nb_n$ (1)
cominciamo col dire che
$lim_(n->oo) a_n = +oo => AA A > 0, EE N_1 in NN : a_n > A, AA n > N_1$
$lim_(n->oo) b_n = +oo => AA B > 0, EE N_2 in NN : b_n > B, AA n > N_2$
dunque $lim_(n->oo) a_n * lim_(n->oo) b_n = +oo => AA A*B > 0, EE N_1N_2 in NN: a_nb_n > A*B, AA n > N_1N_2$
ora consideriamo il seguente limite: $lim_(n->oo) a_nb_n = c in RR$
dobbiamo dimostrare la (1) dunque poniamo per assurdo che $c -> +oo$ per $n -> oo$ dunque partendo dalla definizione di successione convergente
$AA epsilon > 0, EEN in NN : |a_nb_n - c| < epsilon, AAn > N$
come visto prima $a_n$ e $b_n$ tendono ad infinito per $n->oo$, dunque abbiamo una cosa di questo tipo $|lim_(n->oo) a_n*lim_(n->oo)b_n - lim_(c->oo)c| < epsilon in RR$ ma dentro il valore assoluto abbiamo un limite in forma indeterminata del tipo $+oo - oo$ la quale da $l in RR$, solo in alcuni casi, e se si tratta di questo caso possiamo dire che:
$lim_(n->oo) a_n * lim_(n->oo) b_n = lim_(n->oo) a_nb_n$
Spero sia giusta la mia dimostrazione..
(Il consiglio era quello di sbatterci la testa.. )quindi dobbiamo dimostrare che se abbiamo $lim_(n->oo) a_n = +oo$ e $lim_(n->oo) b_n = +oo$ allora $lim_(n->oo) a_n * lim_(n->oo) a_n != lim_(n->oo) a_nb_n$ (1)
cominciamo col dire che
$lim_(n->oo) a_n = +oo => AA A > 0, EE N_1 in NN : a_n > A, AA n > N_1$
$lim_(n->oo) b_n = +oo => AA B > 0, EE N_2 in NN : b_n > B, AA n > N_2$
dunque $lim_(n->oo) a_n * lim_(n->oo) b_n = +oo => AA A*B > 0, EE N_1N_2 in NN: a_nb_n > A*B, AA n > N_1N_2$
ora consideriamo il seguente limite: $lim_(n->oo) a_nb_n = c in RR$
dobbiamo dimostrare la (1) dunque poniamo per assurdo che $c -> +oo$ per $n -> oo$ dunque partendo dalla definizione di successione convergente
$AA epsilon > 0, EEN in NN : |a_nb_n - c| < epsilon, AAn > N$
come visto prima $a_n$ e $b_n$ tendono ad infinito per $n->oo$, dunque abbiamo una cosa di questo tipo $|lim_(n->oo) a_n*lim_(n->oo)b_n - lim_(c->oo)c| < epsilon in RR$ ma dentro il valore assoluto abbiamo un limite in forma indeterminata del tipo $+oo - oo$ la quale da $l in RR$, solo in alcuni casi, e se si tratta di questo caso possiamo dire che:
$lim_(n->oo) a_n * lim_(n->oo) b_n = lim_(n->oo) a_nb_n$
Spero sia giusta la mia dimostrazione..
"Mega-X":
$lim_(n->oo) a_n = +oo => AAn>N_1 in NN, EE A > 0 : a_n > A$
$lim_(n->oo) b_n = +oo => AAn>N_2 in NN, EE B > 0 : b_n > B$
No: la definizione di limite non è questa. è esattamente il contrario: per ogni A>0 esiste $N_i \in NN$ tale che...
dunque $lim_(n->oo) a_n * lim_(n->oo) b_n = +oo => AAn>N_1N_2 in NN, EE A*B > 0 : a_nb_n > A*B$
Detto così non mi piace niente
scusa. Bisognerebbe dire: per ogni $A>0$ esiste $N \in NN$ tale che $a_nb_n>A$ per ogni $n>N$.ora consideriamo il seguente limite: $lim_(n->oo) a_nb_n = c$
dobbiamo dimostrare la (1) dunque poniamo per assurdo che $c -> +oo$ per $n -> oo$
Mi sono perso: perché "per assurdo"? Cosa significa $c -> +oo$ ? c è un numero reale? Cosa è c?
dunque partendo dalla definizione di successione convergente
$AA epsilon > 0, EEN in NN : |a_nb_n - c| < epsilon, AAn > N$
come visto prima $a_n$ e $b_n$ tendono ad infinito per $n->oo$ ora poniamo che $c->oo$ abbiamo che $|+oo - oo| < epsilon$ ma $+oo - oo$ è una forma indeterminata che non da sempre un numero reale
$+oo$ non è un numero! Non lo puoi trattare come tale... $+oo-oo$ è una convenzione di scrittura, non una somma algebrica!
quindi non è detto che vale sempre la seguente uguaglianza
$lim_(n->oo) a_n * lim_(n->oo) b_n = lim_(n->oo) a_nb_n$
ma anzi abbiamo appena scoperto che se vale $lim_(n->oo) a_nb_n - n = l in RR$ (con la condizione che per $n->oo$, $a_n -> oo$ e $b_n -> oo$, la suddetta uguaglianza vale
Che significa "sempre"? Stai sempre supponendo che le $a_n,b_n$ tendano a $oo$ per $n -> +oo$, o hai cambiato ipotesi? Perché poi scrivi "$a_nb_n-n$" ?
Ciao.
E' facile:
$AA K>0, EE ni_1,ni_2 in NN :$
$AA n>ni_1, a_n>sqrt(K)$
$AA n>ni_2, b_n>sqrt(K)$
Segue che, posto $ni=max{ni_1,ni_2}$,
$AA n>ni, a_n * b_n>K$
quindi la successione $a_n b_n$ maggiora definitivamente ogni costante, ovvero tende a infinito.
$AA K>0, EE ni_1,ni_2 in NN :$
$AA n>ni_1, a_n>sqrt(K)$
$AA n>ni_2, b_n>sqrt(K)$
Segue che, posto $ni=max{ni_1,ni_2}$,
$AA n>ni, a_n * b_n>K$
quindi la successione $a_n b_n$ maggiora definitivamente ogni costante, ovvero tende a infinito.
Considerato l'orario e la stanchezza psico-pazzo-psicologica è abbastanza normale per me compiere errori di questo genere
ho formalizzato e corretto alcune parti, spero che vada bene ora..
ho formalizzato e corretto alcune parti, spero che vada bene ora..
Mega-X, ti muoverò un paio di piccole critiche, non me ne volere 
Sei d'accordo che questo non ha senso? Se c è un numero reale (e non una funzione di n) come può "tendere" a $+oo$ quando $n->+oo$ ?
E poi, anche assumendo questo, continuo a non capire perché dici "per assurdo".
Mi permetto di dirti che non ci siamo: non è che se una successione tende a $+oo$ allora "dista da $+oo$ meno di $epsilon$ per n abbastanza grande": $+oo$ non è un numero, non lo si può trattare come se lo fosse. Una successione tende a $+oo$ quando è "definitivamente più grande di ogni reale positivo fissato".
Inoltre, la forma indeterminata è una convenzione di scrittura, non puoi fargli sopra le operazioni che riguardano in questo ambito i numeri reali: quando dici che "dentro il valore assoluto abbiamo un limite in forma indeterminata del tipo $+oo-oo$" è come se dicessi "siamo in presenza del valore assoluto di questa particolare convenzione di scrittura".
"Mega-X":
ora consideriamo il seguente limite: $lim_(n->oo) a_nb_n = c in RR$
dobbiamo dimostrare la (1) dunque poniamo per assurdo che $c -> +oo$ per $n -> oo$
Sei d'accordo che questo non ha senso? Se c è un numero reale (e non una funzione di n) come può "tendere" a $+oo$ quando $n->+oo$ ?
E poi, anche assumendo questo, continuo a non capire perché dici "per assurdo".
"Mega-X":
come visto prima $a_n$ e $b_n$ tendono ad infinito per $n->oo$, dunque abbiamo una cosa di questo tipo $|lim_(n->oo) a_n*lim_(n->oo)b_n - lim_(c->oo)c| < epsilon in RR$ ma dentro il valore assoluto abbiamo un limite in forma indeterminata del tipo $+oo - oo$ la quale da $l in RR$, solo in alcuni casi, e se si tratta di questo caso possiamo dire che:
$lim_(n->oo) a_n * lim_(n->oo) b_n = lim_(n->oo) a_nb_n$
Mi permetto di dirti che non ci siamo: non è che se una successione tende a $+oo$ allora "dista da $+oo$ meno di $epsilon$ per n abbastanza grande": $+oo$ non è un numero, non lo si può trattare come se lo fosse. Una successione tende a $+oo$ quando è "definitivamente più grande di ogni reale positivo fissato".
Inoltre, la forma indeterminata è una convenzione di scrittura, non puoi fargli sopra le operazioni che riguardano in questo ambito i numeri reali: quando dici che "dentro il valore assoluto abbiamo un limite in forma indeterminata del tipo $+oo-oo$" è come se dicessi "siamo in presenza del valore assoluto di questa particolare convenzione di scrittura".
1) diamo la definizione di $+oo$ di i-esimo ordine (è una mia definizione, inventata al momento), $n = +oo => n > k^i, AAk in RR$ dunque ora dire che $c = +oo$ (di ordine 1) penso che sia abbastanza rigoroso
2) il fatto che $|lim_(n->oo)a_n*lim_(n->oo)b_n - lim_(c->oo) c| < epsilon in RR$ secondo me va interpretato che se $lim_(c->oo)c$ è un infinito di ordine uguale a questo limite $lim_(n->oo)a_n*lim_(n->oo)b_n)$ (ovvero $lim_(n->oo)a_n*lim_(n->oo)b_n)$ è un infinito di ordine 1) allora possiamo scrivere che $lim_(n->oo)a_n*lim_(n->oo)b_n = lim_(n->oo)a_nb_n$
2) il fatto che $|lim_(n->oo)a_n*lim_(n->oo)b_n - lim_(c->oo) c| < epsilon in RR$ secondo me va interpretato che se $lim_(c->oo)c$ è un infinito di ordine uguale a questo limite $lim_(n->oo)a_n*lim_(n->oo)b_n)$ (ovvero $lim_(n->oo)a_n*lim_(n->oo)b_n)$ è un infinito di ordine 1) allora possiamo scrivere che $lim_(n->oo)a_n*lim_(n->oo)b_n = lim_(n->oo)a_nb_n$
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