Disequazione di valore assoluto
Vi volevo chiedere se ho risolto bene questa disequazione. Devo risolvere:
$|(3^(2x) + 1)/(3^(2x) - 1)| - 1 > 0$
Ho fatto prima $x > 0$
$(3^(2x) + 1 - 3^(2x) + 1)/(3^(2x) - 1) > 0$
Ho messo a sistema numeratore e denominatore con annessa regola dei segni per trovare le parti positive, e mi viene $x > 0$.
Poi ho fatto con $x < 0$, qui soprattutto non so se ho fatto bene quindi vi scrivo più passaggi:
$(- 3^(2x) - 1 + 3^(2x) - 1)/(- 3^(2x) + 1) > 0$
Mettendo a sistema numeratore e denominatore mi viene $-2 > 0$ per il numeratore ( mai verificato ) e $x < 0$ per il denominatore. Quindi, anche qui ( prendendo le parti positive per la regola dei segni ) mi ruslta $x > 0$.
Tutto corretto?
$|(3^(2x) + 1)/(3^(2x) - 1)| - 1 > 0$
Ho fatto prima $x > 0$
$(3^(2x) + 1 - 3^(2x) + 1)/(3^(2x) - 1) > 0$
Ho messo a sistema numeratore e denominatore con annessa regola dei segni per trovare le parti positive, e mi viene $x > 0$.
Poi ho fatto con $x < 0$, qui soprattutto non so se ho fatto bene quindi vi scrivo più passaggi:
$(- 3^(2x) - 1 + 3^(2x) - 1)/(- 3^(2x) + 1) > 0$
Mettendo a sistema numeratore e denominatore mi viene $-2 > 0$ per il numeratore ( mai verificato ) e $x < 0$ per il denominatore. Quindi, anche qui ( prendendo le parti positive per la regola dei segni ) mi ruslta $x > 0$.
Tutto corretto?
Risposte
"Mr.Mazzarr":
Quindi quel caso non è mai verificato, giusto?
Mentre se fosse stato $4^x - 4^(2x) > 3$ ? Come avrei potuto risolvere per trovare la $x$ ?
Quel caso non è mai verificato, ma resta da risolvere l'altro, cioè $4^x + 4^(2x) > 3$.
Sia questo sia l'ultimo che hai postato si risolvono ponendo $4^x = t$.
Svolgo quello dell'esercizio precedente: $4^x + 4^(2x) > 3 rarr t + t^2 - 3 > 0 rarr t^2+t-3 > 0$
$t_{1,2} = (-1 +- sqrt(13))/2$ e si prendono i valori esterni, quindi $t < (-1-sqrt13)/2 vv t > (-1+sqrt13)/2$.
Ora torno alle $x$ ricordando che avevamo posto $4^x = t$ quindi
$4^x < (-1-sqrt13)/2 vv 4^x > (-1+sqrt13)/2$.
La prima è sicuramente impossibile poichè un'esponenziale non sarà mai minore di un negativo. Dalla seconda si ricava $x > log_4 (-1+sqrt13)/2$ che è un numero ($~~0.1908$).
Certo, considerando che si parla di disequazione e quindi lavoro su rette, non è molto bello il logaritmo che è venuto fuori 
"Mr.Mazzarr":
Certo, considerando che si parla di disequazione e quindi lavoro su rette, non è molto bello il logaritmo che è venuto fuori
Eh lo so però bisogna imparare che sono numeri anche quelli! Tanti si "spaventano" e pensano che siano incognite o altre cose strane, mentre in realtà sono numeri come lo sono $2$, $3$, ...
Ditemi se mi viene perfavore:
$4^x - 4^(2x) < -3$ $uu$ $4^x - 4^(2x) > 3$
Dalla prima disequazione ho:
$x < log_4((1-sqrt(13))/2)$ $uu$ $x > log_4((1+sqrt(13))/2)$
Dalla seconda disequzione ho un delta negativo con $a > 0$, quindi è per ogni x in tutto l insieme R.
$4^x - 4^(2x) < -3$ $uu$ $4^x - 4^(2x) > 3$
Dalla prima disequazione ho:
$x < log_4((1-sqrt(13))/2)$ $uu$ $x > log_4((1+sqrt(13))/2)$
Dalla seconda disequzione ho un delta negativo con $a > 0$, quindi è per ogni x in tutto l insieme R.
Ritornano i demoni del valore assoluto.
Ditemi, per favore, se è corretto ragionamento e svolgimento:
$| logx | > 0$
I casi da distinguere sono:
$logx > 0$
$logx < 0$
Quindi il risultato è $x in ]-oo, 1[ uu ]1, +oo[$
Ditemi, per favore, se è corretto ragionamento e svolgimento:
$| logx | > 0$
I casi da distinguere sono:
$logx > 0$
$logx < 0$
Quindi il risultato è $x in ]-oo, 1[ uu ]1, +oo[$
$| logx | > 0$
Il valore assouto di una quantità è sempre maggiore di zero, tranne quando questa quantità si annulla. Quindi qui devi semplicemente imporre $x>0$ per l'esistenza e $x != 1$ affinche $log x$ non si annulli. Tutto qui!
Il valore assouto di una quantità è sempre maggiore di zero, tranne quando questa quantità si annulla. Quindi qui devi semplicemente imporre $x>0$ per l'esistenza e $x != 1$ affinche $log x$ non si annulli. Tutto qui!
Giusto. Mi sono stampato le varie casistiche da Wikipedia.
"minomic":
@Mr.Mazzarr
Ti ricordo inoltre le "regole brevi" per i valori assoluti:
$|f(x)| < "numero" rArr -"numero" < f(x) < "numero"$
$|f(x)| > "numero" rArr f(x) < -"numero" vv f(x) > "numero"$
Ciao,
Ho da poco finito di studiare Analisi 0 di Giuseppe de Marco (mi sto preparando all'esame di ammissione ad ingegneria a milano) e tra i vari accenni che fa non ho trovato questa regola... puoi darmi un indizio su come fare a dimostrala?
Ciao, in realtà è una semplice "contrazione" del metodo canonico per i valori assoluti.
Ad esempio si voglia risolvere $$|f(x)| > k,\ k>0.$$ Applicando la definizione di valore assoluto sappiamo che la soluzione si trova come $$
\begin{cases}
f(x) \ge 0 \\ f(x) > k
\end{cases} \qquad \cup \qquad
\begin{cases}
f(x) < 0 \\ -f(x) > k \Rightarrow f(x) < -k
\end{cases}
$$ La soluzione del primo sistema è ovviamente $f(x) > k$ mentre quella del secondo è $f(x) < -k$ da cui la "regola".
Si procede analogamente nel caso $$|f(x)| < k,\ k > 0$$
Ad esempio si voglia risolvere $$|f(x)| > k,\ k>0.$$ Applicando la definizione di valore assoluto sappiamo che la soluzione si trova come $$
\begin{cases}
f(x) \ge 0 \\ f(x) > k
\end{cases} \qquad \cup \qquad
\begin{cases}
f(x) < 0 \\ -f(x) > k \Rightarrow f(x) < -k
\end{cases}
$$ La soluzione del primo sistema è ovviamente $f(x) > k$ mentre quella del secondo è $f(x) < -k$ da cui la "regola".
Si procede analogamente nel caso $$|f(x)| < k,\ k > 0$$
"minomic":
Ciao, in realtà è una semplice "contrazione" del metodo canonico per i valori assoluti.
Ad esempio si voglia risolvere $$|f(x)| > k,\ k>0.$$ Applicando la definizione di valore assoluto sappiamo che la soluzione si trova come $$
\begin{cases}
f(x) \ge 0 \\ f(x) > k
\end{cases} \qquad \cup \qquad
\begin{cases}
f(x) < 0 \\ -f(x) > k \Rightarrow f(x) < -k
\end{cases}
$$ La soluzione del primo sistema è ovviamente $f(x) > k$ mentre quella del secondo è $f(x) < -k$ da cui la "regola".
Si procede analogamente nel caso $$|f(x)| < k,\ k > 0$$
Ecco adesso mi è tutto moooolto più chiaro, grazie mille
Prego, figurati!
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