Domanda..
Una volta mi è stato dato il seguente esercizio:
se $lim_(n -> +oo) a_n = +oo$ e se $lim_(n -> +oo) b_n = +oo$ dimostrare che $lim_(n -> +oo) a_nb_n = "?"$
non ho saputo come dimostrarlo allora, e ne tantomeno ora so come dimostrarlo, sapreste darmi una mano?
se $lim_(n -> +oo) a_n = +oo$ e se $lim_(n -> +oo) b_n = +oo$ dimostrare che $lim_(n -> +oo) a_nb_n = "?"$
non ho saputo come dimostrarlo allora, e ne tantomeno ora so come dimostrarlo, sapreste darmi una mano?
Risposte
"Mega-X":
1) diamo la definizione di $+oo$ (è una mia definizione, inventata al momento), $n = +oo => n > k, AAk in RR$ dunque ora dire che $c = +oo$ penso che sia abbastanza rigoroso
2) il fatto che $|lim_(n->oo)a_n*lim_(n->oo)b_n - lim_(c->oo) c| < epsilon in RR$ secondo me va interpretato che se $lim_(c->oo)c$ è un infinito di ordine uguale a questo limite $lim_(n->oo)a_n*lim_(n->oo)b_n)$ allora possiamo scrivere che $lim_(n->oo)a_n*lim_(n->oo)b_n = lim_(n->oo)a_nb_n$
Nella tua (a mio avviso pericolosa, se la usi in mezzo ai limiti) definizione di infinito al punto (1) non hai detto cosa sia "l'ordine" dell'infinito (che tra l'altro presupporrebbe diverse definizioni di infinito), che invece usi nel punto (2).
Ho editato aggiungendo la mia definizione di infinito di ordine $i$-esimo
"Mega-X":
1) diamo la definizione di $+oo$ di i-esimo ordine (è una mia definizione, inventata al momento), $n = +oo => n > k^i, AAk in RR$ dunque ora dire che $c = +oo$ (di ordine 1) penso che sia abbastanza rigoroso
Con questa definizione, un infinito di ordine i-esimo coincide con un infinito di ordine j-esimo per ogni $00$. In altre parole, se i>0 questa definizione non dipende da i.
"Martino":
[quote="Mega-X"]1) diamo la definizione di $+oo$ di i-esimo ordine (è una mia definizione, inventata al momento), $n = +oo => n > k^i, AAk in RR$ dunque ora dire che $c = +oo$ (di ordine 1) penso che sia abbastanza rigoroso
Con questa definizione, un infinito di ordine i-esimo coincide con un infinito di ordine j-esimo per ogni $00$. In altre parole, se i>0 questa definizione non dipende da i.[/quote]
ma se tu hai posto $i != j$ come fa a coincidere l'ordine i-esimo dell'infinito con l'ordine j-esimo?
e pure se coincidesse, non riesco a capire a che conseguenza porta tale coincidenza...
Se i>0, dire che
"$n>k^i$ per ogni $k \in RR_{>0}$"
è esattamente lo stesso che dire
"$n>k$ per ogni $k \in RR_{>0}$".
(ho aggiunto l'ipotesi k>0 perché la potenza i-esima, ove i>0, sia sempre definita).
Infatti:
1) se $n>k^i$ per ogni $k \in RR_{>0}$, allora per ogni $l \in RR_{>0}$ abbiamo che $l^{1/i} \in RR$ e quindi per ipotesi $n>(l^{1/i})^i=l$.
2) se $n>k$ per ogni $k \in RR_{>0}$ allora per ogni $l \in RR_{>0}$ abbiamo $l^i \in RR$ e quindi per ipotesi $n>l^i$.
Quindi la tua definizione di infinito di ordine i-esimo è irrilevante (non dipende da i ! Se cambio i non cambio il significato di "infinito di ordine i" secondo la tua definizione): è come se io dicessi "se k è un numero naturale, un numero reale $a>1$ si dice "di reazione confabulare k" se $|a|^k le |a|^{k+1}$. Appresa questa definizione, è evidente che ogni numero reale maggiore di 1 è di reazione confabulare k per ogni numero naturale k. Quindi questa mia definizione di "reazione confabulare" è inutile (irrilevante).
Senti, non prenderla male ma secondo me hai un po' di confusione riguardo i limiti e il significato di infinito. Prova a guardare qualche dimostrazione che utilizzi la definizione di limite, sia per le successioni che per le funzioni reali di variabile reale.
Ciao cià.
"$n>k^i$ per ogni $k \in RR_{>0}$"
è esattamente lo stesso che dire
"$n>k$ per ogni $k \in RR_{>0}$".
(ho aggiunto l'ipotesi k>0 perché la potenza i-esima, ove i>0, sia sempre definita).
Infatti:
1) se $n>k^i$ per ogni $k \in RR_{>0}$, allora per ogni $l \in RR_{>0}$ abbiamo che $l^{1/i} \in RR$ e quindi per ipotesi $n>(l^{1/i})^i=l$.
2) se $n>k$ per ogni $k \in RR_{>0}$ allora per ogni $l \in RR_{>0}$ abbiamo $l^i \in RR$ e quindi per ipotesi $n>l^i$.
Quindi la tua definizione di infinito di ordine i-esimo è irrilevante (non dipende da i ! Se cambio i non cambio il significato di "infinito di ordine i" secondo la tua definizione): è come se io dicessi "se k è un numero naturale, un numero reale $a>1$ si dice "di reazione confabulare k" se $|a|^k le |a|^{k+1}$. Appresa questa definizione, è evidente che ogni numero reale maggiore di 1 è di reazione confabulare k per ogni numero naturale k. Quindi questa mia definizione di "reazione confabulare" è inutile (irrilevante).
Senti, non prenderla male ma secondo me hai un po' di confusione riguardo i limiti e il significato di infinito. Prova a guardare qualche dimostrazione che utilizzi la definizione di limite, sia per le successioni che per le funzioni reali di variabile reale.
Ciao cià.
Premessa: Martino se ribatto su alcuni punti, non la prendere come se io ne volessi sapere più di te, prendila piuttosto come se io voglio imparare qualcosa perché se non elimino questi dubbi ora, mi rimarrano per il resto della mia vita
scusa ma se tu poni $k = l^(1/i)$ al punto 1) al punto 2) dovrebbe essere $n>l^(1/i)$, e poi non mi sembra che questo basti per dire che la mia definizione sia sbagliata perché tu semplicemente poni $k=l^(1/i)$ e dopo fai vedere che cosa succede per $n>k^i$ e $n>k$
"Martino":
1) se $n>k^i$ per ogni $k \in RR_{>0}$, allora per ogni $l \in RR_{>0}$ abbiamo che $l^{1/i} \in RR$ e quindi per ipotesi $n>(l^{1/i})^i=l$.
2) se $n>k$ per ogni $k \in RR_{>0}$ allora per ogni $l \in RR_{>0}$ abbiamo $l^i \in RR$ e quindi per ipotesi $n>l^i$.
scusa ma se tu poni $k = l^(1/i)$ al punto 1) al punto 2) dovrebbe essere $n>l^(1/i)$, e poi non mi sembra che questo basti per dire che la mia definizione sia sbagliata perché tu semplicemente poni $k=l^(1/i)$ e dopo fai vedere che cosa succede per $n>k^i$ e $n>k$
"Mega-X":
Premessa: Martino se ribatto su alcuni punti, non la prendere come se io ne volessi sapere più di te, prendila piuttosto come se io voglio imparare qualcosa perché se non elimino questi dubbi ora, mi rimarrano per il resto della mia vita
[quote="Martino"]
1) se $n>k^i$ per ogni $k \in RR_{>0}$, allora per ogni $l \in RR_{>0}$ abbiamo che $l^{1/i} \in RR$ e quindi per ipotesi $n>(l^{1/i})^i=l$.
2) se $n>k$ per ogni $k \in RR_{>0}$ allora per ogni $l \in RR_{>0}$ abbiamo $l^i \in RR$ e quindi per ipotesi $n>l^i$.
scusa ma se tu poni $k = l^(1/i)$ al punto 1) al punto 2) dovrebbe essere $n>l^(1/i)$, e poi non mi sembra che questo basti per dire che la mia definizione sia sbagliata perché tu semplicemente poni $k=l^(1/i)$ e dopo fai vedere che cosa succede per $n>k^i$ e $n>k$[/quote]
Non è che la tua definizione è "sbagliata", dico solamente che con la tua definizione un infinito di ordine 1 coincide con un infinito di ordine 2, di ordine 3, di ordine 4, ... di ordine qualunque!
Infatti preso un naturale i>0, dire "n è maggiore della potenza i-esima di ogni numero reale" è lo stesso che dire "n è maggiore di ogni numero reale". Queste due frasi che ho appena scritto sono equivalenti! Quello che ho cercato di fare nei miei punti 1) e 2) è dimostrarti che sono equivalenti. Nel punto 1) ho mostrato che se n è maggiore della potenza i-esima di ogni numero reale allora n è maggiore di ogni numero reale. Nel punto 2) ho mostrato che se n è maggiore di ogni numero reale allora n è maggiore della potenza i-esima di ogni numero reale. Queste due dimostrazioni sono indipendenti l'una dall'altra, i simboli che uso nella prima dimostrazione non sono per nulla legati ai simboli che uso nella seconda.
Se adesso queste due dimostrazioni non ti sono ancora chiare, prova a pensarci molto da solo (fino a che non sei stanco, e quando ti sei ripreso ricomincia: è davvero importante!) prima di postare altre domande.
Quello che voglio dire con questo è che mi sembra che tu ti sia inventato una definizione qualsiasi di "infinito di ordine i" senza preoccuparti di verificare che fosse coerente con quello che avevi scritto nella dimostrazione in cui l'hai utilizzato.
Ti avviso che non credo che scriverò ancora in questo thread.
Se avrai ancora dubbi, spero che qualcun altro ti possa aiutare.
Con simpatia
guarda, facciamo un esempio (sempre sperando che mi risponderai..)
prendiamo $k = 3$ e vediamo la differenza fra un infinito di ordine 1 e un infinito di ordine 3 (sempre secondo la mia definizione)
dunque inf. di ordine 1 $=> n > 3^1$
inf. di ordine 3 $=> n>3^3$
ciò significa che l'infinito di ordine 3 deve essere $3^2$ volte più grande di un infinito di ordine 1...
Io interpreterei questo risultato, in questo modo, un infinito di ordine maggiore rispetto ad un altro infinito, tende all'infinito più velocemente..
Siccome martino molto probabilmente non risponderà, chi mi risponderà di voi?
prendiamo $k = 3$ e vediamo la differenza fra un infinito di ordine 1 e un infinito di ordine 3 (sempre secondo la mia definizione)
dunque inf. di ordine 1 $=> n > 3^1$
inf. di ordine 3 $=> n>3^3$
ciò significa che l'infinito di ordine 3 deve essere $3^2$ volte più grande di un infinito di ordine 1...
Io interpreterei questo risultato, in questo modo, un infinito di ordine maggiore rispetto ad un altro infinito, tende all'infinito più velocemente..
Siccome martino molto probabilmente non risponderà, chi mi risponderà di voi?
nessuno eh?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo