Disequazione frazionaria

[Bad90]

Oggi ho iniziato a risolvere le disequazioni frazionarie, di questa non ho il risultato, ma penso sia giusta risolta così:

$ (x^2-2x)/(1-x)>0 $

Impongo in primis le $ C.E. $ , Segue $ C.E.: 1-x!=0=>-x!=-1=>x!=1 $

Segue per il numeratore:

$ (x^2-2x)>0 $

$ x(x-2)>0 $

Quindi avrò $ x>0 $ e $ x>2 $

Per il denominatore avrò

$ 1-x>0 $

$ -x> -1 $

$ x<1 $

Quindi la disequazione sarà verificata per:

$ x<0;1
Sapete che il mio dubbio è nella soluzione del denominatore, cioè, io pensavo si potesse annullare il denominatore! Ho notato che il denominatore e il numeratore, affinchè si verifichi la disequazione, devono essere discordi ed in qualunque caso bisognerà porre il Denominatore sempre $ >0 $ altrimenti non avrebbe senso un denominatore $ <0 $ che annullerebbe la frazione, ok, ma perchè non si possono annullare i denominatori e pensare come possibili soluzioni il numeratore?

Grazie mille!

[giammaria2]

Ti do anche un'altra risposta. Per la divisione (e anche per la moltiplicazione) si applica la regola dei segni trovando il segno del risultato, poi si fa la divisione fra i valori assoluti, cioè fra i numeri col segno più. Quindi
$(-12)/3=-4$; altro esempio $12/(-3)=-4$; altro ancora $(-12)/(-3)=+4$.

[Bad90]

Perfetto e ti ringrazio.

[Bad90]

Sto cercando di risolvere questa disequazione:

$ (3x+2x)/(2x-1)-(10)/(4x+2)>1 $

Ecco come ho fatto io....

$ (3x+2x)/(2x-1)-(10)/(4x+2)-1>0 $

E sono arrivato a questa:

$ (-8x^2+4x+18)/(8x^2-2)>0 $

Moltiplico per $ -1 $ e sarà:

$ (8x^2-4x-18)/(8x^2-2)<0 $

Per comodità, semplifico ulteriormente:

$ (4x^2-2x-9x)/(4x^2-1)<0 $

Ma adesso ho un problemino con il $ Delta $ del $ N $ , ecco quì:

$ Delta=4+144=148 $

Ma a quanto equivale se devo esprimerlo al quadrato? Io ho fatto così:

$ Delta=148=>2sqrt(37) $

Ma con questo $ Delta $ sono fuori dal possibile risultato!?
Dove avrò fatto l'errore?

Grazie anticipatamente!

[giammaria2]

In sé e di per sé $Delta$ potrebbe anche avere il valore che dici (e quindi $sqrt Delta$ sarebbe poco più di 12); mi pare però che tu abbia fatto qualche errore nei calcoli non postati. Io ho semplificato la disequazione iniziale riscrivendola come

$(5x)/(2x-1)-5/(2x+1)-1>0$

arrivando così a

$(6x^2-5x+6)/(4x^2-1)>0$

[Bad90]

"giammaria":In sé e di per sé $Delta$ potrebbe anche avere il valore che dici (e quindi $sqrt Delta$ sarebbe poco più di 12); mi pare però che tu abbia fatto qualche errore nei calcoli non postati. Io ho semplificato la disequazione iniziale riscrivendola come

$(5x)/(2x-1)-5/(2x+1)-1>0$

arrivando così a

$(6x^2-5x+6)/(4x^2-1)>0$

E allora rivedo il tutto, anche perchè oggi mi è capitato anche con altri esercizi questo errore di calcolo! Grazie mille!

[Bad90]

Scusami, ma ho sbagliato a scrivere la traccia, non è questa:

$ (3x+2x)/(2x-1)-(10)/(4x+2)>1 $

Ma questa:

$ (3+2x)/(2x-1)-(10)/(4x+2)>1 $

Ho fatto così:

$ (12x+6+8x^2+4x-20x+10-1(8x^2-2))/(2(4x^2-1))>0 $

$ (-4x+16-8x^2+2)/(2(4x^2-1))>0 $

$ (-8x^2-4x+18)/(2(4x^2-1))>0 $

$ (8x^2+4x-18)/(2(4x^2-1))<0 $

$ (4x^2+2x-9)/(4x^2-1)<0 $

E poi il $ Delta $ del $ N $ mi ha bloccato!

[giannirecanati]

C'è un errore di calcolo gli \(\displaystyle 8x^2 \) si eliminano.

[Bad90]

Accipicchia, errori banali. Grazie mille adesso correggo tutto.
Ecco quì:

$ (-4x+18)/(2(4x^2-1))>0 $

$ (4x-18)/(2(4x^2-1))<0 $

$ (2x-9)/(4x^2-1)<0 $

$ (2x-9)/((2x-1)(2x+1))<0 $

Segue

$ x>9/2;x>1/2,x> -1/2 $

$ S=1/2
Vi ringrazio

[Bad90]

"Bad90":Accipicchia, errori banali. Grazie mille adesso correggo tutto.
Ecco quì:

$ (-4x+18)/(2(4x^2-1))>0 $

$ (4x-18)/(2(4x^2-1))<0 $

$ (2x-9)/(4x^2-1)<0 $

$ (2x-9)/((2x-1)(2x+1))<0 $

Segue

$ x>9/2;x>1/2,x> -1/2 $

$ S=1/2
Vi ringrazio

Scusate ma mi è venuto un dubbio!

Ma se in questa disequazione si pone $ x=0 $ cosa accade? Quali affermazioni si potranno dare?

Grazie mille!

[giammaria2]

Se poni $x=0$ ottieni $(-9)/(-1*1)<0=>+9<0$, falso: quindi la zona che contiene lo zero, cioè quella dell'intervallo $(-1/2, 1/2)$ non è soluzione. I segni si alternano, quindi sono soluzioni le zone subito prima e subito dopo a questa.

[Bad90]

"giammaria":Se poni $x=0$ ottieni $(-9)/(-1*1)<0=>+9<0$, falso: quindi la zona che contiene lo zero, cioè quella dell'intervallo $(-1/2, 1/2)$ non è soluzione. I segni si alternano, quindi sono soluzioni le zone subito prima e subito dopo a questa.

Grazie mille!

[Bad90]

Risolvo questa disequazione, da premettere che il risultato fornito dal testo è $ S= O/ $ , adesso cercherò di giustificare il risultato, sperando di fornire cavolate ......

$ 1-(2x)/(x-3)>(2(2x+7))/(x-3)^2 $

$ ((x-3)^2-2x(x-3)-2(2x+7))/((x-3)^2)>0 $

$ ((x^2-6x+9-2x^2+6x-4x-14))/((x-3)(x-3))>0 $

$ (-x^2-4x-5)/((x-3)(x-3))>0 $

Moltiplico per $ -1 $ e la disequazione diventerà:

$ (x^2+4x+5)/((x-3)(x-3))<0 $

Considero il $ N>0 $ e comincio a risolvere:

$ (x^2+4x+5)>0 $

Ricavo il $ Delta $ ma mi rendo conto che è $ Delta<0 $ , precisamente

$ Delta=16-20=-4 $

Per le equazioni, si può affermare che non vi sono soluzioni in $ R $ in quanto il $ Delta<0 $ .
Nelle disequazioni cosa si può affermare?

So benissimo che alla disequazione del $ N $ , qualsiasi valore venga dato alla $ x $ si avrà sempre un risultato positivo
Es. $ x=1 $ darà:
$ 1+4+5=10 $
Es. $ x=-1 $
$ 1-4+5=2 $

La risposta che mi è venuta subito in mente è confermare il risultato $ S= O/ $ perchè $ Delta<0 $ non potranno esserci valori positivi di $ x $ , infatti se cerco le $ x $ avrò:
$ x> -3 ^^ x> -1 $ , se creo il grafico della parabola avrò che la parabola sarà nel quadrante negativo, perciò posso confermare che $ S= O/ $

Ecco il grafico della parabola:



Cosa ne dite delle spiegazioni che ho cercato di dare

Vi ringrazio anticipatamente!

[Bad90]

Sto risolvendo la seguente disequazione:

$ (1)/(2x-1)+(1)/(2x+1)>(1)/(4x^2+1+4x) $

Senza scrivere tutti i passaggi, sono arrivato alla seguente:

$ (16x^3+20x^2+4x-1)/(16x^4+16x^3-4x-1)>0 $

Ho deciso di non iniziare a risolverla con Ruffini, perchè devo pensarla come ultima possibile soluzione, quindi il $ N $ , secondo i miei calcoli, sarà così:

$ 4x(4x^2+5x+1)-1>0 $

$ (4x-1)(4x^2+5x+1)>0 $

$ (4x^2+5x+1)>0 $

Con $ x_1=-1/4=>x> -1/4 $
Con $ x_2=-1=>x> -1 $
Con $ (4x-1)>0=>x>1/4 $

Prima di continuare, ho dato uno sguardo al risultato del testo, che dice $ S=x>1/2 $ allora mi sono fermato per cercare di capire, ma mi sono reso conto di essere lontanissimo dal risultato corretto

Ho continuato per il $ D $ ma anche quì ho avuto una delusione , non sono riuscito senza Ruffini
Infatti il denominatore è:

$ 16x^4-4x+16x^3-1>0 $

$ 4x(4x^3-1)+1(16x^3-1)>0 $

$ (4x+1)(4x^3-1)(16x^3-1)>0 $

Segue, "anche se secondo me non segue"....

$ x> -1/4 ^^ x>1/root(3)(4) ^^ x>1/(2root(3)(2)) $

Insomma, perchè non vanno bene questi calcoli? Dove avrò sbagliato?

Grazie mille anticipatamente!

[Bad90]

Un attimo che forse ho fatto un caos!
Allora

$ (1)/(2x-1)+(1)/(2x+1)>(1)/(4x^2+4x+1) $

$ (1)/(2x-1)+(1)/(2x+1)-(1)/(4x^2+4x+1)>0 $

Prima di ricava il m.c.m., risolvo questa $ (4x^2+4x+1) $, quindi:

$ (4x^2+4x+1)=>(2x+1)(2x+1) $

[chiaraotta1]

Poiché $4x^2+1+4x=(2x+1)^2$, il mcm fra $2x-1$, $2x+1$ e $4x^2+1+4x$ è $(2x-1)(2x+1)^2$.
Quindi la diesquazione
$1/(2x-1)+1/(2x+1)>1/(4x^2+1+4x)$
è
$((2x+1)^2+(2x+1)(2x-1)-(2x-1))/((2x-1)(2x+1)^2)>0$
con
$x!=+-1/2$.
Semplificando si ottiene
$(4x^2+1+4x+4x^2-1-2x+1)/((2x-1)(2x+1)^2)>0$
$(8x^2+2x+1)/((2x-1)(2x+1)^2)>0$.
Il numeratore ha $Delta<0$ e quindi è $>0$ per ogni $x$.
Allora la frazione è $>0$ se è $>0$ il denominatore. Questo avviene per $x>1/2$, che quindi sono le soluzioni.

[Bad90]

Dopo 2 ore e un blocchetto di carta consumato, non mi resta che dirti, ti ringrazio

[Bad90]

"chiaraotta":Poiché $4x^2+1+4x=(2x+1)^2$, il mcm fra $2x-1$, $2x+1$ e $4x^2+1+4x$ è $(2x-1)(2x+1)^2$.
Quindi la diesquazione
$1/(2x-1)+1/(2x+1)>1/(4x^2+1+4x)$
è
$((2x+1)^2+(2x+1)(2x-1)-(2x-1))/((2x-1)(2x+1)^2)>0$
con
$x!=+-1/2$.

Scusami, ma questo $x!=+-1/2$ deriva dal $ D $ cioè $ (2x-1)(2x+1)^2>0$ quindi

$(2x-1)=>x=1/2$
$(2x+1)^2=>x^2=-1/4 ^^ x^2=1/4 $

[Bad90]

"chiaraotta":
$(8x^2+2x+1)/((2x-1)(2x+1)^2)>0$.
Il numeratore ha $Delta<0$ e quindi è $>0$ per ogni $x$.

Scusami, sono pienamente convinto che la disequazione è $>0$ per ogni $x$, perfetto, ma leggendo il mio testo ho letto che:

Se $ a>0 ^^ Delta<0 $
- L'ordinata del vertice è positiva
- La parabola non ha alcun punto di intersezione con l'asse $ x $
- Per ogni valore di x, risulta $ y>0 $

Da quello che viene detto in queste ultime riga, si dovrebbe avere una parabola del genere:


Adesso se faccio il grafico della parabola della seguente disequazione $ 8x^2+2x+1>0 $ mi viene fuori questo:


Potreste cortesemente aiutarmi a capire le due cose?

Mi sta venendo un caos in testa!

Grazie mille!

[Bad90]

"chiaraotta":
Allora la frazione è $>0$ se è $>0$ il denominatore. Questo avviene per $x>1/2$, che quindi sono le soluzioni.

Volevo dire che il significato del seguente risultato, sono riuscito a comprenderlo solo ragionando su queste affermazioni, ma se tentavo di risolvere meccanicamente la disequazione, con le solite tecniche, non riuscivo a trarre una equa conclusione.
Voi dite che è normale!?!?!

Grazie mille!

[giammaria2]

Per la disequazione delle ore 7,06: d'accordo fino a
$(x^2+4x+5)/((x-3)^2)<0$
e sul fatto che il numeratore è sempre positivo. Il denominatore, essendo un quadrato, è sempre positivo o nullo; l'ultimo caso origina una disequazione senza senso e quindi va escluso. Di conseguenza l'intera frazione è positiva e la disequazione non è mai verificata.
Se tu avessi avuto
$(x^2+4x+5)/((x-3)^2)>0$
avresti invece dovuto dire: è sempre verificata ( quindi $RR$), purché non perda senso: occorre che sia $x!=3$.
Non capisco poi dove hai pescato il tuo $x> -3 \wedge x> -1$: non vedo nulla che possa giustificare questi numeri.