Derivate:dubbi...
sembrerà strano che proprio io chieda aiuto in matematica....siccome il mio prof nn ha spiegato le derivate ma ha dato da farle a casa nn ho capito bene alcuni passaggi...posto un es e vi dico cosa nn ho capito...
i meii dubbi sono:
1-dopo che ho derivato il logaritmo e il quoziente in cui la radice è cmq derivata devo derivare ancora la radice??
2-se la radice è al denominatore la formula di derivazione è inversa?
3-quando devo derivare
grazie mille!!!:hi
[math]y=\ln \frac{x-1}{\sqrt{x^2+x+1}}-\sqrt{3}arc tg \frac{2x+1}{\sqrt{3}}[/math]
i meii dubbi sono:
1-dopo che ho derivato il logaritmo e il quoziente in cui la radice è cmq derivata devo derivare ancora la radice??
2-se la radice è al denominatore la formula di derivazione è inversa?
3-quando devo derivare
[math]x^2+x+1[/math]
, visto che questo è al denominatore devo moltiplicare per [math]\sqrt{1}{2x+1} [/math]
oppure per [math]2x+1[/math]
???grazie mille!!!:hi
Risposte
aiuto..qual è
quindi cm sarebbe la derivazione del primo addendo??
[math]f(z)'[/math]
?quindi cm sarebbe la derivazione del primo addendo??
Aspetta... sto completando.
Ho tolto Z perché forse ti confondeva.
Ho tolto Z perché forse ti confondeva.
grazie mille!!!cmq è molto bravo sl che eravamo indietro col programma e ha dato da fare a casa..riesco a fare più es...però non quelli in cui ho questi dubbi...cmq pian piano facciamo ok?
La derivata del primo addendo, sempre che non abbia fatto cavolate, mi viene in quel modo (vedi più su).
Le derivate fondamentali le hai imparate a memoria? Comunque la derivata di una funzione la puoi vedere in due modi: o come tangente della curva o come limite del rapporto incrementale. Per "rapporto incrementale", queste parolone, intendo semplicemente di quanto cresce la Y al crescere della X e si indica con la formula:
Tutte le derivate, comprese quelle fondamentali, le puoi ricavare da tale formula.
Le derivate fondamentali le hai imparate a memoria? Comunque la derivata di una funzione la puoi vedere in due modi: o come tangente della curva o come limite del rapporto incrementale. Per "rapporto incrementale", queste parolone, intendo semplicemente di quanto cresce la Y al crescere della X e si indica con la formula:
[math]\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}[/math]
Tutte le derivate, comprese quelle fondamentali, le puoi ricavare da tale formula.
Progettista HW:
Le derivate fondamentali le hai imparate a memoria? Comunque la derivata di una funzione la puoi vedere in due modi: o come tangente della curva o come rapporto incrementale.
la derivata è il coefficiente angolare (=tg(a)) della retta tangente a una curva. ma la tangente alla curva è una retta, non una derivata. più precisamente, la derivata è il limite per h (incremento di x) che tende a 0 del rapporto incrementale (se fosse semplicemente un rapporto incrementale "perderesti" la tangenza)
aiuto...cm,ponendolo cm esponente????ok...a dopo...grazie!
Intanto devi considerare che la derivata dell'arcotangente è:
Nel tuo caso
Però ricorda che è una funzione composta, quindi prima fai la derivata dell'argomento dell'arcotangente e la lasci da parte, successivamente svolgi la derivata della funzione composta (Interamente) e infine moltiplichi i due risultati.
Quindi:
[math]\arctan(t)'=-\frac{1}{1+t^2}[/math]
Nel tuo caso
[math]t = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}[/math]
Però ricorda che è una funzione composta, quindi prima fai la derivata dell'argomento dell'arcotangente e la lasci da parte, successivamente svolgi la derivata della funzione composta (Interamente) e infine moltiplichi i due risultati.
Quindi:
[math]\arctan t(x)' = \frac{1}{1+(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})^2}[/math]
[math]t(x)'= \frac{2}{\sqrt{3}}[/math]
ok giusto ho fatto così....però l'
perchè poi alla fine mi vine solo il denominatore!!!
se vuoi ti posto il mio procedimento!
[math]\sqrt{3}[/math]
che c'è davanti deve essere sviluppata cm prodotto???perchè poi alla fine mi vine solo il denominatore!!!
se vuoi ti posto il mio procedimento!
Ma tanto è solo un coefficiente, non una funzione. Il risultato quale dovrebbe essere?
Progettista HW:
Nel tuo caso[math]t = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}[/math]
...
[math]t(x)'= \frac{2\sqrt{3}-(2x+1)(\frac{1}{2\sqrt{3}})}{3} = [/math]
Il fattore sqrt(3) a denominatore è un NUMERO COSTANTE e non una funzione.
Se
[math]f(x) = \frac {2x +1}{\sqrt 3}[/math]
a casa mia
[math]f^{\prime}(x) = \frac {2}{\sqrt 3}[/math]
Non fatevi ingannare dai numeri costanti:
la derivata è un'operazione lineare, ovvero, se a e b sono numeri reali (o complessi)
[math]D (a f(x) + b g(x)) = aDf(x) + bDg(x)[/math]
Ricapitolo tutto, con le correzioni agli errori di calcolo, apportate da me e da Cherubino:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
La tua è una differenza tra funzioni composte.
La funzione composta è
La derivata di una funzione composta è
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dividiamo in compito in due parti, per eseguire il calcolo delle due funzioni composte.
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La prima funzione composta è:
La seconda funzione composta è:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRIMA FUNZIONE COMPOSTA:
Deriviamo prima la funzione intera. Sai che la derivata del logaritmo naturale è
Poi deriviamo l'argomento della funzione:
Tieni conto che
in cui
La derivata del primo termine sarà quindi:
RISULTATO:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SECONDA FUNZIONE COMPOSTA:
Intanto devi considerare che la derivata dell'arcotangente è:
Nel tuo caso
Però ricorda che è una funzione composta, quindi prima fai la derivata dell'argomento dell'arcotangente e la lasci da parte, successivamente svolgi la derivata della funzione composta (Interamente) e infine moltiplichi i due risultati.
Quindi:
La derivata del secondo termine sarà quindi:
Moltiplichiamo il tutto per il coefficiente
RISULTATO:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Il risultato totale sarà (forse) dato da:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[math]y =\ln\frac{x-1}{\sqrt{x^2+x+1}}-\sqrt{3}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})[/math]
La tua è una differenza tra funzioni composte.
La funzione composta è
[math]f[g(x)][/math]
, spesso indicata con [math](f \circ g)[/math]
.La derivata di una funzione composta è
[math]f[g(x)]' \cdot g(x)'[/math]
, ovvero equivale al prodotto tra la derivata dell'argomento della funzione e la derivata della funzione stessa.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dividiamo in compito in due parti, per eseguire il calcolo delle due funzioni composte.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
La prima funzione composta è:
[math]\ln\frac{x-1}{\sqrt{x^2+x+1}}[/math]
La seconda funzione composta è:
[math]-\sqrt{3}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})[/math]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRIMA FUNZIONE COMPOSTA:
[math]\ln\frac{x-1}{\sqrt{x^2+x+1}}[/math]
Deriviamo prima la funzione intera. Sai che la derivata del logaritmo naturale è
[math]\ln(x) = \frac{1}{x}[/math]
. Quindi verrà:[math]f[g(x)]' = \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x-1}[/math]
Poi deriviamo l'argomento della funzione:
[math]g(x) =\frac{x-1}{\sqrt{x^2+x+1}}[/math]
Tieni conto che
[math]g(x)[/math]
è a sua volta il rapporto tra due funzioni, [math]g(x) = \frac{r(x)}{s(x)}[/math]
in cui
[math]r(x) = x-1[/math]
e [math]s(x) = \sqrt{x^2+x+1}[/math]
.[math]g(x)' = (\frac{r(x)}{s(x)})' = \frac{r(x)'s(x) - r(x)s'(x)}{[s(x)]^2} = \frac{\sqrt{x^2+x+1}-(x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{x^2+x+1}[/math]
[math]\frac{\sqrt{x^2+x+1}-(x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{x^2+x+1}[/math]
[math]\frac{\sqrt{x^2+x+1}-\frac{x-1}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{x^2+x+1}[/math]
[math]\frac{\frac{2(x^2+x+1)-x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{x^2+x+1}[/math]
[math]\frac{2(x^2+x+1)-x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}(x^2+x+1)}[/math]
[math]\frac{2x^2+x+3}{2\sqrt{x^2+x+1}(x^2+x+1)}[/math]
La derivata del primo termine sarà quindi:
[math]\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x-1} \cdot \frac{2x^2+x+3}{2\sqrt{x^2+x+1}(x^2+x+1)}[/math]
[math]\frac{2x^2+x+3}{2(x^2+x+1)(x-1)}[/math]
RISULTATO:
[math]\frac{2x^2+x+3}{2(x^3-1)}[/math]
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SECONDA FUNZIONE COMPOSTA:
[math]-\sqrt{3}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})[/math]
Intanto devi considerare che la derivata dell'arcotangente è:
[math]\arctan(t)'=\frac{1}{1+t^2}[/math]
Nel tuo caso
[math]t = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}[/math]
Però ricorda che è una funzione composta, quindi prima fai la derivata dell'argomento dell'arcotangente e la lasci da parte, successivamente svolgi la derivata della funzione composta (Interamente) e infine moltiplichi i due risultati.
Quindi:
[math]\arctan t(x)' = \frac{1}{1+(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})^2} = \frac{1}{1+\frac{4x^2+4x+1}{3}} = \frac{1}{\frac{4x^2+4x+4}{3}} =[/math]
[math]\frac{1}{12(x^2+x+1)}[/math]
[math]t(x)'= \frac{2}{\sqrt{3}}[/math]
La derivata del secondo termine sarà quindi:
[math]\frac{1}{12(x^2+x+1)} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}[/math]
[math]\frac{2}{12\sqrt{3}(x^2+x+1)}[/math]
Moltiplichiamo il tutto per il coefficiente
[math]-\sqrt{3}[/math]
RISULTATO:
[math]-\frac{1}{6(x^2+x+1)}[/math]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Il risultato totale sarà (forse) dato da:
[math]\frac{2x^2+x+3}{2(x^3-1)}-\frac{1}{6(x^2+x+1)}[/math]
ok fino a qui ci sono....ho fatto più veloce facendo subito il reciproco del logaritmo..che mi veniva
cmq sia ora dall'ultimo passaggio che hai svolto ho ftto
semplificando ottendo:
giusto fin qui??
[math]\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x-1}[/math]
cmq sia ora dall'ultimo passaggio che hai svolto ho ftto
[math]\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x+1}*\frac{2x^2+x+3}{2\sqrt{x^2+x+1}}*\frac{1}{x^2+x+1}[/math]
semplificando ottendo:
[math]\frac{2x^2+x+3}{(x-1)(x^2+x+1)[/math]
giusto fin qui??
No... ho modificato su. Da dove ti è spuntato x+1?
Comunque continuerò a modificare il testo finché non arriverò alla conclusione.
Comunque continuerò a modificare il testo finché non arriverò alla conclusione.
credo abbia sbagliato a scrivere, infatti poi è corretto
A me viene in modo leggermente diverso...
[math]\frac{2-x}{x-1}[/math]
edit
così a occhio direi che hai sbagliato la derivata di s(x), potrei sbagliarmi ma è meglio se ricontrolli
così a occhio direi che hai sbagliato la derivata di s(x), potrei sbagliarmi ma è meglio se ricontrolli
No, hai proprio ragione... io e i calcoli non andiamo molto d'accordo...
Ok... io ho finito tutti i calcoli... non ne posso più...
Ok... io ho finito tutti i calcoli... non ne posso più...
il risultato che dà il libro è
[math]\frac{3}{x^3-1}[/math]
prova a sommare i termini e vedi cosa ti esce
Forse è meglio che ricontrolli tutti i miei passaggi, comprese le formule di derivazione... non vorrei aver fatto qualcuno dei miei soliti strafalcioni. Ho ricontrollato e a me sembrano corretti, ma eseguendo la sottrazione finale, i numeri non si semplificano fino al risultato che dà il tuo libro. Forse è solo questione di una diversa razionalizzazione... non saprei. Se già facciamo fatica con le derivate... immagino con gli integrali.