Disequazione frazionaria

[Bad90]

Oggi ho iniziato a risolvere le disequazioni frazionarie, di questa non ho il risultato, ma penso sia giusta risolta così:

$ (x^2-2x)/(1-x)>0 $

Impongo in primis le $ C.E. $ , Segue $ C.E.: 1-x!=0=>-x!=-1=>x!=1 $

Segue per il numeratore:

$ (x^2-2x)>0 $

$ x(x-2)>0 $

Quindi avrò $ x>0 $ e $ x>2 $

Per il denominatore avrò

$ 1-x>0 $

$ -x> -1 $

$ x<1 $

Quindi la disequazione sarà verificata per:

$ x<0;1
Sapete che il mio dubbio è nella soluzione del denominatore, cioè, io pensavo si potesse annullare il denominatore! Ho notato che il denominatore e il numeratore, affinchè si verifichi la disequazione, devono essere discordi ed in qualunque caso bisognerà porre il Denominatore sempre $ >0 $ altrimenti non avrebbe senso un denominatore $ <0 $ che annullerebbe la frazione, ok, ma perchè non si possono annullare i denominatori e pensare come possibili soluzioni il numeratore?

Grazie mille!

[Bad90]

Un altro dubbio è quando ci si trova con una disequazione del tipo:

$ (2x^2-x+3)/(3x^2-16x+5)<0 $

Ho compreso il fatto che il denominatore deve essere posto $ (3x^2-16x+5)>0 $ ,ok, ma se devo pensare alle $ C.E. $ per il denominatore, come devo comportarmi? Mi spiego, per $ 3x^2-16x+5 $ basta dire che $ C.E. $ sarà $ x != 0 $ Ma avendo un termine noto, anche se fosse $ x=0 $ il denominatore non si annullerebbe! Quindi cosa bisogna fare?

Comunque sia io la risolvo in questo modo:
Per il numeratore

$ (2x^2-x+3)<0 $

Questa è una disequazione impossibile in $ R $ in quanto ha un $ Delta<0 $ precisamente $ Delta=-23 $ quindi non si considera!

Per il denominatore

$ (3x^2-16x+5)<0 $ diventa $ (3x^2-16x+5)>0 $

$ Delta=49 $

$ x_1=5 $ e $ x_2=1/3 $

Segue che nonostante abbia posto il denominatore $ >0 $ bisogna fare sempre riferimento a $ <0 $ per verificare la disequazione, in quanto la disequazione iniziale è posta $ <0 $ . Quindi la disequazione sarà verificata per $ 1/3
Cosa ne dite?




Grazie mille!

[Bad90]

Ovviamente ti ringrazio, non ho fatto il grafico della parabola, ma il classico con le linee continue e discontinue!
Comunque ho ottenuto lo stesso tuo risultato!

Il dubbio che mi resta e se bisogna tenere presente le $ C.E. $ come le ho esposte nel messaggio precedente!

Grazie ancora!

[Bad90]

Volevo confermare un metodo consigliato qualche giorno fa, cioè quando si ha una disequazione $ <0 $ e quindi cercare il settore in cui sarà negativa, ponendo tutta la disequazione $ >0 $ si riesce a trovare subito il settore in cui sarà verificata, es.

$ (2x-5)/(x^2-2x-8)<0 $

Bene, stavo cercando di risolverla ponendo il numeratore $ (2x-5)<0 $ ed il denominatore $ (x^2-2x-8)>0 $, per il fatto che il denominatore deve essere sempre $ >0 $, ma non riuscivo a verificarla!

Poi ho pensato di fare come mi ha detto qualche giorno fa il mio amico JoJo, porre tutta la disequazione $ (2x-5)/(x^2-2x-8)<0 $ maggiore di zero $ (2x-5)/(x^2-2x-8)>0 $ ed ho verificato dove diventava negativa! Solo così sono riuscito!

Mi chiedo, come mai non ha funzionato il fatto che $ (2x-5)<0 $ e $ (x^2-2x-8)>0 $

Grazie mille!

[giammaria2]

Ti do la soluzione di $(2x-5)/(x^2-2x-8)<0$ con i commenti che dovrebbero chiarire anche i dubbi sulle altre. Le disequazione parziali da risolvere sono \(\displaystyle N>0 \) e \(\displaystyle D>0 \): sempre il >. Mettendo il < il risultato viene lo stesso solo se hai un numero pari di linee, altrimenti sbagli: meglio non farlo.
\(\displaystyle N>0 \) ) $2x-5>0=>x>5/2$
\(\displaystyle D>0 \)) $x^2-2x-8>0$. Le soluzioni dell'equazione sono -2 e 4; continuo col metodo della parabola. E' voltata verso l'alto e incontra l'asse x, quindi ne sta al di sopra prima di -2 e dopo 4: la soluzione è $x<-2 vv x>4$.
Faccio ora il grafico dei segni: la prima linea è continua a destra di $5/2$ e tratteggiata a sinistra; la seconda è continua a sinistra di -2 e a destra di 4, tratteggiata fra loro. Ottengo ordinatamente i segni - + - +.
Ora guardo la disequazione iniziale: c'era \(\displaystyle <0 \) quindi voglio il segno meno: la soluzione è quindi $x<-2 vv 5/2
Ti faccio notare che non ho cercato il CE: per disequazioni di questo tipo non lo si fa perché risolviamo già la D>0. In esercizi di altro tipo lo avremmo cercato con $D!=0$, ottenendo quindi $x!=-2$ e $x!=4$.

[Bad90]

"giammaria":Ti do la soluzione di $(2x-5)/(x^2-2x-8)<0$ con i commenti che dovrebbero chiarire anche i dubbi sulle altre. Le disequazione parziali da risolvere sono \(\displaystyle N>0 \) e \(\displaystyle D>0 \): sempre il >. Mettendo il < il risultato viene lo stesso solo se hai un numero pari di linee, altrimenti sbagli: meglio non farlo.
\(\displaystyle N>0 \) ) $2x-5>0=>x>5/2$
\(\displaystyle D>0 \)) $x^2-2x-8>0$. Le soluzioni dell'equazione sono -2 e 4; continuo col metodo della parabola. E' voltata verso l'alto e incontra l'asse x, quindi ne sta al di sopra prima di -2 e dopo 4: la soluzione è $x<-2 vv x>4$.
Faccio ora il grafico dei segni: la prima linea è continua a destra di $5/2$ e tratteggiata a sinistra; la seconda è continua a sinistra di -2 e a destra di 4, tratteggiata fra loro. Ottengo ordinatamente i segni - + - +.
Ora guardo la disequazione iniziale: c'era \(\displaystyle <0 \) quindi voglio il segno meno: la soluzione è quindi $x<-2 vv 5/2
Ti faccio notare che non ho cercato il CE: per disequazioni di questo tipo non lo si fa perché risolviamo già la D>0. In esercizi di altro tipo lo avremmo cercato con $D!=0$, ottenendo quindi $x!=-2$ e $x!=4$.

Non so come ringraziarti, sei stato chiaro preciso e perfettamente dettagliato!
Grazie grazie e grazie ancora.

Perdonatemi se mi capita di farvi ripetere sempre le stesse cose, alla fine sto riuscendo a capire tutto, non devo trascurare nulla.

[Bad90]

A proposito dei metodi per verificare le disequazioni frazionarie, sto cercando di utilizzare per mia iniziativa e non per iniziativa del testo, in quanto il testo per il momento mi sta indirizzando ad utilizzare il grafico dei segni, il grafico con la parabola per queste equazioni, con carta e penna:

$ (x^2-2x-3)/(x^2+2x+8)<0 $

Ma permettetemi di dire che..... Viene su un casino
Penso proprio che il testo mi indirizza sul grafico dei segni proprio per questo! Insomma se devo tracciare la parabola per ogni singola equazione, non ci sono problemi, ma se le devo considerare contemporaneamente tutte e due niente da fare, mi sa che è ancora presto per avventurarmi con la parabola in questo tipo di disequazioni!

[Bad90]

Sto tribolando con questa:

$ (4x^2-9)/(x(6-x)-5)<0 $

A priori pongo la disequazione $ >0 $

$ (4x^2-9)/(x(6-x)-5)>0 $

Quindi: $ N>0;D>0 $

Avrò al numeratore:
$ x>3/2;x> -3/2 $

A denominatore

$ x(6-x)-5>0 $

$ 6x-x^2-5>0 $

Penso che adesso devo moltiplicare per $ -1 $ e mettere a posto la disequazione in questo modo:

$ x^2-6x+5<0 $

Ma adesso è ritornata ad essere $ <0 $
Ho fatto tutte le prove possibili e non riesco a verificarla, cosa bisogna fare?

Vi ringrazio!

[chiaraotta1]

"Bad90":Sto tribolando con questa:

$ (4x^2-9)/(x(6-x)-5)<0 $

Io farei una scomposizione, in modo da studiare più facilmente il segno dei singoli fattori:

$4x^2 -9 = (2x -3)(2x + 3)$,
$x(6-x)-5= 6x - x^2 - 5 = -x^2 + 6x - 5 = (-x + 1)(x - 5)= -(x - 1)(x - 5)$.

Quindi la disequazione è

$((2x -3)(2x + 3))/(-(x - 1)(x - 5))<0$

oppure, moltiplicandola per $-1$ come mi sembra più comoda da risolvere,

$((2x -3)(2x + 3))/((x - 1)(x - 5))>0$.

A questo punto farei la solita tabella dei segni:

$|( , -3/2, , 1, , 3/2, , 5, ,),( -, \|, +, \|, +, \|, +, \|, +, 2x+3),( -, \|, -, \|, +, \|, +, \|, +, x-1),( -, \|, -, \|, -, \|, +, \|, +, 2x-3),( -, \|, -, \|, -, \|, -, \|, +, x-5),( +, \|, -, \|, +, \|, -, \|, +, ((2x -3)(2x + 3))/((x - 1)(x - 5)))|$

Poiché la disequazione ha verso $>0$, è

$((2x -3)(2x + 3))/((x - 1)(x - 5))>0$,

le soluzioni corrispondono alle regioni con il segno $+$.

Quindi: $x<-3/2 vv 15$.

[Bad90]

Effettivamente ho utilizzato questo metodo per altre disequazioni simili
Ti ringrazio!

[giammaria2]

Concetti generali.
Primo: la parabola si traccia per ogni singola equazione di secondo grado e NON si possono considerare contemporaneamente due trinomi. Secondo: NON devi porre la disequazione $>0$ ma solo risolvere le disequazioni $N>0$ e $D>0$. Alla fine il grafico dei segni è indispensabile: puoi farne a meno solo quando c'è soltanto un trinomio e va quindi bene la parabola.
Questa particolare disequazione.
A me piace poco avere un grafico con molte linee e preferisco scomporre in fattori solo quando non è applicabile il metodo della parabola. Inoltre temo che la moltiplicazione per -1 fatta da chiaraotta, per quanto ottima e raccomandabile, sia per te fonte di confusione e quindi risolvo la disequazione così com'è. Ecco quindi come risolverei:
N>0) $4x^2-9>0$. Le soluzioni dell'equazione sono $x=+-3/2$; la parabola è rivolta verso l'alto ed assume valori positivi all'esterno delle soluzioni: quindi $x<-3/2 vv x>3/2$
D>0) $-x^2+6x-5>0$. Le soluzioni dell'equazione sono 1 e 5 e per trovarle non importa se cambi o no i segni. Per la disequazione puoi ragionare in due modi diversi:
1) cambi i segni, ottenendo $x^2-6x+5<0$: la parabola è rivolta verso l'alto ma ora vediamo un $<0$ quindi ci interessano i valori al di sotto dell'asse x, che stanno fra 1 e 5, e la soluzione è $1 2) non cambi segni e verso della disequazione: ottieni allora una parabola rivolta verso il basso e vuoi i valori positivi: in ogni caso, quelli fra 1 e 5.
A questo punto fai il grafico dei segni e penso che tu sappia finire da solo. Ricorda che nella disequazione iniziale c'era il $<0$ e che quindi volevi il segno meno (chiaraotta ha cambiato proprio la disequazione iniziale, facendola diventare con un $>0$).

Una preghiera: leggi con molta attenzione tutto quello che ho scritto, accertandoti di comprenderlo bene. Se anche una sola parola o un solo passaggio ti è poco chiaro o ti sembra discutibile fermiamoci ad esaminare quel punto, senza cercare altri esercizi.

[Bad90]

Perfetto, adesso riprendo l'esercizio e ti faccio sapere!
P.S. Ti ringrazio.

[Bad90]

"giammaria":
D>0) $-x^2+6x-5>0$. Le soluzioni dell'equazione sono 1 e 5 e per trovarle non importa se cambi o no i segni.

Perdonami, utilizzando il metodo della formula risolutiva della $ x=(-b+-sqrt(Delta))/(2a) $, se lascio la disequazione in quel modo, come fa' ad essere sempre lo stesso? Mi spiego.... Il $ Delta $ è sempre lo stesso, $ Delta=16 $ , ma quando vado a calcolare le $ x $ avrò:

$ x=(-6+-4)/(-2) $

$ x=(-2)/(-2) => -1$

$ x=(-10)/(-2)=> -5 $

[chiaraotta1]

"Bad90":....

$ x=(-2)/(-2) => -1$

$ x=(-10)/(-2)=> -5 $

Nooooooooo: $ x=(-2)/(-2) => +1$, $ x=(-10)/(-2)=> +5 $

[Bad90]

Scusami
Messaggio ricevuto!

[Bad90]

"giammaria":Concetti generali.
Primo: la parabola si traccia per ogni singola equazione di secondo grado e NON si possono considerare contemporaneamente due trinomi. Secondo: NON devi porre la disequazione $>0$ ma solo risolvere le disequazioni $N>0$ e $D>0$. Alla fine il grafico dei segni è indispensabile: puoi farne a meno solo quando c'è soltanto un trinomio e va quindi bene la parabola.

Anche questo adesso e molto più che chiaro...
Io come un imbecille, portavo tutta la disequazione $ >0 $ e solo per coincidenza i risultati venivano fuori correttamente!
T ringrazio!

[Bad90]

"giammaria":
Una preghiera: leggi con molta attenzione tutto quello che ho scritto, accertandoti di comprenderlo bene. Se anche una sola parola o un solo passaggio ti è poco chiaro o ti sembra discutibile fermiamoci ad esaminare quel punto, senza cercare altri esercizi.

Ti ringrazio! Sto imparando a non trascurare nemmeno una virgola! Ho fatto anche il grafico dei segni e tutto ok! Grazie mille!

[Bad90]

Ho risolto questa disequazione, che è semplicissima, solo che non mi è tanto chiaro il risultato.....

$ 2x+1/(2x-3)>5 $

Senza dilungarmi, arrivo alla seguente:

$ (2x-4)^2/(2x-3)>0 $

Quindi per il $ N $ sarà una doppia soluzione $ x>2 $ e per il $ D $ sarà $ x>3/2 $ . Bene, ho fatto lo studio dei segni e mi è venuto fuori che la disequazione è verificata per $ x>2;x<3/2 $
Perchè il testo mi dice che la soluzione è:

$ x>2;3/2
Se la soluzione $ x>2 $ anche se è doppia, coincide con se stessa, come potrà essere $ 3/2

[chiaraotta1]

Guarda che il numeratore è un quadrato e quindi è $>0$ per ogni $x!=2$. Invece è $=0$ per $x=2$.
Il denominatore è $>0$ per $x>3/2$.

Se fai la solita tabella dei segni

$|( , 3/2, , 2, ,),( +, \|, +, \|, +, (2x-4)^2),( -, \|,+, \|, +, 2x-3),( -, \|, +, \|, +, (2x-4)^2/(2x-3))|$

vedi che la frazione è $>0$ per $3/22$, che sono le soluzioni.

[Bad90]

Hai pienamente ragione, era al numeratore che stavo sbagliando!
Grazie chiarotta!

[Bad90]

Ho un dubbio che non riesco ancora a togliermi
Insomma, se ho una disequazione frazionaria, una qualsiasi, es.:

$ (2x-4)/(x-1)>0 $

Perchè non si può annullare il denominatore in questo modo?

$ (x-1)*(2x-4)/(x-1)>0*(x-1) $

Quindi

$ (2x-4)>0 $

Per quale motivo non lo si fà?

Grazie mille!