Distanza di un punto da una retta
Sto cercando di capire la dimostrazione della formula:
$ d=|axp+byp+c|/sqrt(a^2+b^2) $
Sto trovando difficoltà nel capire, in questo punto.....
Se ho due triangoli simili $ PHD $ e $ NDM $, vale la proporzione:
$ PH:ND=PM:MD $
Bene, per la proporzione non ci sono dubbi....., ma poi non capisco nel seguente passaggio, perchè vengono utilizzati valori assoluti, ecco quì:
$ PH:|xn-xd|=|yp-ym|:MD $
$ d=|axp+byp+c|/sqrt(a^2+b^2) $
Sto trovando difficoltà nel capire, in questo punto.....
Se ho due triangoli simili $ PHD $ e $ NDM $, vale la proporzione:
$ PH:ND=PM:MD $
Bene, per la proporzione non ci sono dubbi....., ma poi non capisco nel seguente passaggio, perchè vengono utilizzati valori assoluti, ecco quì:
$ PH:|xn-xd|=|yp-ym|:MD $
Risposte
Esercizio 9
Trovare le equazioni delle altezze del triangolo di vertici $ A(6,0);B(-6,0);C(-1,4) $
Non sto capendo cosa devo fare, devo spezzettare la figura, questo è chiaro, ma come
Sono riuscito a risolvere un' altezza, vedendo che il triangolo è poggiato sull'asse $ x $, con il lato $ AB $ ho pensato di trovare l'equazione della retta passante per $ C $ e perpendicolare ad $ AB $. Ovviamente l'equazione del lato $ AB $, corrisponde con l'asse $ x $, quindi la sua equazione è $ y=0 $! Considerando che la perpendicolare alla retta $ y=0 $ passante per $ C $ è parallela all'asse $ y $ , non potrò utilizzare la formula risolutiva......., quindi vedendo la figura, dico che l'altezza corrisponde a equazione $ x=-1 $ , fin quì tutto ok, ma che altezze devo ricavare ancora?
O non è chiara la traccia oppure sono io che non sto capendo la traccia!
Grazie mille!
Trovare le equazioni delle altezze del triangolo di vertici $ A(6,0);B(-6,0);C(-1,4) $
Non sto capendo cosa devo fare, devo spezzettare la figura, questo è chiaro, ma come
Sono riuscito a risolvere un' altezza, vedendo che il triangolo è poggiato sull'asse $ x $, con il lato $ AB $ ho pensato di trovare l'equazione della retta passante per $ C $ e perpendicolare ad $ AB $. Ovviamente l'equazione del lato $ AB $, corrisponde con l'asse $ x $, quindi la sua equazione è $ y=0 $! Considerando che la perpendicolare alla retta $ y=0 $ passante per $ C $ è parallela all'asse $ y $ , non potrò utilizzare la formula risolutiva......., quindi vedendo la figura, dico che l'altezza corrisponde a equazione $ x=-1 $ , fin quì tutto ok, ma che altezze devo ricavare ancora?
O non è chiara la traccia oppure sono io che non sto capendo la traccia!
Grazie mille!
Vediamo come trovare l'altezza relativa ad AC, intendendo con questa frase l'equazione della retta su cui giace questa altezza. E' la perpendicolare ad AC passante per B quindi:
- calcoli la pendenza di AC con la formula $m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$
- calcoli la pendenza della perpendicolare con $m_1=-1/m$
- trovi l'equazione della retta per B con pendenza $m_1$; hai usato di recente la formula necessaria.
In modo analogo trovi l'altezza relativa a BC.
- calcoli la pendenza di AC con la formula $m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$
- calcoli la pendenza della perpendicolare con $m_1=-1/m$
- trovi l'equazione della retta per B con pendenza $m_1$; hai usato di recente la formula necessaria.
In modo analogo trovi l'altezza relativa a BC.
"giammaria":
Vediamo come trovare l'altezza relativa ad AC, intendendo con questa frase l'equazione della retta su cui giace questa altezza. E' la perpendicolare ad AC passante per B quindi:
- calcoli la pendenza di AC con la formula $m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$
- calcoli la pendenza della perpendicolare con $m_1=-1/m$
- trovi l'equazione della retta per B con pendenza $m_1$; hai usato di recente la formula necessaria.
In modo analogo trovi l'altezza relativa a BC.
Ok, problema risolto!
Grazie mille!
Esercizio 10
Trovare il punto dell'asse x che e' equidistante dai due punti $ A(-3,1);B(9,5) $ .
Sara' banale, ma non sto capendo la soluzione.
Trovare il punto dell'asse x che e' equidistante dai due punti $ A(-3,1);B(9,5) $ .
Sara' banale, ma non sto capendo la soluzione.
Un generico punto $P$ dell'asse $x$ ha coordinate $(a,0)$, con $a in RR$.
Deve valere $d(AP)= d(PB)$
Deve valere $d(AP)= d(PB)$
"Gi8":
Un generico punto $P$ dell'asse $x$ ha coordinate $(a,0)$, con $a in RR$.
Deve valere $d(AP)= d(PB)$
Problema risolto
E a pensare che ne avevo fatti di questi tipi di esercizi, sarà lo stress!
Esercizio 11
Trovare il punto della bisettrice del primo e terzo quadrante che è equidistante dai punti $ A(-3,4);B(1,6) $ .
Sono arrivato alla conclusione, ma non sono sicuro, non vorrei che è stata una casualità..
Allora....
$ bar(AP)^2=bar(PB)^2 $
Il punto $ P(a,b) $ quindi arrivo direttamente alla conclusione:
$ 8a+4b-12=0 $
Se do ad $ a=1 $ avrò $ b=1 $ , quindi la soluzione è $ (1,1) $.
Ovviamente la bisettrice ha equazione $ x=y $ quindi posso dare ad $ a $ oppure $ b $ , qualsiasi valore, tanto è sempre lo stesso, giusto?
Quindi il risultato del testo sarebbe giusto anche se avessimo dato es. $ a=4 $
Trovare il punto della bisettrice del primo e terzo quadrante che è equidistante dai punti $ A(-3,4);B(1,6) $ .
Sono arrivato alla conclusione, ma non sono sicuro, non vorrei che è stata una casualità..
Allora....
$ bar(AP)^2=bar(PB)^2 $
Il punto $ P(a,b) $ quindi arrivo direttamente alla conclusione:
$ 8a+4b-12=0 $
Se do ad $ a=1 $ avrò $ b=1 $ , quindi la soluzione è $ (1,1) $.
Ovviamente la bisettrice ha equazione $ x=y $ quindi posso dare ad $ a $ oppure $ b $ , qualsiasi valore, tanto è sempre lo stesso, giusto?
Quindi il risultato del testo sarebbe giusto anche se avessimo dato es. $ a=4 $
Il metodo più rapido era dire che siccome P sta sulla bisettrice le sue coordinate sono $P(a,a)$. In alternativa, puoi dirlo dopo: poiché $a$ e $b$ devono essere uguali la tua equazione diventa
$8a+4a-12=0$
Il tuo $a=4$ non può essere giusto perché, a seconda del valore che dai a $b$, risulta falsa o $b=a$ (e allora P non sta sulla bisettrice) o $8a+4b-12=0$ (e allora P non è equidistante da A e B).
$8a+4a-12=0$
Il tuo $a=4$ non può essere giusto perché, a seconda del valore che dai a $b$, risulta falsa o $b=a$ (e allora P non sta sulla bisettrice) o $8a+4b-12=0$ (e allora P non è equidistante da A e B).
Esercizio 12
Trovare il punto della retta $ y=x/2+5 $ che è equidistante dai due punti $ A(0,2) $ e $ B(6,4) $ .
Mi sono calcolato la retta passante per $ AB $ , mi sono calcolato il punto medio, di $ AB $ e mi sono ricavato la retta perpendicolare ad $ AB $.
Il unto di intersezione della retta perpendicolare ad $ AB $ avente equazione $ 3x+y-12=0 $ , con la retta $ y=x/2+5 $, è il punto che ci interessa, cioè $ P(2,6) $ .
Se utilizzo la seguente equazione
$ bar(AP)^2=bar(PB)^2 $
Non riesco ad arrivare alla soluzione, perchè?
Dove sto sbagliando?
In alternativa alla mia via risolutiva, cosa posso fare?
Grazie mille!
Trovare il punto della retta $ y=x/2+5 $ che è equidistante dai due punti $ A(0,2) $ e $ B(6,4) $ .
Mi sono calcolato la retta passante per $ AB $ , mi sono calcolato il punto medio, di $ AB $ e mi sono ricavato la retta perpendicolare ad $ AB $.
Il unto di intersezione della retta perpendicolare ad $ AB $ avente equazione $ 3x+y-12=0 $ , con la retta $ y=x/2+5 $, è il punto che ci interessa, cioè $ P(2,6) $ .
Se utilizzo la seguente equazione
$ bar(AP)^2=bar(PB)^2 $
Non riesco ad arrivare alla soluzione, perchè?
Dove sto sbagliando?
In alternativa alla mia via risolutiva, cosa posso fare?
Grazie mille!
Probabilmente stai sbagliando i calcoli. Io ho posto $P(u, u/2+5)$; imponendo poi $PA^2=PB^2$ ho ottenuto la giusta soluzione.
Oppure potevi porre $P(u,v)$ e poi fare sistema chiedendo C che P stesse sulla retta e che fosse equidistante da A, B:
${(v=u/2+5),((u-0)^2+(v-2)^2=(u-6)^2+(v-4)^2):}$
Oppure potevi porre $P(u,v)$ e poi fare sistema chiedendo C che P stesse sulla retta e che fosse equidistante da A, B:
${(v=u/2+5),((u-0)^2+(v-2)^2=(u-6)^2+(v-4)^2):}$
"giammaria":
Probabilmente stai sbagliando i calcoli. Io ho posto $P(u, u/2+5)$
Io stavo sbagliando perchè impostavo il punto $P(x=2y-5, y=x/2+5)$!
Ma perchè se imposto il punto $P(x=2y-5, y=x/2+5)$, le cose cambiano?
Grazie mille!
Devi scegliere una sola incognita, o $x$ o $y$: tu hai fatto come il cane che insegue la sua coda. Potevi impostare il punto come ho fatto io oppure come $P(2y-5, y)$.
Hai ragione 
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