Disequazione frazionaria
Oggi ho iniziato a risolvere le disequazioni frazionarie, di questa non ho il risultato, ma penso sia giusta risolta così:
$ (x^2-2x)/(1-x)>0 $
Impongo in primis le $ C.E. $ , Segue $ C.E.: 1-x!=0=>-x!=-1=>x!=1 $
Segue per il numeratore:
$ (x^2-2x)>0 $
$ x(x-2)>0 $
Quindi avrò $ x>0 $ e $ x>2 $
Per il denominatore avrò
$ 1-x>0 $
$ -x> -1 $
$ x<1 $
Quindi la disequazione sarà verificata per:
$ x<0;1
Sapete che il mio dubbio è nella soluzione del denominatore, cioè, io pensavo si potesse annullare il denominatore!
Ho notato che il denominatore e il numeratore, affinchè si verifichi la disequazione, devono essere discordi ed in qualunque caso bisognerà porre il Denominatore sempre $ >0 $ altrimenti non avrebbe senso un denominatore $ <0 $ che annullerebbe la frazione, ok, ma perchè non si possono annullare i denominatori e pensare come possibili soluzioni il numeratore?
Grazie mille!
$ (x^2-2x)/(1-x)>0 $
Impongo in primis le $ C.E. $ , Segue $ C.E.: 1-x!=0=>-x!=-1=>x!=1 $
Segue per il numeratore:
$ (x^2-2x)>0 $
$ x(x-2)>0 $
Quindi avrò $ x>0 $ e $ x>2 $
Per il denominatore avrò
$ 1-x>0 $
$ -x> -1 $
$ x<1 $
Quindi la disequazione sarà verificata per:
$ x<0;1
Sapete che il mio dubbio è nella soluzione del denominatore, cioè, io pensavo si potesse annullare il denominatore!
Ho notato che il denominatore e il numeratore, affinchè si verifichi la disequazione, devono essere discordi ed in qualunque caso bisognerà porre il Denominatore sempre $ >0 $ altrimenti non avrebbe senso un denominatore $ <0 $ che annullerebbe la frazione, ok, ma perchè non si possono annullare i denominatori e pensare come possibili soluzioni il numeratore? Grazie mille!
Risposte
Ancora un dubbio.....
Ho la seguente disequazione frazionaria:
$ (x^2-3x+12)/(x^2+3x+12)>0 $
Bene, comincio a risolverla e mi rendo conto che ho il $ Delta<0 $ in entrambi, $ N $ ed $ D $ , perfetto. Cosa devo fare? Mi devo bloccare senza continuare a risolverla perchè in $ R $ impossibile?
P.S. Sono andato a vedere nella parte della teoria del mio testo e mi dice che se $ Delta<0 $ per la parabola non ci sono intersezioni con l'asse $ x $ , bene, per ogni valore di $ x $ risulta $ y>0 $
In base a tutto questo che sono riuscito a trovare sul mio testo, come faccio a giustificare il risultato che mi da il testo, cioè $ x in R $
Potreste cortesemente aiutarmi a comprendere questo?
Grazie anticipatamente!
Il problema che non so risolverla se $ Delta<0 $ , devo ancora aspettare gli argomenti che tratteranno questo? Io non saprei come fare a tracciare quelle parabole per questa disequazione frazionaria!
Ecco il grafico delle due parabole.......
Ho la seguente disequazione frazionaria:
$ (x^2-3x+12)/(x^2+3x+12)>0 $
Bene, comincio a risolverla e mi rendo conto che ho il $ Delta<0 $ in entrambi, $ N $ ed $ D $ , perfetto. Cosa devo fare? Mi devo bloccare senza continuare a risolverla perchè in $ R $ impossibile?
P.S. Sono andato a vedere nella parte della teoria del mio testo e mi dice che se $ Delta<0 $ per la parabola non ci sono intersezioni con l'asse $ x $ , bene, per ogni valore di $ x $ risulta $ y>0 $
In base a tutto questo che sono riuscito a trovare sul mio testo, come faccio a giustificare il risultato che mi da il testo, cioè $ x in R $
Potreste cortesemente aiutarmi a comprendere questo?
Grazie anticipatamente!
Il problema che non so risolverla se $ Delta<0 $ , devo ancora aspettare gli argomenti che tratteranno questo? Io non saprei come fare a tracciare quelle parabole per questa disequazione frazionaria!
Ecco il grafico delle due parabole.......
Primo dubbio: la regola è "Si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero solo quando si ha la certezza che sia positivo. Lo si può fare anche quando si ha la certezza che sia negativo, ma allora bisogna cambiare il verso della disequazione." Tu non sai che segno ha $x-1$ quindi non è lecito moltiplicare.
Secondo dubbio: sai che N>0 e D>0 sono sempre verificate, quindi ad esse corrisponde una linea sempre continua e facendo il grafico dei segni trovi sempre il segno più; la soluzione è quindi data da qualsiasi numero reale. In casi facili come questo di solito il grafico viene fatto solo a mente (ma non è vietato farlo per scritto) oppure si può dire "Ho la certezza che numeratore e denominatore sono positivi quindi posso semplificarli ottenendo $1>0$ che è sempre vera.
In generale i casi $Delta<0$ si trattano come ho fatto sopra: se la disequazione è sempre vera la riporti come una linea continua ovunque (oppure semplifichi quel fattore o numeratore o denominatore); se invece la disequazione è sempre falsa la riporti come una linea sempre tratteggiata (oppure semplifichi e contemporaneamente cambi il verso della disequazione).
Nei casi $Delta=0$ non semplifichi ma la riporti come una linea sempre continua o sempre tratteggiata come nel caso precedente; in corrispondenza alla soluzione dell'equazione fai però un segno particolare (di solito un pallino vuoto che significa che quel punto non va o una crocetta o pallino pieno per dire che va bene) per dire che lì c'è qualcosa di speciale.
Secondo dubbio: sai che N>0 e D>0 sono sempre verificate, quindi ad esse corrisponde una linea sempre continua e facendo il grafico dei segni trovi sempre il segno più; la soluzione è quindi data da qualsiasi numero reale. In casi facili come questo di solito il grafico viene fatto solo a mente (ma non è vietato farlo per scritto) oppure si può dire "Ho la certezza che numeratore e denominatore sono positivi quindi posso semplificarli ottenendo $1>0$ che è sempre vera.
In generale i casi $Delta<0$ si trattano come ho fatto sopra: se la disequazione è sempre vera la riporti come una linea continua ovunque (oppure semplifichi quel fattore o numeratore o denominatore); se invece la disequazione è sempre falsa la riporti come una linea sempre tratteggiata (oppure semplifichi e contemporaneamente cambi il verso della disequazione).
Nei casi $Delta=0$ non semplifichi ma la riporti come una linea sempre continua o sempre tratteggiata come nel caso precedente; in corrispondenza alla soluzione dell'equazione fai però un segno particolare (di solito un pallino vuoto che significa che quel punto non va o una crocetta o pallino pieno per dire che va bene) per dire che lì c'è qualcosa di speciale.
"giammaria":
Secondo dubbio: sai che N>0 e D>0 sono sempre verificate, quindi ad esse corrisponde una linea sempre continua e facendo il grafico dei segni trovi sempre il segno più; la soluzione è quindi data da qualsiasi numero reale.
Non sto capendo questo punto!
Come faccio a fare il grafico in questo caso?
Come faccio a dire che è continua se arrivo al $ Delta $ e poi mi blocco?
Scusami ma non sto capendo la tua conclusione!?!
Grazie mille!
"giammaria":
Primo dubbio: la regola è "Si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero solo quando si ha la certezza che sia positivo. Lo si può fare anche quando si ha la certezza che sia negativo, ma allora bisogna cambiare il verso della disequazione." Tu non sai che segno ha $x-1$ quindi non è lecito moltiplicare.
Adesso ho compreso il perchè, ma ancora non mi sono trovato nelle circostanze di dire che $x-1$ sia positivo! Spero di incontrare questi casi quanto prima, così la notte dormo tranquillo
Grazie mille!
"Bad90":
ancora non mi sono trovato nelle circostanze di dire che $x-1$ sia positivo!
Quelle circostanze capitano molto raramente e per questo si sveltisce il problema dicendo che quella moltiplicazione non è lecita. Invece di fronte a $(2x-7)/(x^2+3)<0$ potresti ragionare in questo modo: "$x^2$ non è mai negativo, quindi il denominatore ha sempre valori da 3 in su: ho la certezza che è positivo e quindi posso moltiplicare per $x^2+3$ ottenendo $2x-7<0$.
Passiamo all'alro dubbio: se $Delta<0$ l'equazione è impossibile ma non è detto che lo sia anche la disequazione; ad esempio l'equazione $x^2-x+7=0$ è impossibile ma la disequazione $x^2-x+7>0$ non solo è possibilissima ma è addirittura vera qualunque valore io metta al posto di $x$. Una linea continua indica che la disequazione è vera; questa lo è sempre, quindi metto una linea sempre continua.
"giammaria":[/quote]
[quote="Bad90"] ma la disequazione $x^2-x+7>0$ non solo è possibilissima ma è addirittura vera qualunque valore io metta al posto di $x$.
Ma se io do alla $ x $ un qualsiasi valore hai pienamente ragione, è sempre positiva! Ma se io la risolvo con il classico metodo del $ Delta $ ......... mi risulta impossibile!
Se ho ben capito, si tratta di casi particolari che danno un valore sempre positivo?
Grazie mille!
"Bad90":Ma se io do alla $ x $ un qualsiasi valore hai pienamente ragione, è sempre positiva! Ma se io la risolvo con il classico metodo del $ Delta $ ......... mi risulta impossibile!
[quote="giammaria"]ma la disequazione $x^2-x+7>0$ non solo è possibilissima ma è addirittura vera qualunque valore io metta al posto di $x$.
[/quote]Ma che stai a di' ? 
$x^2-x+7>0$ ha soluzione $AA x in RR$, altro che impossibile.
Lo dimostro proprio col metodo del $Delta$:
$Delta= 1-4*7 <0$; il coefficiente di grado massimo vale $1$, quindi è positivo $=> $
la disequazione (siccome cerchiamo quando deve essere $>0$) è sempre verificata
"Gi8":
$x^2-x+7>0$ ha soluzione $AA x in RR$, altro che impossibile.
Lo dimostro proprio col metodo del $Delta$:
$Delta= 1-4*49 <0$; il coefficiente di grado massimo vale $1$, quindi è positivo $=> $
la disequazione (siccome cerchiamo quando deve essere $>0$) è sempre verificata
Scusa ma questo $Delta= 1-4*49 <0$, forse è $Delta= 1-4*7 <0=>1-28=-27$
Cosa significa, se la disequazione fosse$x^2-x+7<0$, cambierebbe qualcosa?
Ho fatto delle altre prove tipo:
$ x^2-7x+12>0 $
In questo caso $ x>4 ^^ x>3 $, mi sembra di aver capito che $ AA x in cc(R) $ accade solo quando il coefficiente $ b=+-x $
Spero di non aver detto una eresia!
Grazie mille!
"Bad90":
Ma se io do alla $ x $ un qualsiasi valore hai pienamente ragione, è sempre positiva! Ma se io la risolvo con il classico metodo del $ Delta $ ......... mi risulta impossibile!
Non confondere fra loro due concetti: "i calcoli non danno risultato" e "è impossibile". Se $Delta<0$ l'equazione non dà risultato e quindi l'equazione è impossibile; in altre parole, qualunque valore tu metta al posto di $x$ non ottieni mai zero. Invece nella disequazione che abbiamo guardato i calcoli non hanno dato risultato ma ottieni un valore positivo qualunque sia $x$; è quello che volevi, quindi la disequazione è sempre vera.
Chiedi la soluzione di $x^2-x+7<0$: il primo membro è sempre positivo quindi non è mai minore di zero: questa disequazione è sempre falsa. Se vuoi (ma nelle disequazioni non usa questo linguaggio proprio perché confonderebbe le idee degli studenti) puoi dire che questa disequazione è impossibile.
Quanto all'ultima tua frase, è davvero un'eresia: il discorso sarebbe esattamente lo stesso considerando $x^2+4x+25>0$ o una qualunque altra disequazione con $Delta<0$
Adesso e più chiaro!
Sto imparando un'altra cosa..... La prossima volta che sento dire da qualche mio amico che chi è bravo in matematica può anche non essere una stella con l'italiano, gli dico che è impossibile!
Se $ x= $ matematica, $ y= $ italiano, segue $ x in y $ $ AA $ concetto.
Ti ringrazio!
Sto imparando un'altra cosa..... La prossima volta che sento dire da qualche mio amico che chi è bravo in matematica può anche non essere una stella con l'italiano, gli dico che è impossibile!
Se $ x= $ matematica, $ y= $ italiano, segue $ x in y $ $ AA $ concetto.
Ti ringrazio!
Addirittura! Grazie, ma secondo me sono due cose indipendenti e poi non mi piace che la matematica sia un sottoinsieme dell'italiano. Al massimo, $x<=>y $ $ \forall $ concetto.
"giammaria":
Addirittura! Grazie, ma secondo me sono due cose indipendenti.
Non voglio contraddirti altrimenti sò che mi dimostrerai che sono due cose indipendenti
e quindi confermerai il contrario di quello che che ho detto 
, solo che a parte gli scherzi, ho notato che bisogna essere veramente attenti nel dare affermazioni, altrimenti si finisce con il cambiare le cose..... 
"giammaria":
Ma secondo me sono due cose indipendenti e poi non mi piace che la matematica sia un sottoinsieme dell'italiano. Al massimo, $x<=>y $ $ \forall $ concetto.
Ok, così è sicuramente più corretto!
Accipicchia, quanto imparo bene ad esprimermi con i simboli degli insiemi, devo far impazzire i miei colleghi a lavoro!
Quando gli scrivo le consegne di fine turno, a scrivergli in quel modo, secondo te cosa mi diranno?
"Bad90":Hai ragione. Ho corretto
Scusa ma questo $Delta= 1-4*49 <0$, forse è $Delta= 1-4*7 <0=>1-28=-27$
"Bad90":Certo che cambia. Tantpo per essere chiari:
Cosa significa, se la disequazione fosse$x^2-x+7<0$, cambierebbe qualcosa?
[*:3hsy31g4] $x^2-x+7<0 => S= O/$
[/*:m:3hsy31g4]
[*:3hsy31g4] $x^2-x+7>0 => S= RR$
[/*:m:3hsy31g4]
[*:3hsy31g4] $x^2-x+7<=0 => S= O/$[/*:m:3hsy31g4]
[*:3hsy31g4] $x^2-x+7>=0 => S= RR$
[/*:m:3hsy31g4][/list:u:3hsy31g4]
"Gi8":
Certo che cambia. Tantpo per essere chiari:
[*:27nbthc5] $x^2-x+7<0 => S= O/$
[/*:m:27nbthc5]
[*:27nbthc5] $x^2-x+7>0 => S= RR$
[/*:m:27nbthc5]
[*:27nbthc5] $x^2-x+7<=0 => S= O/$[/*:m:27nbthc5]
[*:27nbthc5] $x^2-x+7>=0 => S= RR$
[/*:m:27nbthc5][/list:u:27nbthc5]
Ok, ti ringrazio!
"chiaraotta":
Quindi la disequazione è
$((2x -3)(2x + 3))/(-(x - 1)(x - 5))<0$
oppure, moltiplicandola per $-1$ come mi sembra più comoda da risolvere,
$((2x -3)(2x + 3))/((x - 1)(x - 5))>0$.
Scusami, ma ho un dubbio sul fatto del moltiplicare per $ -1 $ , mi spiego.....
Se ho una disequazione scritta in questo modo:
$-((2x -3)(2x + 3))/((x - 1)(x - 5))<0$
Allora il segno $ - $ è prima della linea di frazione e quindi se moltiplico per $ -1 $ so che diventa così:
$((2x -3)(2x + 3))/((x - 1)(x - 5))>0$
Il mio dubbio è:
E' la stessa cosa se il meno si trova al $ D $ come quì?
$((2x -3)(2x + 3))/(-(x - 1)(x - 5))<0$
E' la stessa cosa se si trova il $ - $ al $ N $ ....
Ti ringrazio.
Sì, è la stessa cosa:
$-3/4=(-3)/4=3/(-4)$
$-3/4=(-3)/4=3/(-4)$
"chiaraotta":
Sì, è la stessa cosa:
$-3/4=(-3)/4=3/(-4)$
Ok, ma se ho $(-3)/4$ e lo moltiplico per $ -1 $ non dovrebbe diventare $3/(-4)$
Insomma se moltiplico $ -1 $ il numeratore che era meno diventa più ed il denominatore che era più diventa meno?
Non è così?
Grazie mille!
"Bad90":
[quote="chiaraotta"]Sì, è la stessa cosa:
$-3/4=(-3)/4=3/(-4)$
Ok, ma se ho $(-3)/4$ e lo moltiplico per $ -1 $ non dovrebbe diventare $3/(-4)$
Insomma se moltiplico $ -1 $ il numeratore che era meno diventa più ed il denominatore che era più diventa meno?
Non è così?
Grazie mille![/quote]
No.
Vedila così: la frazione indica una divisione e la moltiplicazione non gode della proprietà distributiva sulla divisione.
In modo più corretto: la notazione \(\frac{a}{b}\) indica il prodotto di \(a\) per il reciproco di \(b\) (che è ovviamente \(\frac{1}{b}\)), quindi moltiplicando per \(-1\) hai un prodotto di tre termini, ragione per cui, per le regole del prodotto, o cambi segno a tutto il prodotto, o cambi segno al numeratore o cambi segno al denominatore, ma due cose su tre assieme non le puoi fare.
Perfetto, messaggio ricevuto. Ti ringrazio.
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