Disequazioni logaritmiche
Salve,
prima di procedere con la diseq. premetto che:
ho incertezze su diverse disequazioni logaritmiche, probabilemente salto dei passaggi di cui non so l'esistenza oppure faccio cose mai viste ahahaha... quindi ho diverse disequazioni su cui ho dubbi e che non mi tornano. Posso scriverle tutte in questo topic 1 dopo l'altra o per ognuna devo creare un topic differente?
Ho la diseq. $ log_(3/4)(4x-3)*log_(1/3)(x) > 0 $
- Quando trovo una moltiplicazione tra logaritmi, come in questo caso, come dovrei procedere?
ho provato scrivendo per esteso i log avvalendomi delle loro proprietà per vedere se riuscivo a semplicare qualcosa ma non arrivo a nulla di "buono"...
- Inoltre arrivati ad un certo punto dovrei, tramite esponenziale, togliere i log ma per farlo è bene che i log siano estesi oppure compressi?
grazie mille a chiunque mi risponderà
Alberto
prima di procedere con la diseq. premetto che:
ho incertezze su diverse disequazioni logaritmiche, probabilemente salto dei passaggi di cui non so l'esistenza oppure faccio cose mai viste ahahaha... quindi ho diverse disequazioni su cui ho dubbi e che non mi tornano. Posso scriverle tutte in questo topic 1 dopo l'altra o per ognuna devo creare un topic differente?
Ho la diseq. $ log_(3/4)(4x-3)*log_(1/3)(x) > 0 $
- Quando trovo una moltiplicazione tra logaritmi, come in questo caso, come dovrei procedere?
ho provato scrivendo per esteso i log avvalendomi delle loro proprietà per vedere se riuscivo a semplicare qualcosa ma non arrivo a nulla di "buono"...
- Inoltre arrivati ad un certo punto dovrei, tramite esponenziale, togliere i log ma per farlo è bene che i log siano estesi oppure compressi?
grazie mille a chiunque mi risponderà
Alberto
Risposte
Spesso le cose sono più semplici di come sembrano, in questo caso non devi fare altro che studiare il segno dei due logaritmi.
"Alberto02":
- Quando trovo una moltiplicazione tra logaritmi, come in questo caso, come dovrei procedere?
Cosa faresti con $ab>0$?
"axpgn":
Spesso le cose sono più semplici di come sembrano, in questo caso non devi fare altro che studiare il segno dei due logaritmi.
quindi separatamente prendo $ log_(3/4)(4x-3) $ e studio il segno:
$ log_(3/4)(4x-3) >= 0$ ---> $ log_(3/4)(4x-3) >= log_(3/4)(1) $
posso togliere i log e diventa
$ 4x-3 >= 1 $ ---> $ x >= 1 $
ora facendo la stessa cosa con $ log_(1/3) $ ottengo il medesimo risultato e cioè $ x>=1 $
ora con questi risultati cosa dovrei fare? Ho prato ad integrarli nelle C.E. di partenza le quali erano:
$ 4x-3 > 0 U x>0 U log_(3/4)(4x-3)*log_(1/3)(x) > 0 $ (non so come scrivere il sistema qua)
che diventa $ x>3/4 U x>0 U x >= 1 $ ?
e se fosse giusto, continuando facendo il grafico delle soluzioni ottengo come soluzione finale $ x > 1 $ mentre la soluzione è $ 3/4
"Alberto02":
$ log_(3/4)(4x-3) >= 0$ ---> $ log_(3/4)(4x-3) >= log_(3/4)(1) $
posso togliere i log e diventa
$ 4x-3 >= 1 $ ---> $ x >= 1 $
oppure?
Sia ghira che io ti abbiamo dato il medesimo suggerimento, che non c'entra direttamente con i logaritmi ma con le disequazioni ovvero come si risolvono, generalmente, le disequazioni come $a*b>0$?
Studiando i segni dei fattori.
Perché? Quand'è che un prodotto di due fattori è positivo? Quand'è che è negativo? Quand'è che è nullo?
Studiando i segni dei fattori.
Perché? Quand'è che un prodotto di due fattori è positivo? Quand'è che è negativo? Quand'è che è nullo?
"axpgn":
Sia ghira che io ti abbiamo dato il medesimo suggerimento, che non c'entra direttamente con i logaritmi ma con le disequazioni ovvero come si risolvono, generalmente, le disequazioni come $a*b>0$?
Studiando i segni dei fattori.
Perché? Quand'è che un prodotto di due fattori è positivo? Quand'è che è negativo? Quand'è che è nullo?
$ log_(3/4)(4x-3)*log_(1/3)(x) > 0 $
C.E.
$ 4x-3 >0 $
$ x>0 $
$ log_(3/4)(4x-3)*log_(1/3)(x) > 0 $
$ log_(3/4)(4x-3) >= 0 $
$ 4x-3 >= 1 $
$ x >= 1 $
ora prendo il 2° log
$ log_(1/3)(x)>=0 $
$ x>=1 $
faccio il grafico tabellare:
quindi sostituisco nel sistema C.E. la diseq logaritmica con la sua soluz ottenendo:
$ 4x-3 >0 $
$ x>0 $
$ x > 1 $
quindi faccio il grafico finale:
ottenendo un risultato sbagliato.
Le basi dei due logaritmi sono minori di 1, quei logaritmi sono crescenti o decrescenti?
"@melia":
Le basi dei due logaritmi sono minori di 1, quei logaritmi sono crescenti o decrescenti?
sono decrescenti, ma questo in che modo mi può aiutare?
Se $a$ e $b$ sono numeri reali e $ab>0$ cosa mi puoi dire di $a$ e $b$?
"ghira":
Se $a$ e $b$ sono numeri reali e $ab>0$ cosa mi puoi dire di $a$ e $b$?
potrei dire che entrambi sono positivi oppure entrambi negativi e tutti sono diversi da 0
"Alberto02":
[quote="ghira"]Se $a$ e $b$ sono numeri reali e $ab>0$ cosa mi puoi dire di $a$ e $b$?
potrei dire che entrambi sono positivi oppure entrambi negativi e tutti sono diversi da 0[/quote]
benone. e quindi nel tuo problema...?
nel mio problema.....
cioè dovrei provare a risolvere due sistemi?
1°
$ log_(3/4)(4x-3)>0 $
$ log_(1/3)(x)>0 $
e 2°
$ log_(3/4)(4x-3)<0 $
$ log_(1/3)(x)<0 $
e poi mettere a sistema le soluzioni?
cioè dovrei provare a risolvere due sistemi?
1°
$ log_(3/4)(4x-3)>0 $
$ log_(1/3)(x)>0 $
e 2°
$ log_(3/4)(4x-3)<0 $
$ log_(1/3)(x)<0 $
e poi mettere a sistema le soluzioni?
"Alberto02":
[quote="@melia"]Le basi dei due logaritmi sono minori di 1, quei logaritmi sono crescenti o decrescenti?
sono decrescenti, ma questo in che modo mi può aiutare?[/quote]
Quando togli i logaritmi e confronti gli argomenti devi invertire le disuguaglianze
Se $0
"Alberto02":
nel mio problema.....
cioè dovrei provare a risolvere due sistemi?
e poi mettere a sistema le soluzioni?
Sì. E anche quello che dice melia è utile, chiaramente.
"@melia":
[quote="Alberto02"][quote="@melia"]Le basi dei due logaritmi sono minori di 1, quei logaritmi sono crescenti o decrescenti?
sono decrescenti, ma questo in che modo mi può aiutare?[/quote]
Quando togli i logaritmi e confronti gli argomenti devi invertire le disuguaglianze
Se $0
sto per batter la testa nel muro....
ho invertito quindi le disuguaglianze ma ahimè trovo il risultato che cercavo prima ma ho perso quello che avevo:
prima trovavo $ x>1 $ e mi mancava $ 3/4
Non hai bisogno di due sistemi, anzi neppure uno, devi solo stabilire il segno dei due logaritmi.
Questa $ log_(3/4) (4x-3) > log_(3/4) 1$ equivale a questa $ 4x-3 < 1$ e quest'altra $ log_(1/3) x > log_(1/3) 1$ equivale a quest'altra $x < 1$
Poi, ripeto, quand'è che un prodotto di due fattori è positivo? Quand'è che è negativo? Quand'è che è neullo?
Questa $ log_(3/4) (4x-3) > log_(3/4) 1$ equivale a questa $ 4x-3 < 1$ e quest'altra $ log_(1/3) x > log_(1/3) 1$ equivale a quest'altra $x < 1$
Poi, ripeto, quand'è che un prodotto di due fattori è positivo? Quand'è che è negativo? Quand'è che è neullo?
avvalendomi dei vostri consigli ho trovato un modo per raggiungere il risultato anche se sono in dubbio riguardo alla soluzione della 3 condizione: non so se posso scrivere in quel modo...
"axpgn":
Non hai bisogno di due sistemi, anzi neppure uno, devi solo stabilire il segno dei due logaritmi.
Questa $ log_(3/4) (4x-3) > log_(3/4) 1$ equivale a questa $ 4x-3 < 1$ e quest'altra $ log_(1/3) x > log_(1/3) 1$ equivale a quest'altra $x < 1$
Poi, ripeto, quand'è che un prodotto di due fattori è positivo? Quand'è che è negativo? Quand'è che è neullo?
forse intuisco quello che vuoi dire:
proseguendo come dici arrivo al sistema delle C.E. finale così:
$ x>3/4 $
$ x>0 $
$ x<1 $
e tramite grafico arrivo alla soluzione $ 3/4
ora se ho capito il tuo ragionamento dico:
tenendo presente che la funzione in x>1 è negativa
e tenendo presente che i due fattori posso essere entrambi positivi o entrambi negativi
quando i fattori sono positivi le soluz sono $ 3/4
spero di essere stato abbastanza chiaro XD
Chiaro non è la parola giusta 
ma il risultato è quello
ma il risultato è quello
"axpgn":
Chiaro non è la parola giusta
infatti non è che sia molto chiaro per me
mi è chiaro(forse) la prima parte ma non capisco la seconda....
cioè siccome sono o entrambi positivi o entrambi negativi allora pongo i fattori > 0 e trovo che sono soddisfatti per x<1 (ovvero affinchè le mie y siano > 0 ho bisogno di x<1)
tuttavia arrivato a questo, il secondo step che dovrebbe farmi arrivare ad x>1 quale sarebbe? (intendo dire logicamente)
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