Distanza di un punto da una retta
Sto cercando di capire la dimostrazione della formula:
$ d=|axp+byp+c|/sqrt(a^2+b^2) $
Sto trovando difficoltà nel capire, in questo punto.....
Se ho due triangoli simili $ PHD $ e $ NDM $, vale la proporzione:
$ PH:ND=PM:MD $
Bene, per la proporzione non ci sono dubbi....., ma poi non capisco nel seguente passaggio, perchè vengono utilizzati valori assoluti, ecco quì:
$ PH:|xn-xd|=|yp-ym|:MD $
$ d=|axp+byp+c|/sqrt(a^2+b^2) $
Sto trovando difficoltà nel capire, in questo punto.....
Se ho due triangoli simili $ PHD $ e $ NDM $, vale la proporzione:
$ PH:ND=PM:MD $
Bene, per la proporzione non ci sono dubbi....., ma poi non capisco nel seguente passaggio, perchè vengono utilizzati valori assoluti, ecco quì:
$ PH:|xn-xd|=|yp-ym|:MD $
Risposte
E quindi $|5-t|=+-5sqrt(5)$ segue questo passaggio 
$5-t=+-5sqrt(5)=>-t=-5+-5sqrt(5)$ e quindi alla fine
$t=5+-5sqrt(5)$
$t=5(1+-sqrt(5))$
Vanno bene questi passaggi fatti così?
Grazie mille!
$5-t=+-5sqrt(5)=>-t=-5+-5sqrt(5)$ e quindi alla fine
$t=5+-5sqrt(5)$
$t=5(1+-sqrt(5))$
Vanno bene questi passaggi fatti così?
Grazie mille!
Benissimo.
Esercizio 4
Fra le rette di equazione $ 2x-y+k=0 $ , individuare quelle che hanno distanza $ sqrt(5) $ dal punto $ A(2,2) $.
Allora una retta sono riuscito a trovarla.....
$ d=|ax+by+c|/(sqrt(a^2+b^2)) $
$ sqrt(5)=|4-2+k|/(sqrt(5))=>|k+2|= 5=>k=3$
E l'altra retta come faccio a ricavarla?
Ho pensato a dire che se la distanza $ d_1=sqrt(5) $ allora senza fare troppi calcoli il punto simmetrico è $ A(2,2) $, possiamo dunque pensare che il punto $ d_2=-sqrt(5) $, quindi:
$ -sqrt(5)=|4-2+k|/(sqrt(5))=>|k+2|= -5$
Solo che dei dubbi perchè un valore assoluto non potrà mai dare un risultato negativo, e quindi avrei dovuto scrivere già nella formula del $ d_1 $ che doveva essere $|k+2|= +-5$, giusto?
Resta il fatto che la seconda retta è $k= -7$, il risultato è giusto, ma ho avuto qualche incertezza, mi sono aiutato con il disegno e vedendo che la seconda retta si trovava su dei punti simmetrici rispetto ad A e alla prima retta, sono arrivato al risultato! Spero non sia una casualità, ma avendo fatto quei ragionamenti sul valore assoluto $ +- $ .....
Fra le rette di equazione $ 2x-y+k=0 $ , individuare quelle che hanno distanza $ sqrt(5) $ dal punto $ A(2,2) $.
Allora una retta sono riuscito a trovarla.....
$ d=|ax+by+c|/(sqrt(a^2+b^2)) $
$ sqrt(5)=|4-2+k|/(sqrt(5))=>|k+2|= 5=>k=3$
E l'altra retta come faccio a ricavarla?
Ho pensato a dire che se la distanza $ d_1=sqrt(5) $ allora senza fare troppi calcoli il punto simmetrico è $ A(2,2) $, possiamo dunque pensare che il punto $ d_2=-sqrt(5) $, quindi:
$ -sqrt(5)=|4-2+k|/(sqrt(5))=>|k+2|= -5$
Solo che dei dubbi perchè un valore assoluto non potrà mai dare un risultato negativo, e quindi avrei dovuto scrivere già nella formula del $ d_1 $ che doveva essere $|k+2|= +-5$, giusto?
Resta il fatto che la seconda retta è $k= -7$, il risultato è giusto, ma ho avuto qualche incertezza, mi sono aiutato con il disegno e vedendo che la seconda retta si trovava su dei punti simmetrici rispetto ad A e alla prima retta, sono arrivato al risultato! Spero non sia una casualità, ma avendo fatto quei ragionamenti sul valore assoluto $ +- $ .....
Esercizio 5
Trovare le equazioni delle rette che passano per il punto $ P(5,2) $ ed hanno distanza 2 dall'origine $ O $ degli assi cartesiani.
Non sto riuscendo a venirne a capo!
Sto cercando una possibile soluzione, ecco l'immagine:
a)Ho ricavato la retta che passa per i punti $ C^^P $ che ha equazione $ 2x-5y=0 $.
b)Ho ricavato la retta perpendicolare alla retta $ 2x-5y=0 $ passante per $ C(0,0) $ avente equazione $ y=-5/2x $
Ho pensato di ricavare la retta che passa per $ D^^P $ che è parallela alla retta $ x $ ma essendo una retta parallela
ad uno degli assi, non penso si possa utilizzare la formula $ (y-y_1)/(y_2-y_1)=(x-x_1)/(x_2-x_1) $, quindi non sto
riuscendo, se $ D(0,2) ^^P(5,2)$, qual'è il metodo per ricavare la retta passante per questi due punti ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Perchè se riesco a ricavare la retta passante per $ D(0,2) ^^P(5,2)$, potrò ricavare il punto di intersezione con $ 2x-5y=0 $
, che avrà distanza $ d=2 $ come viene detto nella traccia !
Ho pensato a questa possibile via, anche se penso sia troppo laboriosa e lunga, quale altra via si può utilizzare
Ho fatto anche la prova con $ d=|ax+by+c|/(sqrt(a^2+b^2)) $ , ma non sono riuscito ad utilizzarla nel modo dovuto!
Trovare le equazioni delle rette che passano per il punto $ P(5,2) $ ed hanno distanza 2 dall'origine $ O $ degli assi cartesiani.
Non sto riuscendo a venirne a capo!
Sto cercando una possibile soluzione, ecco l'immagine:
a)Ho ricavato la retta che passa per i punti $ C^^P $ che ha equazione $ 2x-5y=0 $.
b)Ho ricavato la retta perpendicolare alla retta $ 2x-5y=0 $ passante per $ C(0,0) $ avente equazione $ y=-5/2x $
Ho pensato di ricavare la retta che passa per $ D^^P $ che è parallela alla retta $ x $ ma essendo una retta parallela
ad uno degli assi, non penso si possa utilizzare la formula $ (y-y_1)/(y_2-y_1)=(x-x_1)/(x_2-x_1) $, quindi non sto
riuscendo, se $ D(0,2) ^^P(5,2)$, qual'è il metodo per ricavare la retta passante per questi due punti
Perchè se riesco a ricavare la retta passante per $ D(0,2) ^^P(5,2)$, potrò ricavare il punto di intersezione con $ 2x-5y=0 $
, che avrà distanza $ d=2 $ come viene detto nella traccia ! Ho pensato a questa possibile via, anche se penso sia troppo laboriosa e lunga, quale altra via si può utilizzare
Ho fatto anche la prova con $ d=|ax+by+c|/(sqrt(a^2+b^2)) $ , ma non sono riuscito ad utilizzarla nel modo dovuto!
Esercizio 4
Sei vicino alla soluzione, ma è sbagliato scrivere $|k+2|=+-5$ perché un valore assoluto può essere uguale solo ad un numero positivo. E' invece giusto $k+2=+-5$, da cui ricavi le due soluzioni.
Esercizio 5
La generica retta passante per P(5,2) e non parallela all'asse y ha equazione $y-2=m(x-5)=>-mx+y+5m-2=0$; la distanza dall'origine è 2 se (formula della distanza retta-punto):
$(|5m-2|)/ (sqrt(m^2+1)) =2=>|5m-2|=2sqrt(m^2+1)$
I due membri sono entrambi positivi, quindi puoi elevare a quadrato senza precauzioni né necessità di verifiche ottenendo
$(5m-2)^2=4(m^2+1)$
Il resto non dovrebbe darti difficoltà.
Resta da esaminare la retta parallela all'asse y (esclusa dal calcolo predente): ha equazione $x=5$ ed incontra l'asse x nel punto A(5,0): la sua distanza dall'origine è $OA=5$ e quindi non è soluzione del problema.
Sei vicino alla soluzione, ma è sbagliato scrivere $|k+2|=+-5$ perché un valore assoluto può essere uguale solo ad un numero positivo. E' invece giusto $k+2=+-5$, da cui ricavi le due soluzioni.
Esercizio 5
La generica retta passante per P(5,2) e non parallela all'asse y ha equazione $y-2=m(x-5)=>-mx+y+5m-2=0$; la distanza dall'origine è 2 se (formula della distanza retta-punto):
$(|5m-2|)/ (sqrt(m^2+1)) =2=>|5m-2|=2sqrt(m^2+1)$
I due membri sono entrambi positivi, quindi puoi elevare a quadrato senza precauzioni né necessità di verifiche ottenendo
$(5m-2)^2=4(m^2+1)$
Il resto non dovrebbe darti difficoltà.
Resta da esaminare la retta parallela all'asse y (esclusa dal calcolo predente): ha equazione $x=5$ ed incontra l'asse x nel punto A(5,0): la sua distanza dall'origine è $OA=5$ e quindi non è soluzione del problema.
Non sto capendo come fa a diventare $ -mx+5m+y-2=0 $ cosi' $ |5m-2| $ , come hai fatto ad annullare $ -mx+y $ ?
"Bad90":Qual è la formula della distanza tra punto e retta? E'...
Non sto capendo come fa a diventare $ -mx+5m+y-2=0 $ cosi' $ |5m-2| $ , come hai fatto ad annullare $ -mx+y $ ?
In questo caso la retta è $-m x+y+5m-2=0$ e il punto è $O(0,0)$.
Esercizio 6
Trovare le equazioni delle rette uscenti dall'origine $O $ degli assi coordinati che hanno distanza $5 $ dal punto $ A(1,-7) $ .
Non sto riuscendo in questi esercizi, il mio testo richiede troppo valore aggiunto che mi manca! Come devo fare?
Trovare le equazioni delle rette uscenti dall'origine $O $ degli assi coordinati che hanno distanza $5 $ dal punto $ A(1,-7) $ .
Non sto riuscendo in questi esercizi, il mio testo richiede troppo valore aggiunto che mi manca! Come devo fare?
Facendo un passo alla volta si arriva alla soluzione.
Quando il testo dice "rette uscenti dall'origine $O$" cosa significa?
Significa rette che passano per il punto $O(0,0)$.
E qual è la formula del fascio di rette passanti per un punto?
Quando il testo dice "rette uscenti dall'origine $O$" cosa significa?
Significa rette che passano per il punto $O(0,0)$.
E qual è la formula del fascio di rette passanti per un punto?
Inizia con qualche buona domanda(da porti senza ausili esterni,la prox volta..):
qual'è(se escludiamo l'asse delle ordinate,che comunque non risolverebbe il tuo problema..)
l'equazione della retta generica passante per l'origine?
E quanti parametri contiene?
Quante condizioni dovrai allora,tirandole fuori dalle condizioni implicitamente o esplicitamente richieste dal problema, impostare e risolvere su essi(o esso..)?
Saluti dal web.
qual'è(se escludiamo l'asse delle ordinate,che comunque non risolverebbe il tuo problema..)
l'equazione della retta generica passante per l'origine?
E quanti parametri contiene?
Quante condizioni dovrai allora,tirandole fuori dalle condizioni implicitamente o esplicitamente richieste dal problema, impostare e risolvere su essi(o esso..)?
Saluti dal web.
"giammaria":
Esercizio 5
La generica retta passante per P(5,2) e non parallela all'asse y ha equazione $y-2=m(x-5)=>-mx+y+5m-2=0$; la distanza dall'origine è 2 se (formula della distanza retta-punto):
$(|5m-2|)/ (sqrt(m^2+1)) =2=>|5m-2|=2sqrt(m^2+1)$
I due membri sono entrambi positivi, quindi puoi elevare a quadrato senza precauzioni né necessità di verifiche ottenendo
$(5m-2)^2=4(m^2+1)$
Il resto non dovrebbe darti difficoltà.
Resta da esaminare la retta parallela all'asse y (esclusa dal calcolo predente): ha equazione $x=5$ ed incontra l'asse x nel punto A(5,0): la sua distanza dall'origine è $OA=5$ e quindi non è soluzione del problema.
Scusami, continuando i calcoli ho ottenuto $ 21m^2-20m=0=>m(21m-20)=0 $ ,quindi due valori di $ m=0;m=20/21 $ , li ho utilizzati nell'equazione ricavata all'inizio e sono arrivato ad i risultati corretti!
Quindi era questo lo scopo dell'esrcizio?
Grazie mille.
La formula per la distanza fra punto e retta è quella che hai usato finora: se il punto è $P(u,v)$ e retta è $ax+by+c=0$ la distanza è
$d=(|au+bv+c|)/(sqrt(a^2+b^2))$
Nel nostro caso il punto è O(0,0) quindi alcuni addendi valgono zero.
Per l'esercizio 6 segui i suggerimenti ricevuti: i concetti e le formule sono gli stessi del 5.
$d=(|au+bv+c|)/(sqrt(a^2+b^2))$
Nel nostro caso il punto è O(0,0) quindi alcuni addendi valgono zero.
Per l'esercizio 6 segui i suggerimenti ricevuti: i concetti e le formule sono gli stessi del 5.
"Gi8":
Facendo un passo alla volta si arriva alla soluzione.
Quando il testo dice "rette uscenti dall'origine $O$" cosa significa?
Significa rette che passano per il punto $O(0,0)$.
E qual è la formula del fascio di rette passanti per un punto?
La formula e' $ y=mx $
"giammaria":
Per l'esercizio 6 segui i suggerimenti ricevuti: i concetti e le formule sono gli stessi del 5.
Allora, l'equazione dela retta che passa per $ O(0,0) $ e' $ y-0=m(x-0) $ che sara' $ -mx+y=0 $ .
Il punto che ci interessa e' $ A(1,-7) $ , quindi dalla formula della retta avente distanza da un punto, avro:
$ 5=|-m-7|/(sqrt(m^2+1)) =>|-m-7|=5(sqrt(m^2+1))$
Scusami, ma in questo caso $ |-m-7|=m+7 $
Giusto? Perchè solo se faccio così: $ (m+7)^2=25(m^2+1) $
Riesco ad ottenere i risultati giusti! alla fine, un valore assoluto dara' sempre un risultato positivo, ma anche se non conosco il valore di $ m $ , so che comunque vada, sarà positivo! Giusto?
Posso scrivere dunque il primo membro in questo modo?
$ (m+7)^2=25(m^2+1) $
Giuro
che questo valore assoluto quando ha delle incognite, mi crea sempre confusione !E adesso come faccio a continuare?
"Bad90":
... in questo caso $ |-m-7|=m+7 $. Giusto? Perchè solo se faccio così:
$ (m+7)^2=25(m^2+1) $
Riesco ad ottenere i risultati giusti!
Il valore assoluto di un numero non cambia cambiando il suo segno, quindi $|-m-7|=|m+7|$: devi mettere il valore assoluto anche a secondo membro. Questo cambiamento è comodo ma non indispensabile: potevi anche fare
$(-m-7)^2=(-m)^2+2*(-m)*(-7)+(-7)^2=m^2+14m+49$
Hai usato la formula per la retta passante per un punto generico ed è giusto ma potevi anche usare quella della retta per l'origine con lo stesso risultato: $y=mx=>-mx+y=0$.
Per continuare ti basta fare i calcoli: dov'è la difficoltà?
"giammaria":
Per continuare ti basta fare i calcoli: dov'è la difficoltà?
Si ho fatto tutto, l'unico dubbio era li, nei segni! Ho risolto l'equazione di secondo grado:
$ 24m^2-14m+24=0 $
Utilizzando
$ Delta=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a) $
avendo ottenuto $ m_1=4/3 $ ; $ m_2=-3/4 $ , li ho sostituiti nell'equazione della retta iniziale $ y=mx $ , ed ho ottenuto i risultati corretti:
$ 4x-3y=0 $ ; $ 3x+4y=0 $
Va bene così?
Esercizio 7
Trovare le rette parallele alla retta di equazione $ x+2y=0 $ che hanno distanza $ 2sqrt(5) $ dal punto $ A(-1,-1) $ .
Sostanzialmente, penso di dover trovare la quantità $ q $ che determina la distanza da due rette!
Dunque:
Equazione di partenza data dalla traccia $ x+2y=0 $ a me interessa il $ q $ che è una incognita, quindi $ x+2y+q=0 $, segue
$ 2sqrt(5)=|q-3|/(sqrt(5)) $
$ |q-3|=10 $
che sarà
$ q-3=+-10 $
Quindi $ q=13 $ e $ q=-7 $ allora retta $ a $ ) $ x+2y=7 $ e retta $ b $ ) $ x+2y=-13 $
A dire il vero mi ero impelagato in un bel caos, non mi ero reso conto della facilità dell'esercizio! Poi ho corretto tutto e ho preferito lasciare nel thread solo gli step giusti!
Grazie mille!
Trovare le rette parallele alla retta di equazione $ x+2y=0 $ che hanno distanza $ 2sqrt(5) $ dal punto $ A(-1,-1) $ .
Sostanzialmente, penso di dover trovare la quantità $ q $ che determina la distanza da due rette!
Dunque:
Equazione di partenza data dalla traccia $ x+2y=0 $ a me interessa il $ q $ che è una incognita, quindi $ x+2y+q=0 $, segue
$ 2sqrt(5)=|q-3|/(sqrt(5)) $
$ |q-3|=10 $
che sarà
$ q-3=+-10 $
Quindi $ q=13 $ e $ q=-7 $ allora retta $ a $ ) $ x+2y=7 $ e retta $ b $ ) $ x+2y=-13 $
A dire il vero mi ero impelagato in un bel caos, non mi ero reso conto della facilità dell'esercizio! Poi ho corretto tutto e ho preferito lasciare nel thread solo gli step giusti!
Grazie mille!
Esercizio 8
Trovare le equazioni dei lati del triangolo di vertici $ O(0,0);A(2,1);B(-1,3) $ .
Ho pensato di risolverla utilizzando la formula risolutiva della retta passante per due punti, ed i risultati tornano!
Adesso mi chiedo se va bene, perche' quella formula ti da l'equazione di una retta, ma un lato del triangolo, si puo' considerare un segmento!
Dite che e' lo stesso?
Trovare le equazioni dei lati del triangolo di vertici $ O(0,0);A(2,1);B(-1,3) $ .
Ho pensato di risolverla utilizzando la formula risolutiva della retta passante per due punti, ed i risultati tornano!
Adesso mi chiedo se va bene, perche' quella formula ti da l'equazione di una retta, ma un lato del triangolo, si puo' considerare un segmento!
Dite che e' lo stesso?
Salve Bad90,
il metodo risolutivo va bene. E poi, il lato di un triangolo lo puoi considerare come porzione di retta entro due estremi. Per il resto non capisco cosa intendi!
Cordiali saluti
P.S.=Il problema al più doveva scrivere:
"Bad90":
Esercizio 8
Trovare le equazioni dei lati del triangolo di vertici $ O(0,0);A(2,1);B(-1,3) $ .
Ho pensato di risolverla utilizzando la formula risolutiva della retta passante per due punti, ed i risultati tornano!
Adesso mi chiedo se va bene, perche' quella formula ti da l'equazione di una retta, ma un lato del triangolo, si puo' considerare un segmento!
Dite che e' lo stesso?
il metodo risolutivo va bene. E poi, il lato di un triangolo lo puoi considerare come porzione di retta entro due estremi. Per il resto non capisco cosa intendi!
Cordiali saluti
P.S.=Il problema al più doveva scrivere:
trovare le equazioni delle rette su cui giacciono i lati del triangolo di vertici $ O(0,0);A(2,1);B(-1,3) $
"garnak.olegovitc":
P.S.=Il problema al più doveva scrivere:
trovare le equazioni delle rette su cui giacciono i lati del triangolo di vertici $ O(0,0);A(2,1);B(-1,3) $
La penso come te, ma la traccia del testo e' scritta precisamente come nel messaggio che ho postato, scritta come dici tu, e' ovviamente piu' chiara!
Grazie mille!
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