Derivabilità
[size=100]Salve a tutti, sono un nuovo iscritto a Matematicamente.it... Vorrei innanzitutto avere un chiarimento sulla derivabilità di una funzione. Io so che: UNA FUNZIONE È DERIVABILE IN UN PUNTO SE LA SUA DERIVATA DESTRA E LA SUA DERIVATA SINISTRA COINCIDONO e che UNA FUNZIONE È DERIVABILE IN UN INTERVALLO ]a;b[ se a HA LA DERIVATA DESTRA E b HA LA DERIVATA SINISTRA... Fin qui ci sono... Svolgendo alcuni esercizi ho trovato funzioni definite in intervalli del tipo ]0;+infinito[.. La mia domanda è: come faccio a verificare la derivabilità della funzione in 0 se non posso calcolare la derivata sinistra ma solo quella destra? [/size]
Risposte
Devi calcolare solo la derivata destra che è anche derivata del punto poichè, non esistendo quella sinistra, essa è unica. Esempio: se hai $y=|x|$ sai che non esiste derivata in $x=0$. Se prendi solo il ramo destro ossia $y=x$ definito in $(0,+oo)$ la derivata è la stessa in ogni suo punto incluso $x=0$
Quindi calcolo solo la derivata che il Dominio mi consente... e analizzando solo la singola derivata destra o sinistra, come verifico che la funzione data è derivabile?
Per spiegarlo prendi la definizione di derivata in un intervallo. Una funzione è derivabile in un'intervallo $[a,b]$ (nel nostro caso il dominio) se è derivabile in tutti i suoi punti diversi dagli estremi (derivata destra=derivata sinistra) ed esiste la derivatà destra in $a$ e la derivatà sinistra in $b$. E' una definizione, pertanto se nel caso di $x=0$ del problema precedente hai solo la derivata destra, e questa esiste ovvero è un valore finito, allora la funzione è derivabile in $x=0$
Ricapitolando:
Data una funzione definita in un intervallo ]0;+infinito[ per verificarne la derivabilità nel punto 0 calcolo
la derivata destra... Quindi se la detivata calcolata è un numero finito la funzione è derivabile... Domanda se la derivata che calcolo è = +\- infinito? Che tipo di non derivabilità è?
Data una funzione definita in un intervallo ]0;+infinito[ per verificarne la derivabilità nel punto 0 calcolo
la derivata destra... Quindi se la detivata calcolata è un numero finito la funzione è derivabile... Domanda se la derivata che calcolo è = +\- infinito? Che tipo di non derivabilità è?
La derivata è il coefficiente angolare della retta tangente in un punto. Quindi quando questo valore tende $+-oo$ la retta tende a diventare parallera all'asse $y$. Si tratta di un punto di non derivabilità poichè la derivata non è finita e per definizione deve esserlo. Dipende dal caso può chiamarsi flesso a tangente verticale, cuspide o punto angoloso. Ma nel nostro caso non può essere un punto angoloso
Quindi, nel caso in cui la derivata destra ( o sinistra in altri casi) è uguale a +\- infinito, la finzione non è derivabile... Posso in qualche modo stabilire (avendo una sola derivata a disposizione) che si tratta di una CUSPIDE o di un PUNTO DI FLESSO A TANGENTE VERTICALE?
Ho fatto un piccolo errore scusa. Se la derivata è solo una credo sia solamente una tangente verticale. Non c'è un flesso ne una cuspide
[xdom="@melia"]Benvenuta nel forum, ti prego di correggere il titolo togliendo il maiuscolo: in un forum scrivere in maiuscolo equivale a gridare, non serve alzare la voce, ti aiutiamo lo stesso.
Per lo stesso motivo ti chiedo anche di smettere di postare in maiuscolo e, magari, quando capita di leggere il regolamento onde evitare fraintendimenti.[/xdom]
Per lo stesso motivo ti chiedo anche di smettere di postare in maiuscolo e, magari, quando capita di leggere il regolamento onde evitare fraintendimenti.[/xdom]
Credi o ne se sei sicuro? È corretto quello che hai dtt fino ad ora?
Mi scuso sono un neo-iscritto e l'impellenza di risolvere
il mio dubbio mi ha indotto a evitare temporaneamente la lettura del
regolamento
il mio dubbio mi ha indotto a evitare temporaneamente la lettura del
regolamento
Sono sicuro di tutto. E' che non ho specificato che nel caso di una sola fra la derivata destra e sinistra non si tratta di uno dei tre punti di derivabilità sopra citati
Le tue risposte sono state davvero esaurienti, ti ringrazio... Sei stato di grande aiuto 
Prego non c'è di che. E' scusa per il piccolo errore che ho commesso e corretto
"Matematica2.0":
Quindi, nel caso in cui la derivata destra ( o sinistra in altri casi) è uguale a +\- infinito, la funzione non è derivabile... Posso in qualche modo stabilire (avendo una sola derivata a disposizione) che si tratta di una CUSPIDE o di un PUNTO DI FLESSO A TANGENTE VERTICALE?
Temo che la risposta che ti ha dato YeanlingWaif7 possa essere fraintesa, quindi la specifico in modo più dettagliato.
- Se una sola fra derivata destra e sinistra tende ad infinito mentre l'altra è finita, si tratta di un punto angoloso.
- Se entrambe tendono ad infinito, devi guardarne il segno: se è lo stesso, si tratta di un flesso a tangente verticale; se invece cambia è una cuspide.
YeanlingWaif 7 è stato preciso... Il
mio dubbio riguardava i casi in cui si aveva a disposizione solo la derivata destra o sinistra... Quando sia la derivata destra che sinistra esistono so bene come funziona anzi ti correggo:
- se la derivata destra e la sinistra esistono ma sono finite si tratta di un punto angoloso...
-Se la derivata destra o la derivata sinistra o entrambe sono uguali a infinito (di segno opposto nel caso siano entrambe uguali a un infinito) si trata di una cuspide
-Se la derivata destra e sinistra sono uguali a infiniti dello stesso segno, si tratta di un punto di flesso a tangente verticale.
mio dubbio riguardava i casi in cui si aveva a disposizione solo la derivata destra o sinistra... Quando sia la derivata destra che sinistra esistono so bene come funziona anzi ti correggo:
- se la derivata destra e la sinistra esistono ma sono finite si tratta di un punto angoloso...
-Se la derivata destra o la derivata sinistra o entrambe sono uguali a infinito (di segno opposto nel caso siano entrambe uguali a un infinito) si trata di una cuspide
-Se la derivata destra e sinistra sono uguali a infiniti dello stesso segno, si tratta di un punto di flesso a tangente verticale.
Nel dubbio di ricordare una cosa errata ho controllato sui libri, ma avevo ragione io. Punto angoloso significa che ci sono due tangenti che formano fra loro un angolo; nulla vieta che una sia verticale. In una cuspide invece si ha una sola tangente, che è verticale. Ho consultato tre libri: due non si esprimevano chiaramente sulla questione, mentre il terzo (lo Zwirner-Scaglianti), dopo aver detto che in un punto angoloso si hanno due derivate diverse (che chiama $f'_+(c)$ ed $f'_(-) (c)$) afferma "Si hanno punti angolosi anche quando $f'_+(c)$ è finita e $f'_(-)(c)$ è infinita, o viceversa."
E come distingui punto angoloso e cuspide... Che definizione dai al punto di cuspide?
Per come la sapevo io, si parla di punto angoloso quando derivata destra e sinistra esistono (valore finito) ma son diverse fra loro, mentre per la cuspide si tratta di due derivate divergenti ($+-oo$) e di segno opposto...
Copio due definizioni da "Le parole della matematica" (S. Nicosia, CEDAM, 1998).
Punto angoloso: punto del grafico di una funzione in cui la derivata non esiste, ma in cui almeno una, fra derivata sinistra e derivata destra, è finita.
Cuspide: punto di una curva, detto anche punto di regresso, in cui si hanno due tangenti che tendono a coincidere. In particolare, per il grafico di una funzione, un punto P è una cuspide se in esso la funzione non è derivabile e le derivate destra e sinistra tendono ad infinito con segni diversi.
In sostanza, in un punto angoloso le rette tangenti formano un angolo, mentre in una cuspide coincidono.
In considerazione della diversità di opinioni, prego qualcuno di veramente esperto di dare un parere. Consiglio a Matematica2.0 e JPG di consultare il loro professore.
Punto angoloso: punto del grafico di una funzione in cui la derivata non esiste, ma in cui almeno una, fra derivata sinistra e derivata destra, è finita.
Cuspide: punto di una curva, detto anche punto di regresso, in cui si hanno due tangenti che tendono a coincidere. In particolare, per il grafico di una funzione, un punto P è una cuspide se in esso la funzione non è derivabile e le derivate destra e sinistra tendono ad infinito con segni diversi.
In sostanza, in un punto angoloso le rette tangenti formano un angolo, mentre in una cuspide coincidono.
In considerazione della diversità di opinioni, prego qualcuno di veramente esperto di dare un parere. Consiglio a Matematica2.0 e JPG di consultare il loro professore.
E' vero, anche io ho la stessa definizione di Giammaria sul Canuto-Tabacco...
"Precisamente, se uno solo tra $f'_(+)(x_0)$ e $f'_(-)(x_0)$ e infinito, diciamo ancora che $x_0$ e un punto angoloso per $f$"
"Precisamente, se uno solo tra $f'_(+)(x_0)$ e $f'_(-)(x_0)$ e infinito, diciamo ancora che $x_0$ e un punto angoloso per $f$"
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