Disequazione frazionaria?
salve
$(2x-1)/(x-2)-(x-3)/(3x-6)=<0$
mcm=$(x-2)(3x-2)$
bene?
$(5x^2-10x)/(x-2)(3x-6)$
$(2x-1)/(x-2)-(x-3)/(3x-6)=<0$
mcm=$(x-2)(3x-2)$
bene?
$(5x^2-10x)/(x-2)(3x-6)$
Risposte
Quali due risultati? Ce n'è uno solo cioè $1/3$; da dove ricavi l'altro?
Quando hai la funzione valore assoluto DEVI prendere l'argomento del valore assoluto (cioè prendi l'espressione compresa tra le stanghette) e fare una disequazione con quello. E' sufficiente che ne fai una, ponendolo maggiore di zero per esempio così $3x-1>0$. Risolvendola trovi un numero, UNO SOLO, che fa da discrimine tra i numeri, dividendo tutti i numeri in due gruppi: quelli maggiori del discrimine e quelli minori del discrimine.
Per ciascuno dei due gruppi di numeri VALE una sola tra queste due espressioni: o l'argomento rimane così com'è o prendi l'opposto dell'argomento.
L'argomento rimane così com'è quando l'argomento stesso è MAGGIORE di zero.
Prendi l'opposto dell'argomento (cioè lo cambi tutto di segno) quando l'argomento stesso è MINORE di zero.
Quando hai la funzione valore assoluto DEVI prendere l'argomento del valore assoluto (cioè prendi l'espressione compresa tra le stanghette) e fare una disequazione con quello. E' sufficiente che ne fai una, ponendolo maggiore di zero per esempio così $3x-1>0$. Risolvendola trovi un numero, UNO SOLO, che fa da discrimine tra i numeri, dividendo tutti i numeri in due gruppi: quelli maggiori del discrimine e quelli minori del discrimine.
Per ciascuno dei due gruppi di numeri VALE una sola tra queste due espressioni: o l'argomento rimane così com'è o prendi l'opposto dell'argomento.
L'argomento rimane così com'è quando l'argomento stesso è MAGGIORE di zero.
Prendi l'opposto dell'argomento (cioè lo cambi tutto di segno) quando l'argomento stesso è MINORE di zero.
deve essere sempre maggiore di 0?
Se rispondi sempre così, andiamo avanti fino a domani (non che manchi molto ...).
Il soggetto di quella frase qual è?
Cosa significa "sempre"? Riferito a che? Normalmente in matematica non esiste "sempre", se non legato a qualche condizione specifica.
Il soggetto di quella frase qual è?
Cosa significa "sempre"? Riferito a che? Normalmente in matematica non esiste "sempre", se non legato a qualche condizione specifica.
allora con $3x-1$
$3x-1<0$
$3x-1>0$
da qui cosa devo fare? è giusto ciò che ho scritto?
grazie scusa il disturbo
$3x-1<0$
$3x-1>0$
da qui cosa devo fare? è giusto ciò che ho scritto?
grazie scusa il disturbo
Con la prima riga intendi il valore assoluto?
Cioè $|3x-1|$?
Cioè $|3x-1|$?
si
Ok, allora quello che devi fare è SDOPPIARE quell'espressione cioè al posto del valore assoluto (cioè questo $|3x-1|$), nell'equazione originale, dovrai scrivere due espressioni diverse: una uguale all'argomento del valore assoluto (cioè questa $3x-1$) e l'altra uguale al suo opposto (cioè questo $-(3x-1)=1-3x$).
In questo modo al posto dell'equazione originale ne ottieni DUE, che devo risolvere.
Questo tu lo hai fatto CORRETTAMENTE all'inzizio.
MA ... c'è un MA grande come una casa ... CONTEMPORANEAMENTE devi risolvere una disequazione, e cioè devi vedere dove l'argomento del valore assoluto è positivo (e dove non lo è).
Per fare questo devi solo risolvere questa disequazione $3x-1>=0$.
Perché devi fare questo? Perché la prima delle due equazioni è VALIDA solo per i valori che RISOLVONO questa disequazione, mentre la seconda è VALIDA solo per gli ALTRI valori.
Se vuoi, fai una retta, segna il VALORE che è soluzione della disequazione, ed evidenzia in un modo la parte di retta che risolve la disequazione, evidenzia in un modo diverso la restante parte.
ESEMPIO
$4x+|3x-1|=6$
questa si sdoppia così:
$4x+3x-1=6$
$4x-3x+1=6$
Le soluzioni sono:
$x=1$ per la prima
$x=5$ per la seconda
MA come abbiamo detto, va risolta anche questa:
$3x-1>=0$
la cui soluzione è:
$x>=1/3$
Allora scriviamo la retta, mettiamo il punto e segno con le lineette dove $x>=1/3$ (la soluzione) mentre con gli asterischi l'altra parte.
$******************(1/3)---------------------$
La validità della prima equazione è la linea con lineette; la sua soluzione cioè $x=1$ si trova da quella parte? Sì, allora soluzione ACCETTABILE
La validità della seconda equazione è la linea con asterischi; la sua soluzione cioè $x=5$ si trova da quella parte? No, allora soluzione NON ACCETTABILE
In questo modo al posto dell'equazione originale ne ottieni DUE, che devo risolvere.
Questo tu lo hai fatto CORRETTAMENTE all'inzizio.
MA ... c'è un MA grande come una casa ... CONTEMPORANEAMENTE devi risolvere una disequazione, e cioè devi vedere dove l'argomento del valore assoluto è positivo (e dove non lo è).
Per fare questo devi solo risolvere questa disequazione $3x-1>=0$.
Perché devi fare questo? Perché la prima delle due equazioni è VALIDA solo per i valori che RISOLVONO questa disequazione, mentre la seconda è VALIDA solo per gli ALTRI valori.
Se vuoi, fai una retta, segna il VALORE che è soluzione della disequazione, ed evidenzia in un modo la parte di retta che risolve la disequazione, evidenzia in un modo diverso la restante parte.
ESEMPIO
$4x+|3x-1|=6$
questa si sdoppia così:
$4x+3x-1=6$
$4x-3x+1=6$
Le soluzioni sono:
$x=1$ per la prima
$x=5$ per la seconda
MA come abbiamo detto, va risolta anche questa:
$3x-1>=0$
la cui soluzione è:
$x>=1/3$
Allora scriviamo la retta, mettiamo il punto e segno con le lineette dove $x>=1/3$ (la soluzione) mentre con gli asterischi l'altra parte.
$******************(1/3)---------------------$
La validità della prima equazione è la linea con lineette; la sua soluzione cioè $x=1$ si trova da quella parte? Sì, allora soluzione ACCETTABILE
La validità della seconda equazione è la linea con asterischi; la sua soluzione cioè $x=5$ si trova da quella parte? No, allora soluzione NON ACCETTABILE
cosa intendi per valore assoluto positivo o negativo?
vengono 2 valori: $x>1/3$
$x<1/3$
vengono 2 valori: $x>1/3$
$x<1/3$
Non ho parlato di valore assoluto positivo o negativo ma dell'ARGOMENTO del valore assoluto che può essere positivo o negativo; l'ARGOMENTO del valore assoluto è tutto quello compreso tra le stanghette.
Per essere precisi, non è che ti vengono due valori, ma uno solo ($1/3$); invece ci sono due intervalli: uno alla destra di $1/3$ cioè i valori maggiori di $x$ (cioè $x>1/3$) ed uno alla sinistra di $1/3$ cioè i valori minori di $x$ (cioè $x<1/3$)
Per essere precisi, non è che ti vengono due valori, ma uno solo ($1/3$); invece ci sono due intervalli: uno alla destra di $1/3$ cioè i valori maggiori di $x$ (cioè $x>1/3$) ed uno alla sinistra di $1/3$ cioè i valori minori di $x$ (cioè $x<1/3$)
devo calcolare quindi sempre i 2 valori?
Il valore e' uno solo, gli intervalli di validità sono due, un intervallo di validità per ciascuna equazione che ti esce dallo sdoppiamento del valore assoluto
scusa ancora il disturbo, ho 2 risultati x=1 x=5, da qui come proseguo?
Devi SOLO verificare se i risultati sono accettabili, cioè devi verificare se ciascuna soluzione rientra nell'intervallo di validità della rispettiva equazione.
In altri termini la soluzione $x=1$ è relativa alla prima equazione il cui intervallo di validità è $x>1/3$: la soluzione che hai trovato RIENTRA (è compresa) in questo intervallo (cioè i numeri MAGGIORI di $1/3$) ? Se sì, la tieni, se no, la butti.
Fai lo stesso con l'altra soluzione: la soluzione della seconda equazione ($x=5$) rientra nell'intervallo di validità di questa ($x<1/3$): se sì, la tieni, se no, la butti. Ok?
In altri termini la soluzione $x=1$ è relativa alla prima equazione il cui intervallo di validità è $x>1/3$: la soluzione che hai trovato RIENTRA (è compresa) in questo intervallo (cioè i numeri MAGGIORI di $1/3$) ? Se sì, la tieni, se no, la butti.
Fai lo stesso con l'altra soluzione: la soluzione della seconda equazione ($x=5$) rientra nell'intervallo di validità di questa ($x<1/3$): se sì, la tieni, se no, la butti. Ok?
perchè la prima soluzione x=1è relativa alla prima equazione?
Perché è la soluzione della prima equazione (questa $4x+3x-1=6$)
allora ora la scrivo completa
$3x-1>0$
$-3x+1<0$
$x=1$
$x=5$
ora calcolo $x>1/3$
$x>1/3$
$3x-1>0$
$-3x+1<0$
$x=1$
$x=5$
ora calcolo $x>1/3$
$x>1/3$
Una scrittura "completa" sarebbe questa:
Equazione con valore assoluto:
$4x+|3x-1|=6$
Per "togliere" il valore assoluto "spezziamo" in due la nostra equazione, ottenendo DUE sistemi:
${(3x-1>=0),(4x+3x-1=6):}$ $vv$ ${(3x-1<0),(4x-3x+1=6):}$
Risolvendo questi DUE sistemi, trovo le seguenti soluzioni:
${(x>=1/3),(x=1):}$ $vv$ ${(x<1/3),(x=5):}$
La soluzione del prima sistema è $x=1$ mentre il secondo NON ha soluzioni (impossibile).
L'unione delle soluzioni dei DUE sistemi mi dà la soluzione dell'equazione iniziale.
Equazione con valore assoluto:
$4x+|3x-1|=6$
Per "togliere" il valore assoluto "spezziamo" in due la nostra equazione, ottenendo DUE sistemi:
${(3x-1>=0),(4x+3x-1=6):}$ $vv$ ${(3x-1<0),(4x-3x+1=6):}$
Risolvendo questi DUE sistemi, trovo le seguenti soluzioni:
${(x>=1/3),(x=1):}$ $vv$ ${(x<1/3),(x=5):}$
La soluzione del prima sistema è $x=1$ mentre il secondo NON ha soluzioni (impossibile).
L'unione delle soluzioni dei DUE sistemi mi dà la soluzione dell'equazione iniziale.
devo prendere sempre la x maggiore di 0?
Cosa vuoi dire con questo? Spiegati meglio e più dettagliatamente.
la prima perchè maggiore di 0 giusto?
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