Disequazione di valore assoluto
Vi volevo chiedere se ho risolto bene questa disequazione. Devo risolvere:
$|(3^(2x) + 1)/(3^(2x) - 1)| - 1 > 0$
Ho fatto prima $x > 0$
$(3^(2x) + 1 - 3^(2x) + 1)/(3^(2x) - 1) > 0$
Ho messo a sistema numeratore e denominatore con annessa regola dei segni per trovare le parti positive, e mi viene $x > 0$.
Poi ho fatto con $x < 0$, qui soprattutto non so se ho fatto bene quindi vi scrivo più passaggi:
$(- 3^(2x) - 1 + 3^(2x) - 1)/(- 3^(2x) + 1) > 0$
Mettendo a sistema numeratore e denominatore mi viene $-2 > 0$ per il numeratore ( mai verificato ) e $x < 0$ per il denominatore. Quindi, anche qui ( prendendo le parti positive per la regola dei segni ) mi ruslta $x > 0$.
Tutto corretto?
$|(3^(2x) + 1)/(3^(2x) - 1)| - 1 > 0$
Ho fatto prima $x > 0$
$(3^(2x) + 1 - 3^(2x) + 1)/(3^(2x) - 1) > 0$
Ho messo a sistema numeratore e denominatore con annessa regola dei segni per trovare le parti positive, e mi viene $x > 0$.
Poi ho fatto con $x < 0$, qui soprattutto non so se ho fatto bene quindi vi scrivo più passaggi:
$(- 3^(2x) - 1 + 3^(2x) - 1)/(- 3^(2x) + 1) > 0$
Mettendo a sistema numeratore e denominatore mi viene $-2 > 0$ per il numeratore ( mai verificato ) e $x < 0$ per il denominatore. Quindi, anche qui ( prendendo le parti positive per la regola dei segni ) mi ruslta $x > 0$.
Tutto corretto?
Risposte
No, non è corretto. I casi da distinguere non sono $x>0$ (e analoga) ma $(3^(2x)+1)/(3^(2x)-1)>0$ (e analoga).
Per evitare troppi calcoli, ti suggerisco di notare che $3^(2x)+1$ è la somma di due numeri positivi e quindi positiva; puoi quindi scrivere il tutto come
$(3^(2x)+1)/|(3^(2x)-1)|-1>0->(3^(2x)+1-|(3^(2x)-1)|)/(|(3^(2x)-1)|)>0$
Il denominatore è un valore assoluto e quindi certo positivo, tranne quando si annulla; escludendo che questo succeda, devi considerare il segno del numeratore nei casi $3^(2x)-1>0$ e $3^(2x)-1<0$
Per evitare troppi calcoli, ti suggerisco di notare che $3^(2x)+1$ è la somma di due numeri positivi e quindi positiva; puoi quindi scrivere il tutto come
$(3^(2x)+1)/|(3^(2x)-1)|-1>0->(3^(2x)+1-|(3^(2x)-1)|)/(|(3^(2x)-1)|)>0$
Il denominatore è un valore assoluto e quindi certo positivo, tranne quando si annulla; escludendo che questo succeda, devi considerare il segno del numeratore nei casi $3^(2x)-1>0$ e $3^(2x)-1<0$
"giammaria":
No, non è corretto. I casi da distinguere non sono $x>0$ (e analoga) ma $(3^(2x)+1)/(3^(2x)-1)>0$ (e analoga).
Per evitare troppi calcoli, ti suggerisco di notare che $3^(2x)+1$ è la somma di due numeri positivi e quindi positiva; puoi quindi scrivere il tutto come
$(3^(2x)+1)/|(3^(2x)-1)|-1>0->(3^(2x)+1-|(3^(2x)-1)|)/(|(3^(2x)-1)|)>0$
Il denominatore è un valore assoluto e quindi certo positivo, tranne quando si annulla; escludendo che questo succeda, devi considerare il segno del numeratore nei casi $3^(2x)-1>0$ e $3^(2x)-1<0$
@Mr.Mazzarr
Ti ricordo inoltre le "regole brevi" per i valori assoluti:
$|f(x)| < "numero" rArr -"numero" < f(x) < "numero"$
$|f(x)| > "numero" rArr f(x) < -"numero" vv f(x) > "numero"$
"giammaria":
No, non è corretto. I casi da distinguere non sono $x>0$ (e analoga) ma $(3^(2x)+1)/(3^(2x)-1)>0$ (e analoga).
Per evitare troppi calcoli, ti suggerisco di notare che $3^(2x)+1$ è la somma di due numeri positivi e quindi positiva; puoi quindi scrivere il tutto come
$(3^(2x)+1)/|(3^(2x)-1)|-1>0->(3^(2x)+1-|(3^(2x)-1)|)/(|(3^(2x)-1)|)>0$
Il denominatore è un valore assoluto e quindi certo positivo, tranne quando si annulla; escludendo che questo succeda, devi considerare il segno del numeratore nei casi $3^(2x)-1>0$ e $3^(2x)-1<0$
Considerando che si parla di valore assoluto rapportato ad un altro numero non in valore assoluto ( in questo caso $-1$ ), non posso seguire le regole che ha postato minomic ?
E riguardo il tuo post, se ho interpretato bene devo semplicemente considerare prima $f(x) > 0$ e poi $f(x) < 0$, giusto ? Però con quel $-1$ come mi comporto?
"Mr.Mazzarr":
[quote="giammaria"]No, non è corretto. I casi da distinguere non sono $x>0$ (e analoga) ma $(3^(2x)+1)/(3^(2x)-1)>0$ (e analoga).
Per evitare troppi calcoli, ti suggerisco di notare che $3^(2x)+1$ è la somma di due numeri positivi e quindi positiva; puoi quindi scrivere il tutto come
$(3^(2x)+1)/|(3^(2x)-1)|-1>0->(3^(2x)+1-|(3^(2x)-1)|)/(|(3^(2x)-1)|)>0$
Il denominatore è un valore assoluto e quindi certo positivo, tranne quando si annulla; escludendo che questo succeda, devi considerare il segno del numeratore nei casi $3^(2x)-1>0$ e $3^(2x)-1<0$
Considerando che si parla di valore assoluto rapportato ad un altro numero non in valore assoluto ( in questo caso $-1$ ), non posso seguire le regole che ha postato minomic ?
E riguardo il tuo post, se ho interpretato bene devo semplicemente considerare prima $f(x) > 0$ e poi $f(x) < 0$, giusto ? Però con quel $-1$ come mi comporto?[/quote]
Sì puoi seguire quelle regole brevi o il procedimento di giammaria, però tieni presenti che le "mie" regole sono comunque derivate dal procedimento classico... non invento nulla di nuovo!
Per quanto riguarda $f(x) > 0$ dovrai risolvere $3^(2x) > 1 rarr 3^(2x) > 3^0 rarr 2x > 0 rarr x > 0$.
Puoi senz'altro seguire la regola postata da minomic; io ho preferito non usarla perché mi sembrava più lungo ma, ripensandoci, forse non lo è.
Riguardo al mio post, il $-1$ è già scomparso dando denominatore comune; devi solo proseguire considerando
${(3^(2x)-1>0),(3^(2x)+1-(3^(2x)-1)>0):} vv {(3^(2x)-1<0),(3^(2x)+1+(3^(2x)-1)>0):}$
La mia soluzione è $x!=0$
Riguardo al mio post, il $-1$ è già scomparso dando denominatore comune; devi solo proseguire considerando
${(3^(2x)-1>0),(3^(2x)+1-(3^(2x)-1)>0):} vv {(3^(2x)-1<0),(3^(2x)+1+(3^(2x)-1)>0):}$
La mia soluzione è $x!=0$
"giammaria":
La mia soluzione è $x!=0$
Giustissimo!
Riguardo alla velocità credo che in questo caso fosse meglio il procedimento di giammaria per le semplificazioni al numeratore che lasciano sempre quantità positive. Comunque ci sono casi in cui sapere quelle regole aiuta (parecchio) e quindi volevo ricordartele!
Quindi, col senno di poi ditemi se ho fatto bene:
$|(3^(2x)+1)/(3^(2x)-1)| -1$ $>0$
$(3^(2x)+1)/(3^(2x)-1) < -1$ $uu$ $(3^(2x)+1)/(3^(2x)-1) > 1$
Ed ho risolto singolarmente le disequazioni. Nel primo caso:
$(3^(2x) + 1 + 3^(2x) -1)/(3^(2x) - 1) < 0$
Solo che al denominatore mi trovo $3^(2x) -1 < 0$, come lo risolvo per trovare la x?
$|(3^(2x)+1)/(3^(2x)-1)| -1$ $>0$
$(3^(2x)+1)/(3^(2x)-1) < -1$ $uu$ $(3^(2x)+1)/(3^(2x)-1) > 1$
Ed ho risolto singolarmente le disequazioni. Nel primo caso:
$(3^(2x) + 1 + 3^(2x) -1)/(3^(2x) - 1) < 0$
Solo che al denominatore mi trovo $3^(2x) -1 < 0$, come lo risolvo per trovare la x?
"minomic":
Per quanto riguarda $f(x) > 0$ dovrai risolvere $3^(2x) > 1 rarr 3^(2x) > 3^0 rarr 2x > 0 rarr x > 0$.
Qui hai il $<$ quindi cambia solo il segno!
"Mr.Mazzarr":
$(3^(2x) + 1 + 3^(2x) -1)/(3^(2x) - 1) < 0$
Solo che al denominatore mi trovo $3^(2x) -1 < 0$
Spero che il tuo ragionamento sia stato "Poiché il numeratore è sempre positivo, mi basta imporre che il denominatore sia negativo": se è così, è giusto.
Se invece intendi usare la solita regola dei segni, ti ricordo che anche una disequazione del tipo $N/D<0$ si risolve con le disequazioni $N>0$ e $D>0$, cercando poi il meno.
Si avevo fatto quel ragionamento, col senno di poi forse mi conviene fare la regola dei segni. Più tranquilla.
comunque $3^(2x)$ l'ho risolto come $9^x$, quindi $log_9(1) > x$ e quindi $x < 0$.
comunque $3^(2x)$ l'ho risolto come $9^x$, quindi $log_9(1) > x$ e quindi $x < 0$.
"Mr.Mazzarr":
Si avevo fatto quel ragionamento, col senno di poi forse mi conviene fare la regola dei segni. Più tranquilla.
comunque $3^(2x)$ l'ho risolto come $9^x$, quindi $log_9(1) > x$ e quindi $x < 0$.
Certo il risultato è lo stesso, ma si poteva evitare di scomodare i logaritmi:
$3^(2x) < 1 rarr 3^(2x) < 3^0 rarr x < 0$
PS. E' molto importante imparare a capire subito quando il segno di una certa quantità è determinato. Ti faccio questo esempio: \[ \sqrt{x^2+1} > -|x-1| \]Cosa mi dici di questa?
Eh beh.. Io direi:
$ - sqrt(x^2 + 1) < - (x - 1) < sqrt(x^2 + 1)$
No ?
$ - sqrt(x^2 + 1) < - (x - 1) < sqrt(x^2 + 1)$
No ?
"Mr.Mazzarr":
Eh beh.. Io direi:
$ - sqrt(x^2 + 1) < - (x - 1) < sqrt(x^2 + 1)$
No ?
Attenzione! La disequazione che ho postato era volutamente particolare...
Per prima cosa abbiamo $sqrt(x^2+1)$ dove $x^2+1$ è sempre positivo (somma di due quadrati), quindi questa radice esiste sempre. Ma una radice di indice pari è sempre positiva (quando esiste, ovviamente). A destra abbiamo un valore assoluto, quindi una cosa sempre $>= 0$, con un segno $-$ davanti. In conclusione ci stiamo chiedendo quando una quantità positiva è maggiore di una quantità negativa (o nulla). Risposta: $AA x in RR$.
PS. La regola breve si può applicare solo quando a destra c'è un numero, non una funzione di $x$.
Ah ok. Il tuo ragionamento è: ho a confronto una funzione sempre positiva quando esiste con un'altra funzione sempre positiva che diventa negativa per il segno $-$ posto prima. $vv x in R$.
Se non ci fosse stato il segno $-$, direi che sarebbe stato un normale confronto tra due quantità sempre positive. No?
Se non ci fosse stato il segno $-$, direi che sarebbe stato un normale confronto tra due quantità sempre positive. No?
"Mr.Mazzarr":
Ah ok. Il tuo ragionamento è: ho a confronto una funzione sempre positiva quando esiste con un'altra funzione sempre positiva che diventa negativa per il segno $-$ posto prima. $vv x in R$.
Se non ci fosse stato il segno $-$, direi che sarebbe stato un normale confronto tra due quantità sempre positive. No?
Esatto, e in quel caso si sarebbe dovuto elevare entrambi i membri al qudrato.
Nota invece che in questo caso era sbagliato farlo!! Questo per il discorso che $1 > -3$ ma non è vero che $1^2 > (-3)^2$.
Aspetta però, nel caso in cui non ci fosse stato il - non avrei dovuto lavorare con una disequazione irrazionale? Ho una radice pari rapportata in disequazione ad una non radice!
E poi scusa, ma elevando al quadrato il valore assoluto alla fine si tratta di elevare al quadrato la funzione senza considerare i simboli di valore assoluto, no? Tanto il quadrato è sempre una quantità positiva.
E poi scusa, ma elevando al quadrato il valore assoluto alla fine si tratta di elevare al quadrato la funzione senza considerare i simboli di valore assoluto, no? Tanto il quadrato è sempre una quantità positiva.
"Mr.Mazzarr":
Aspetta però, nel caso in cui non ci fosse stato il - non avrei dovuto lavorare con una disequazione irrazionale? Ho una radice pari rapportata in disequazione ad una non radice!
E poi scusa, ma elevando al quadrato il valore assoluto alla fine si tratta di elevare al quadrato la funzione senza considerare i simboli di valore assoluto, no? Tanto il quadrato è sempre una quantità positiva.
Bastava elevare al quadrato poichè la radice esiste sempre, visto che $x^2+1 > 0$ $ AA x in RR$.
Quando fai il quadrato il valore assoluto si trascura.
Sarebbe stato $x^2 + 1 > x^2 + 1 - 2x rarr x > 0$.
Quindi..
$| 4^x + 4^(2x) | > 3$
$4^x + 4^(2x)<-3$ $uu$ $4^x + 4^(2x)>3$
Solo una domanda, come risolvo una disequazione del tipo $4^x + 4^(2x) < -3$ ?
$| 4^x + 4^(2x) | > 3$
$4^x + 4^(2x)<-3$ $uu$ $4^x + 4^(2x)>3$
Solo una domanda, come risolvo una disequazione del tipo $4^x + 4^(2x) < -3$ ?
"Mr.Mazzarr":
Quindi..
$| 4^x + 4^(2x) | > 3$
$4^x + 4^(2x)<-3$ $uu$ $4^x + 4^(2x)>3$
Solo una domanda, come risolvo una disequazione del tipo $4^x + 4^(2x) < -3$ ?
$4^x + 4^(2x) < -3$ è impossibile perchè ci stiamo chiedendo quando una quantità positiva (somma di due esponenziali) è minore di una quantità negativa.
Si potrà quindi risolvere solo l'altra, ad esempio ponendo $4^x = t$.
Quindi quel caso non è mai verificato, giusto?
Mentre se fosse stato $4^x - 4^(2x) > 3$ ? Come avrei potuto risolvere per trovare la $x$ ?
Mentre se fosse stato $4^x - 4^(2x) > 3$ ? Come avrei potuto risolvere per trovare la $x$ ?
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