Distanza di un punto da una retta
Sto cercando di capire la dimostrazione della formula:
$ d=|axp+byp+c|/sqrt(a^2+b^2) $
Sto trovando difficoltà nel capire, in questo punto.....
Se ho due triangoli simili $ PHD $ e $ NDM $, vale la proporzione:
$ PH:ND=PM:MD $
Bene, per la proporzione non ci sono dubbi....., ma poi non capisco nel seguente passaggio, perchè vengono utilizzati valori assoluti, ecco quì:
$ PH:|xn-xd|=|yp-ym|:MD $
$ d=|axp+byp+c|/sqrt(a^2+b^2) $
Sto trovando difficoltà nel capire, in questo punto.....
Se ho due triangoli simili $ PHD $ e $ NDM $, vale la proporzione:
$ PH:ND=PM:MD $
Bene, per la proporzione non ci sono dubbi....., ma poi non capisco nel seguente passaggio, perchè vengono utilizzati valori assoluti, ecco quì:
$ PH:|xn-xd|=|yp-ym|:MD $
Risposte
provo... forse perchè i lati dei triangoli devono essere espressi da numeri positivi?
"gio73":
provo... forse perchè i lati dei triangoli devono essere espressi da numeri positivi?
Perche' devono essere per forza positivi? Per il fatto che se fossero negativi, non avrebbero senso?
Grazie mille.
Salve Bad90,
forse la risposta si cela nella definizione di distanza, la sai? Anche in maniera intuitiva? Cioè, può essere mai negativa, nella geometria da te studiata ovviamente?
Poi, per quando riguarda la dimostrazione cosa sono $p,n,d,m$? Ed ancora, se ti trovi in geometria analitica perchè fai uso del concetto di similitudine tra triangoli, non perchè sbagliato ma sincretismo poco rigoroso? Ti posto alcune pagine web trovate su internet:
http://www.bastianutto.it/index.php?opt ... &Itemid=65
http://spazioinwind.libero.it/antoniofa ... -retta.pdf
http://it.wikibooks.org/wiki/Matematica ... _una_retta
http://manuale.matematicamente.it/forum ... _retta.pdf
Cordiali saluti
forse la risposta si cela nella definizione di distanza, la sai? Anche in maniera intuitiva? Cioè, può essere mai negativa, nella geometria da te studiata ovviamente?
Poi, per quando riguarda la dimostrazione cosa sono $p,n,d,m$? Ed ancora, se ti trovi in geometria analitica perchè fai uso del concetto di similitudine tra triangoli, non perchè sbagliato ma sincretismo poco rigoroso? Ti posto alcune pagine web trovate su internet:
http://www.bastianutto.it/index.php?opt ... &Itemid=65
http://spazioinwind.libero.it/antoniofa ... -retta.pdf
http://it.wikibooks.org/wiki/Matematica ... _una_retta
http://manuale.matematicamente.it/forum ... _retta.pdf
Cordiali saluti
Ho letto tutto ciò che è scritto nei link che hai postato 
, ho compreso meglio il concetto, ho fatto anche alcuni esercizi preposi nel link: http://manuale.matematicamente.it/forum ... 66#msg-366
Sono riuscito a risolverli senza nessun problema!
Ti ringrazio!
, ho compreso meglio il concetto, ho fatto anche alcuni esercizi preposi nel link: http://manuale.matematicamente.it/forum ... 66#msg-366 Sono riuscito a risolverli senza nessun problema!
Ti ringrazio!
Esercizio 1
Calcolare la distanza $ d $ di ciascuno dei punti indicati dalla retta la cui equazione è scritta a fianco.
$ P(2,1) $ Retta $ kx+y-2=0 $
Mi trovo con quel $ k $ nell'equazione della retta, come devo fare
Devo dare un valore arbritario?
Come devo comportarmi?
Ricavo due punti della retta$ kx+y-2=0 $
Per $ x=0 $ avrò $ y=2 $ punto $ A(0,2) $
Per $ x=1 $ avrò $ y=2-k $ punto $ A(1,2-k) $
Ricavo la retta passante per $ P $ e perpendicolare alla retta $ kx+y-2=0 $
$ y-1=1/k(x-2) $
$ x-ky+k-2=0 $
Penso posso scriverla anche
$ x-k(y-1)-2=0 $
Ricavo il punto di intersezione delle rette.
$ { ( kx+y-2=0 ),( x-ky+k-2=0 ):} $
$ { (y=2-k ),( x=2+k(1-k) ):} $
$ Int.(2+k(1-k),2-k) $
a) Ricavo la distanza $ bar(PI) $ .
$ bar(PI)=sqrt((2+k(1-k)-2)^2+(2-k-1)^2) $
$ bar(PI)=sqrt(k^2(1-k)^2+1-2k+k^2) $
b)O devo fare così?
$ bar(PI)=sqrt((2+k(1-k)-2)^2+(2-k-1)^2)=>bar(PI)=sqrt(4+k^2(1-k)^2-4+2k(1-k)+1-2k+k^2) $
E poi come devo continuare? Sempre se fin quì ho fatto tutto bene!
c)Oppure nel seguente punto:
$ bar(PI)=sqrt((2+k(1-k)-2)^2+(2-k-1)^2) $
Devo fare così?
$ bar(PI)=sqrt(5+4k-4k^2-2k^3+k^4) $
Sempre se ho fatto bene, come devo continuare?
Come avete visto, ho fatto varie prove, a),b),c), ma quale di queste ha i passaggi algebrici in modo corretto? Al di là della via corretta per risolvere la traccia che non sto riuscendo a trovare, algebricamente quali di questi passaggi a le regole matematiche rispettate? a),b),c) 
Grazie mille!
Calcolare la distanza $ d $ di ciascuno dei punti indicati dalla retta la cui equazione è scritta a fianco.
$ P(2,1) $ Retta $ kx+y-2=0 $
Mi trovo con quel $ k $ nell'equazione della retta, come devo fare
Devo dare un valore arbritario?
Come devo comportarmi?
Ricavo due punti della retta$ kx+y-2=0 $
Per $ x=0 $ avrò $ y=2 $ punto $ A(0,2) $
Per $ x=1 $ avrò $ y=2-k $ punto $ A(1,2-k) $
Ricavo la retta passante per $ P $ e perpendicolare alla retta $ kx+y-2=0 $
$ y-1=1/k(x-2) $
$ x-ky+k-2=0 $
Penso posso scriverla anche
$ x-k(y-1)-2=0 $
Ricavo il punto di intersezione delle rette.
$ { ( kx+y-2=0 ),( x-ky+k-2=0 ):} $
$ { (y=2-k ),( x=2+k(1-k) ):} $
$ Int.(2+k(1-k),2-k) $
a) Ricavo la distanza $ bar(PI) $ .
$ bar(PI)=sqrt((2+k(1-k)-2)^2+(2-k-1)^2) $
$ bar(PI)=sqrt(k^2(1-k)^2+1-2k+k^2) $
b)O devo fare così?
$ bar(PI)=sqrt((2+k(1-k)-2)^2+(2-k-1)^2)=>bar(PI)=sqrt(4+k^2(1-k)^2-4+2k(1-k)+1-2k+k^2) $
E poi come devo continuare? Sempre se fin quì ho fatto tutto bene!
c)Oppure nel seguente punto:
$ bar(PI)=sqrt((2+k(1-k)-2)^2+(2-k-1)^2) $
Devo fare così?
$ bar(PI)=sqrt(5+4k-4k^2-2k^3+k^4) $
Sempre se ho fatto bene, come devo continuare?
Come avete visto, ho fatto varie prove, a),b),c), ma quale di queste ha i passaggi algebrici in modo corretto? Al di là della via corretta per risolvere la traccia che non sto riuscendo a trovare, algebricamente quali di questi passaggi a le regole matematiche rispettate? a),b),c)
Grazie mille!
Hai fatto un errore nel risolvere il sistema per trovare $I$; la giusta soluzione è $I((k+2)/(k^2+1), (k^2-2k+2)/(k^2+1))$. Ne risultano ovviamente modificati tutti i calcoli successivi che possono essere fatti in qualsiasi modo, meglio se raccogliendo a fattor comune tutto quello che si può.
Comunque, perché ti sei impelagato in calcoli così lunghi? Usa la tua formula iniziale, $d=(|ax_P+by_P+c|)/(sqrt(a^2+b^2))$ ed ottieni $d=(|2k+1-2|)/(sqrt(k^2+1))=(|2k-1|)/(sqrt(k^2+1))$; se vuoi, puoi poi distinguere fra i valori di $k$ maggiori o minori di $1/2$
Comunque, perché ti sei impelagato in calcoli così lunghi? Usa la tua formula iniziale, $d=(|ax_P+by_P+c|)/(sqrt(a^2+b^2))$ ed ottieni $d=(|2k+1-2|)/(sqrt(k^2+1))=(|2k-1|)/(sqrt(k^2+1))$; se vuoi, puoi poi distinguere fra i valori di $k$ maggiori o minori di $1/2$
"giammaria":
Hai fatto un errore nel risolvere il sistema per trovare $I$; la giusta soluzione è $I((k+2)/(k^2+1), (k^2-2k+2)/(k^2+1))$.
Ok, la prossima volta utilizzo la formula risolutiva.... Provo a capire dove ho sbagliato?
Allora...
$ { ( kx+y-2=0 ),( x-ky+k-2=0 ):} =>{ ( x=(2-y)/k ),( (2-y)/k-ky+k-2=0 ):} =>{ ( x=(2-y)/k ),( 2-y-k^2y+k^2-2k=0 ):} =>{ ( x=(2-y)/k ),( y=(k^2-2k+2)/(1+k^2) ):} $
$ { ( x=(2-((k^2-2k+2)/(1+k^2)))/k ),( y=(k^2-2k+2)/(1+k^2) ):} =>{ ( x=(k+2)/(k^2+1) ),( y=(k^2-2k+2)/(1+k^2) ):} $
Ok, questo errore è risolto!
Grazie mille!
Complimenti per aver saputo correggere l'errore, ma non facevi più in fretta a scrivere soltanto "ho rifatto i calcoli e trovato l'errore" ? Altra osservazione: le frazioni sono scomode e quando si può le si evita; avresti fatto meglio ad iniziare ricavando y dalla prima equazione oppure x dalla seconda.
"giammaria":
Complimenti per aver saputo correggere l'errore, ma non facevi più in fretta a scrivere soltanto "ho rifatto i calcoli e trovato l'errore" ? Altra osservazione: le frazioni sono scomode e quando si può le si evita; avresti fatto meglio ad iniziare ricavando y dalla prima equazione oppure x dalla seconda.
Ok, la prossima volta scrivo direttamente la conclusione!
Grazie mille!
Vorrei fare lo stesso i calcoli anche se lunghi, ma utilizzando le coordinate date dal punto di intersezione.....
$ { ( x=(k+2)/(k^2+1) ),( y=(k^2-2k+2)/(1+k^2) ):} $
Voglio vedere se riesco a risolvere tutti i passaggi algebrici, perchè sto provando da ore, e non riesco a venirne fuori!
Utilizzando la formula $ d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) $ , sarà:
$ d=sqrt(((k+2)/(k^2+1)-2)^2+((k^2-2k+2)/(1+k^2)-1)^2) $
$ d=sqrt((((k+2)-2(k^2+1))/(k^2+1))^2+(((k^2-2k+2)-1(1+k^2))/(1+k^2))^2) $
$ d=sqrt(((k+2-2k^2-2)/(k^2+1))^2+((k^2-2k+2-1-k^2)/(1+k^2))^2) $
$ d=sqrt(((k-2k^2)/(k^2+1))^2+((1-2k)/(k^2+1))^2) $
$ d=sqrt(k^2((1-2k)/(k^2+1))^2+((1-2k)/(k^2+1))^2) $
$ d=sqrt(((1-2k)/(k^2+1))^2*(k^2+1)) $
$ d=sqrt((1-2k)^2/(k^2+1)^2*(k^2+1)) $
$ d=sqrt((1-2k)^2/(k^2+1)) $
$ d=|1-2k|/sqrt(k^2+1) $
Ma perchè il risultato corretto ha al numeratore $ d=|2k-1|$ invece io ho ottenuto $ d=|1-2k|$
Qual'è quella proprietà che ti fa tirar fuori dalla radice un quadrato facendolo diventare con volare assoluto Esempio $ sqrt((a)^2)=>|a| $
PS. Ho scritto tutti i passaggi per far si che eventuali errori, si possano vedere!
Grazie mille!
$ { ( x=(k+2)/(k^2+1) ),( y=(k^2-2k+2)/(1+k^2) ):} $
Voglio vedere se riesco a risolvere tutti i passaggi algebrici, perchè sto provando da ore, e non riesco a venirne fuori!
Utilizzando la formula $ d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) $ , sarà:
$ d=sqrt(((k+2)/(k^2+1)-2)^2+((k^2-2k+2)/(1+k^2)-1)^2) $
$ d=sqrt((((k+2)-2(k^2+1))/(k^2+1))^2+(((k^2-2k+2)-1(1+k^2))/(1+k^2))^2) $
$ d=sqrt(((k+2-2k^2-2)/(k^2+1))^2+((k^2-2k+2-1-k^2)/(1+k^2))^2) $
$ d=sqrt(((k-2k^2)/(k^2+1))^2+((1-2k)/(k^2+1))^2) $
$ d=sqrt(k^2((1-2k)/(k^2+1))^2+((1-2k)/(k^2+1))^2) $
$ d=sqrt(((1-2k)/(k^2+1))^2*(k^2+1)) $
$ d=sqrt((1-2k)^2/(k^2+1)^2*(k^2+1)) $
$ d=sqrt((1-2k)^2/(k^2+1)) $
$ d=|1-2k|/sqrt(k^2+1) $
Ma perchè il risultato corretto ha al numeratore $ d=|2k-1|$ invece io ho ottenuto $ d=|1-2k|$
Qual'è quella proprietà che ti fa tirar fuori dalla radice un quadrato facendolo diventare con volare assoluto
Esempio $ sqrt((a)^2)=>|a| $ PS. Ho scritto tutti i passaggi per far si che eventuali errori, si possano vedere!
Grazie mille!
Esercizio 2
Calcolare la distanza $ d $ di ciascuno dei punti indicati dalla retta la cui equazione è scritta a fianco.
$ P(2,1) $ con retta $ kx+y-2=0 $ con $ k<0 $
Utilizzo la formula rapida $ d=|ax_p+by_p+c|/(sqrt(a^2+b^2)) $ , ma non sto riuscendo a capire bene come arrivare al risultato corretto...
.
Il primo dubbio è quando mi viene detto che $ k<0 $, quindi se sostituisco nella formula risolutiva, dovrebbe essere così:
$ d=|-2k+1-2|/(sqrt(k^2+1)) $
Altro dubbio è se ho $ k<0 $, al denominatore diventa $ sqrt(k^2+1) $ , mi spiego, se $ k<0 => -k$, quando va sotto la radice, diventa $ sqrt((-k)^2+1) =>sqrt(k^2+1)$, giusto?
Grazie mille!
Calcolare la distanza $ d $ di ciascuno dei punti indicati dalla retta la cui equazione è scritta a fianco.
$ P(2,1) $ con retta $ kx+y-2=0 $ con $ k<0 $
Utilizzo la formula rapida $ d=|ax_p+by_p+c|/(sqrt(a^2+b^2)) $ , ma non sto riuscendo a capire bene come arrivare al risultato corretto...
. Il primo dubbio è quando mi viene detto che $ k<0 $, quindi se sostituisco nella formula risolutiva, dovrebbe essere così:
$ d=|-2k+1-2|/(sqrt(k^2+1)) $
Altro dubbio è se ho $ k<0 $, al denominatore diventa $ sqrt(k^2+1) $ , mi spiego, se $ k<0 => -k$, quando va sotto la radice, diventa $ sqrt((-k)^2+1) =>sqrt(k^2+1)$, giusto?
Grazie mille!
Per il primo esercizio:
- se un numero cambia segno, il suo valore assoluto resta tale e quale: quindi $|1-2k|=|2k-1|$
- per definizione, il simbolo di radice quadrata indica il numero positivo che, elevato al quadrato, dà il radicando: ad esempio $sqrt((+3)^2)=sqrt 9=+3$ e $sqrt((-5)^2)=sqrt 25=+5$. Nel caso di $sqrt(a^2)$ non sappiamo il segno di $a$ e quindi non possiamo dire se il risultato sarà $a$ stesso o se occorre cambiarne il segno; per questo si mette il valore assoluto.
Per l'esercizio 2:
- attento ai segni: è $d=(|2k+1-2|) /(sqrt (k^2+1)) =(|2k-1|)/(sqrt (k^2+1)) $. Poiché $k<0$ la quantità nel valore assoluto è negativa e per averne il valore assoluto dobbiamo cambiarla di segno: ne consegue $d=(1-2k)/(sqrt (k^2+1)) $;
- l'ultima osservazione corrisponde ad un'idea giusta ma mal espressa: volevi dire che anche se $k$ cambia segno il quadrato non cambia e potevi formalizzarla scrivendo che se $k<0$, posto $k=-k_1$, si ha $k^2+1=k_1^2+1$ (non ho scritto la radice, ma se vuoi puoi metterla).
- se un numero cambia segno, il suo valore assoluto resta tale e quale: quindi $|1-2k|=|2k-1|$
- per definizione, il simbolo di radice quadrata indica il numero positivo che, elevato al quadrato, dà il radicando: ad esempio $sqrt((+3)^2)=sqrt 9=+3$ e $sqrt((-5)^2)=sqrt 25=+5$. Nel caso di $sqrt(a^2)$ non sappiamo il segno di $a$ e quindi non possiamo dire se il risultato sarà $a$ stesso o se occorre cambiarne il segno; per questo si mette il valore assoluto.
Per l'esercizio 2:
- attento ai segni: è $d=(|2k+1-2|) /(sqrt (k^2+1)) =(|2k-1|)/(sqrt (k^2+1)) $. Poiché $k<0$ la quantità nel valore assoluto è negativa e per averne il valore assoluto dobbiamo cambiarla di segno: ne consegue $d=(1-2k)/(sqrt (k^2+1)) $;
- l'ultima osservazione corrisponde ad un'idea giusta ma mal espressa: volevi dire che anche se $k$ cambia segno il quadrato non cambia e potevi formalizzarla scrivendo che se $k<0$, posto $k=-k_1$, si ha $k^2+1=k_1^2+1$ (non ho scritto la radice, ma se vuoi puoi metterla).
"giammaria":
Per l'esercizio 2:
- attento ai segni: è $d=(|2k+1-2|) /(sqrt (k^2+1)) =(|2k-1|)/(sqrt (k^2+1)) $. Poiché $k<0$ la quantità nel valore assoluto è negativa e per averne il valore assoluto dobbiamo cambiarla di segno: ne consegue $d=(1-2k)/(sqrt (k^2+1)) $;
Un attimo che voglio capire i passaggi che bisogna fare in questi casi....
Allora..., ho $k<0$, io ho scritto inizialmente questo:
$d=(|-2k+1-2|) /(sqrt (k^2+1)) $
proprio perchè ho $k<0$!
In attesa di comprende il concetto scritto sopra, vorrei capire questo:
"giammaria":
Poiché $k<0$ la quantità nel valore assoluto è negativa e per averne il valore assoluto dobbiamo cambiarla di segno: ne consegue $d=(1-2k)/(sqrt (k^2+1)) $;
Quali sono i passaggi per cambiare di segno?
$d=-|2k-1|/(sqrt (k^2+1))=>d=(1-2k)/(sqrt (k^2+1)) $
Intendi cambiare il segno in questo modo?
Grazie mille!
Salve Bad90,
prego, e sono contento per te!
Cordiali saluti
"Bad90":
Ho letto tutto ciò che è scritto nei link che hai postato
Sono riuscito a risolverli senza nessun problema!
Ti ringrazio!
prego, e sono contento per te!
Cordiali saluti
Il fatto che sia $k<0$ non ti autorizza a cambiarlo di segno: nella formula il suo segno resta invariato. Ti faccio un esempio: in un bilancio devo sommare i guadagni (che chiamo $a$ e $b$) ottenuti in due rami e il guadagno totale è $a+b$. Se il primo ramo avesse avuto un guadagno di 1000 ($a=1000$) e il secondo una perdita di 300 ($b=-300$) la formula non cambierebbe e il guadagno totale sarebbe sempre $a+b=1000+(-300)=700$. Se proprio ti dà fastidio ragionare con numeri negativi (in qualche caso a me ne dà) allora fai la sostituzione $k=-h$ ed $h$ sarà positivo.
Per l'altra domanda, non ci sono passaggi intermedi: il valore assoluto di un numero negativo è uguale a quel numero col segno cambiato. Cambiare segno significa mettere un meno davanti, quindi se $a<0$ si ha $|a|=-a$. Puoi controllare questa formula con un qualsiasi numero negativo: ad esempio, se $a=-5$ ottengo $|-5|=-(-5)=5$
Per l'altra domanda, non ci sono passaggi intermedi: il valore assoluto di un numero negativo è uguale a quel numero col segno cambiato. Cambiare segno significa mettere un meno davanti, quindi se $a<0$ si ha $|a|=-a$. Puoi controllare questa formula con un qualsiasi numero negativo: ad esempio, se $a=-5$ ottengo $|-5|=-(-5)=5$
"giammaria":
Per il primo esercizio:
- se un numero cambia segno, il suo valore assoluto resta tale e quale: quindi $|1-2k|=|2k-1|$
Scusami se continuo su questo concetto del valore assoluto, ma sono ancora un po confuso
! Come può essere che $|1-2k|=|2k-1|$
Non sto capendo questa uguaglianza!
Prova a mettere al posto di k un qualsiasi numero, ad esempio 3: ottieni $|1-6|=|6-1|=>|-5|=|5|=>5=5$.
Oppure vediamola così:
$sqrt(1-4k+4k^2)= sqrt((1-2k)^2)=|1-2k|$.
Però avrei potuto anche fare:
$sqrt(1-4k+4k^2)= sqrt(4k^2-4k+1)=sqrt((2k-1)^2)=|2k-1|$
e ovviamente i due risultati devono essere uguali.
Ripeto quello che ho già detto: se qualcosa cambia di segno, questo non modifica il suo valore assouto.
Oppure vediamola così:
$sqrt(1-4k+4k^2)= sqrt((1-2k)^2)=|1-2k|$.
Però avrei potuto anche fare:
$sqrt(1-4k+4k^2)= sqrt(4k^2-4k+1)=sqrt((2k-1)^2)=|2k-1|$
e ovviamente i due risultati devono essere uguali.
Ripeto quello che ho già detto: se qualcosa cambia di segno, questo non modifica il suo valore assouto.
"giammaria":
Prova a mettere al posto di k un qualsiasi numero, ad esempio 3: ottieni $|1-6|=|6-1|=>|-5|=|5|=>5=5$.
Oppure vediamola così:
$sqrt(1-4k+4k^2)= sqrt((1-2k)^2)=|1-2k|$.
Però avrei potuto anche fare:
$sqrt(1-4k+4k^2)= sqrt(4k^2-4k+1)=sqrt((2k-1)^2)=|2k-1|$
e ovviamente i due risultati devono essere uguali.
Ripeto quello che ho già detto: se qualcosa cambia di segno, questo non modifica il suo valore assouto.
Adesso ho compreso perfettamente il concetto
!Ti ringrazio!
Esercizio 3
Determinare i punti $ P $ della retta di equazione $ x=2 $ che distano di un segmento di misura $ 5 $ dalla retta di equazione $ y=2x+1 $.
Ho fatto il disegno ed ho visto che si tratta di avere un triangolo rettangolo, dove il segmento di lunghezza $ 5 $ è l'altezza del triangolo, ma come devo fare?
Ho pensato di utilizzare la seguente formula:
$ d=|ax+by+c|/(sqrt(a^2+b^2)) $
Ci provo, ...
Sapendo che la distanza $ 5 $ può essere $ d=5 $ e la retta è $ 2x-y+1=0 $, allora:
$ 5=|2x-1y+1|/(sqrt(4+1)) =>5=|2x-1y+1|/(sqrt(5)) $
e se non erro per il concetto di valore assoluto che porta sempre un numero positivo, posso anche scrivere:
$5=|2x-y+1|/(sqrt(5))=>5=(2x+y+1)/(sqrt(5))$ oppure in questo caso deve restare $5=|2x-y+1|/(sqrt(5)) $ perchè ho delle incognite? Questo è un dubbio che voglio chiarire..., comunque continuo a cercare di risolverlo! 
Ovviamente la coordinata $ x $ del punto che mi interessa è $ x=5 $ , bene, ma la $ y $ resta una incognita, e per questo gli attribuisco una lettera che non mi confonde, la chiamo $ t $, quindi il punto che mi interessa ha coordinate $ P(2,t) $, quindi
$5=|2*2-t+1|/(sqrt(5))=>5=|5-t|/(sqrt(5))$
$|5-t|/(sqrt(5))=5=>5-t=5*(sqrt(5))$
$-t=5*(sqrt(5))-5=>t=5-5*(sqrt(5))$
Non sono proprio sicuro che questi passaggi siano corretti, ma è l'unica cosa che mi viene in mente!
Alla fine avrò:
$ t=5(1-sqrt(5)) $
Ma perchè il testo mi dice che è $ t=5(1+-sqrt(5)) $ Dove ho sbagliato?
Grazie mille!
Determinare i punti $ P $ della retta di equazione $ x=2 $ che distano di un segmento di misura $ 5 $ dalla retta di equazione $ y=2x+1 $.
Ho fatto il disegno ed ho visto che si tratta di avere un triangolo rettangolo, dove il segmento di lunghezza $ 5 $ è l'altezza del triangolo, ma come devo fare?
Ho pensato di utilizzare la seguente formula:
$ d=|ax+by+c|/(sqrt(a^2+b^2)) $
Ci provo,
... Sapendo che la distanza $ 5 $ può essere $ d=5 $ e la retta è $ 2x-y+1=0 $, allora:
$ 5=|2x-1y+1|/(sqrt(4+1)) =>5=|2x-1y+1|/(sqrt(5)) $
e se non erro per il concetto di valore assoluto che porta sempre un numero positivo, posso anche scrivere:
$5=|2x-y+1|/(sqrt(5))=>5=(2x+y+1)/(sqrt(5))$ oppure in questo caso deve restare $5=|2x-y+1|/(sqrt(5)) $ perchè ho delle incognite?
Questo è un dubbio che voglio chiarire..., comunque continuo a cercare di risolverlo! Ovviamente la coordinata $ x $ del punto che mi interessa è $ x=5 $ , bene, ma la $ y $ resta una incognita, e per questo gli attribuisco una lettera che non mi confonde, la chiamo $ t $, quindi il punto che mi interessa ha coordinate $ P(2,t) $, quindi
$5=|2*2-t+1|/(sqrt(5))=>5=|5-t|/(sqrt(5))$
$|5-t|/(sqrt(5))=5=>5-t=5*(sqrt(5))$
$-t=5*(sqrt(5))-5=>t=5-5*(sqrt(5))$
Non sono proprio sicuro che questi passaggi siano corretti, ma è l'unica cosa che mi viene in mente!
Alla fine avrò:
$ t=5(1-sqrt(5)) $
Ma perchè il testo mi dice che è $ t=5(1+-sqrt(5)) $
Dove ho sbagliato? Grazie mille!
Quando calcoli la distanza di un punto da una retta devi sostituire ad x, y le coordinate del punto; inizialmente tu non l'hai fatto e per questo hai delle incognite; l'hai poi fatto dopo. C'è l'abitudine di dire che il punto è $P(x,y)$ ma questo può effettivamente ingenerare confusione in chi non è molto pratico ed hai fatto molto bene ad usare altre lettere e a porre $P(2,t)$.
Quanto al resto, è vero che il risultato di un valore assoluto è sempre positivo (o nullo) ma questo non significa che sia positivo anche il numero di cui calcoli il valore assoluto: ad esempio, se hai $|x|=5$ ne deduci $x=+-5$ e non il solo $x=5$. E' invece impossibile l'equazione $|x|=-2$
Analogamente, da $|5-t|=5sqrt5$ deduci $5-t=+-5 sqrt5$.
Quanto al resto, è vero che il risultato di un valore assoluto è sempre positivo (o nullo) ma questo non significa che sia positivo anche il numero di cui calcoli il valore assoluto: ad esempio, se hai $|x|=5$ ne deduci $x=+-5$ e non il solo $x=5$. E' invece impossibile l'equazione $|x|=-2$
Analogamente, da $|5-t|=5sqrt5$ deduci $5-t=+-5 sqrt5$.
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