Disequazione frazionaria

[Bad90]

Oggi ho iniziato a risolvere le disequazioni frazionarie, di questa non ho il risultato, ma penso sia giusta risolta così:

$ (x^2-2x)/(1-x)>0 $

Impongo in primis le $ C.E. $ , Segue $ C.E.: 1-x!=0=>-x!=-1=>x!=1 $

Segue per il numeratore:

$ (x^2-2x)>0 $

$ x(x-2)>0 $

Quindi avrò $ x>0 $ e $ x>2 $

Per il denominatore avrò

$ 1-x>0 $

$ -x> -1 $

$ x<1 $

Quindi la disequazione sarà verificata per:

$ x<0;1
Sapete che il mio dubbio è nella soluzione del denominatore, cioè, io pensavo si potesse annullare il denominatore! Ho notato che il denominatore e il numeratore, affinchè si verifichi la disequazione, devono essere discordi ed in qualunque caso bisognerà porre il Denominatore sempre $ >0 $ altrimenti non avrebbe senso un denominatore $ <0 $ che annullerebbe la frazione, ok, ma perchè non si possono annullare i denominatori e pensare come possibili soluzioni il numeratore?

Grazie mille!

[Bad90]

"giammaria":Per la disequazione delle ore 7,06: d'accordo fino a
$(x^2+4x+5)/((x-3)^2)<0$
e sul fatto che il numeratore è sempre positivo. Il denominatore, essendo un quadrato, è sempre positivo o nullo; l'ultimo caso origina una disequazione senza senso e quindi va escluso. Di conseguenza l'intera frazione è positiva e la disequazione non è mai verificata.
Se tu avessi avuto
$(x^2+4x+5)/((x-3)^2)>0$
avresti invece dovuto dire: è sempre verificata ( quindi $RR$), purché non perda senso: occorre che sia $x!=3$.
Non capisco poi dove hai pescato il tuo $x> -3 \wedge x> -1$: non vedo nulla che possa giustificare questi numeri.

Mi sono messo a fare tutte le prove possibili, e mi sono venute fuori quelle $ x $ , ho risolto le disequazioni con il metodo $ x=(-b+-sqrt(Delta))/(2a) $ ma ho fatto un caos! Scusami!

Comunque ti ringrazio perchè adesso ho compreso il significato del risultato!

[chiaraotta1]

"Bad90":
Scusami, ma questo $x!=+-1/2$ deriva dal $ D $ cioè $ (2x-1)(2x+1)^2>0$ quindi

$(2x-1)=>x=1/2$
$(2x+1)^2=>x^2=-1/4 ^^ x^2=1/4 $

Il denominatore $D$ deve essere $!=0$. Poiché $D=(2x-1)(2x+1)^2$, deve essere sia $2x-1!=0$, sia $(2x+1)^2!=0$.
Dalla prima ottengo $x!=1/2$, dalla seconda $(2x+1)^2!=0->2x+1!=0->x!=-1/2$.

Quindi $x!=+-1/2$.

[chiaraotta1]

"Bad90":[quote="chiaraotta"]
$(8x^2+2x+1)/((2x-1)(2x+1)^2)>0$.
Il numeratore ha $Delta<0$ e quindi è $>0$ per ogni $x$.

....
Se $ a>0 ^^ Delta<0 $
- L'ordinata del vertice è positiva
- La parabola non ha alcun punto di intersezione con l'asse $ x $
- Per ogni valore di x, risulta $ y>0 $
....
[/quote]
Il numeratore è $8x^2+2x+1$. Quindi $a=8>0$, $Delta/4=1-8=-7<0$. Allora rientra nel caso che hai indicato tu e dunque "- Per ogni valore di x, risulta $ y>0 $ ".

Questo si vede nella figura che hai postato:



La parabola sta tutta sopra l'asse $x$ e quindi tutti i suoi punti hanno $y>0$.

In conclusione il numeratore, appunto, per ogni $x$ è $>0$.

[chiaraotta1]

"Bad90":[quote="chiaraotta"]
Allora la frazione è $>0$ se è $>0$ il denominatore. Questo avviene per $x>1/2$, che quindi sono le soluzioni.

Volevo dire che il significato del seguente risultato, sono riuscito a comprenderlo solo ragionando su queste affermazioni, ma se tentavo di risolvere meccanicamente la disequazione, con le solite tecniche, non riuscivo a trarre una equa conclusione.
Voi dite che è normale!?!?!

Grazie mille![/quote]

Una frazione è $>0$ se numeratore e denominatore sono concordi. Nel nostro caso il numeratore era $>0$, quindi, perché la frazione fosse $>0$, doveva essere $>0$ anche il denominatore.
Ma il denominatore era il prodotto di due fattori, $2x-1$ e $(2x+1)^2$, di cui uno, il quadrato, era certamente $>0$ ($=0$ non poteva, perché avrebbe annullato il denominatore). Quindi anche l'altro fattore doveva essere $>0$. Cioè $2x-1>0->x>1/2$.

[giammaria2]

Alle spiegazioni di chiaraotta aggiungo due cose:
- ieri alle 10,53 hai postato due grafici di parabola perché ti sembravano in contrasto fra loro. In realtà, ai tuoi fini, dicono la stessa cosa perché entrambe le parabole sono al di sopra dell'asse x; cambia solo la posizione rispetto all'asse y, che non ci interessa per nulla. Quando il nostro unico scopo è usare la parabola per risolvere una disequazione non vale proprio la pena di disturbare programmi grafici o fare lunghi calcoli; ci si accontenta di una scarabocchietto voltato verso l'alto o il basso e che attraversa o no l'asse x. L'asse y non viene neppure disegnato perché la sua posizione non ha importanza.
- Scrivi "se tentavo di risolvere meccanicamente la disequazione, con le solite tecniche, non riuscivo a trarre una equa conclusione". Qualsiasi tecnica, se correttamente applicata, porta alla giusta soluzione; se ti succede il contrario è evidente che sbagli. La prossima volta che questo ti succede, ti consiglio di spiegare nel dettaglio cosa hai fatto; solo così potremo aiutarti a capire cosa devi rettificare e come.

[Bad90]

"giammaria":Alle spiegazioni di chiaraotta aggiungo due cose:
- ieri alle 10,53 hai postato due grafici di parabola perché ti sembravano in contrasto fra loro. In realtà, ai tuoi fini, dicono la stessa cosa perché entrambe le parabole sono al di sopra dell'asse x; cambia solo la posizione rispetto all'asse y, che non ci interessa per nulla. Quando il nostro unico scopo è usare la parabola per risolvere una disequazione non vale proprio la pena di disturbare programmi grafici o fare lunghi calcoli; ci si accontenta di una scarabocchietto voltato verso l'alto o il basso e che attraversa o no l'asse x. L'asse y non viene neppure disegnato perché la sua posizione non ha importanza.
- Scrivi "se tentavo di risolvere meccanicamente la disequazione, con le solite tecniche, non riuscivo a trarre una equa conclusione". Qualsiasi tecnica, se correttamente applicata, porta alla giusta soluzione; se ti succede il contrario è evidente che sbagli. La prossima volta che questo ti succede, ti consiglio di spiegare nel dettaglio cosa hai fatto; solo così potremo aiutarti a capire cosa devi rettificare e come.

E io che mi stavo incasinando con l'essere precissimo a tracciare la parabola, sara' deviazione professionale......
Ti ringrazio veramente un sacco. La prossima volta saro' piu' chiaro e dettagliato nello spiegare il problema, grazie mille.

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]
Scusami, ma questo $x!=+-1/2$ deriva dal $ D $ cioè $ (2x-1)(2x+1)^2>0$ quindi

$(2x-1)=>x=1/2$
$(2x+1)^2=>x^2=-1/4 ^^ x^2=1/4 $

Il denominatore $D$ deve essere $!=0$. Poiché $D=(2x-1)(2x+1)^2$, deve essere sia $2x-1!=0$, sia $(2x+1)^2!=0$.
Dalla prima ottengo $x!=1/2$, dalla seconda $(2x+1)^2!=0->2x+1!=0->x!=-1/2$.

Quindi $x!=+-1/2$.[/quote]

Perfetto! Grazie mille!

[Bad90]

"chiaraotta":
Il numeratore è $8x^2+2x+1$. Quindi $a=8>0$, $Delta/4=1-8=-7<0$. Allora rientra nel caso che hai indicato tu e dunque "- Per ogni valore di x, risulta $ y>0 $ ".
La parabola sta tutta sopra l'asse $x$ e quindi tutti i suoi punti hanno $y>0$.

In conclusione il numeratore, appunto, per ogni $x$ è $>0$.

Anche questo punto è chiarissimo!

[Bad90]

"giammaria":- Scrivi "se tentavo di risolvere meccanicamente la disequazione, con le solite tecniche, non riuscivo a trarre una equa conclusione". Qualsiasi tecnica, se correttamente applicata, porta alla giusta soluzione; se ti succede il contrario è evidente che sbagli.

Hai pienamente ragione, intendevo meccanicamente "ma secondo le mie capacità", ero consapevole che qualcosa stavo sbagliando! Devo impegnarmi di più!