Criterio derivabilità
Una funzione è derivabile in un punto se i limiti destro e sinistro coincidono e sono finiti... La funzione deve essere continua?
Risposte
"caseyn27":
Una funzione è derivabile in un punto se i limiti destro e sinistro coincidono e sono finiti... La funzione deve essere continua?
Una funzione è derivabile in un punto se esistono la derivata destra e la derivata sinistra uguali in quel punto. Segue poi di conseguenza che è pure continua in quel punto.
La prima condizione per cui una funzione sia derivabile in un punto $x_0$ è che sia ivi continua ( $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $) . Una volta verificata questa condizione, una funzione risulta derivabile in tale punto $x_0$ sse $ lim_(x -> x_0^-) f'(x)=lim_(x -> x_0^+) f'(x)= L $ con $L$ finito (cioè se le due derivate laterali esistono entrambe finite e sono uguali).
"Albert Wesker 27":
La prima condizione per cui una funzione sia derivabile in un punto $x_0$ è che sia ivi continua ( $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $) . Una volta verificata questa condizione, una funzione risulta derivabile in tale punto $x_0$ sse $ lim_(x -> x_0^-) f'(x)=lim_(x -> x_0^+) f'(x)= L $ con $L$ finito (cioè se le due derivate laterali esistono entrambe finite e sono uguali).
Il senso della domanda era diverso. Se hai verificato che esistono le derivate destra e sinistra e sono uguali (finite ovviamente) allora di conseguenza è continua
Si consideri la funzione definita per casi $f(x)={(x+1,if x<=1),(lnx,if x>1):}$ La funzione presenta ovviamente una discontinuità di prima specie in $x=1$. Tuttavia, $f'(x)={(1,if x<1),(1/x,if x>1):}$ . Le due derivate laterali in $x=1$ coincidono e valgono 1. Tuttavia la funzione in quel punto non è continua e quindi non è derivabile. E' un esempio semplice che mostra che il fatto che le due derivate laterali esistano finite e coincidano in un punto $x_0$ non è condizione sufficiente perchè in quel punto la funzione sia continua (e quindi anche derivabile).
"Albert Wesker 27":
Si consideri la funzione definita per casi $f(x)={(x+1,if x<=1),(lnx,if x>1):}$ La funzione presenta ovviamente una discontinuità di prima specie in $x=1$. Tuttavia, $f'(x)={(1,if x<1),(1/x,if x>1):}$ . Le due derivate laterali in $x=1$ coincidono e valgono 1. Tuttavia la funzione in quel punto non è continua e quindi non è derivabile. E' un esempio semplice che mostra che il fatto che le due derivate laterali esistano finite e coincidano in un punto $x_0$ non è condizione sufficiente perchè in quel punto la funzione sia continua (e quindi anche derivabile).
Giusto! Un punto dunque non basta.
Attenzione Albert. Tu fai i limiti della derivata, mentre dovresti computare i limiti del rapporto incrementale. Allora sì, vedresti che la cosa non funziona.
Se ne era già parlato. Per risolvere questo nodo leggete qui: http://www.matematicamente.it/forum/continuita-derivabilita-t50658.html
"Seneca":
Se ne era già parlato. Per risolvere questo nodo leggete qui: http://www.matematicamente.it/forum/continuita-derivabilita-t50658.html
Il teorema da usare quindi sarebbe questo:
Sia $f(x)$ una funzione continua nell'intervallo $[a, x_0]$ (oppure $[x_0,b]$) e derivabile in $[a,x_0)$ (oppure $(x_0,b]$). Se esiste finito il $lim_{x \to x_0 ^-} f'(x)= l$ (oppure $lim_{x \to x_0 ^+} f'(x) = l$) allora esiste la derivata sinistra (destra) della $f(x)$ nel punto $x_0$ ed è uguale a $l$.
Sì. Come faceva notare Dissonance nell'altro "argomento", per prolungare la derivata è necessario che $f$ sia continua in un intorno del punto. Altrimenti non si può applicare Lagrange, che è il teorema usato per provare l'asserto.
Stavo rilfettendo sul fatto che se si ricorda il significato geometrico della derivata il tutto risulta molto chiaro. Nell'esempio di Albert
$f(x)={(x+1,if x<=1),(lnx,if x>1):}$
esistono la derivata destra e sinistra nel punto $x=1$. Questo significa che esistono sia la retta tangente a sinistra che la retta tangente a destra. Il fatto che la derivata destra e sinistra nel punto $x=1$ siano uguali significa che le rette tangenti a destra e a sinistra sono parallele. Non sono però rette coincidenti quindi la funzione non è derivabile in $x=1$.
$f(x)={(x+1,if x<=1),(lnx,if x>1):}$
esistono la derivata destra e sinistra nel punto $x=1$. Questo significa che esistono sia la retta tangente a sinistra che la retta tangente a destra. Il fatto che la derivata destra e sinistra nel punto $x=1$ siano uguali significa che le rette tangenti a destra e a sinistra sono parallele. Non sono però rette coincidenti quindi la funzione non è derivabile in $x=1$.
Esatto... In realtà il problema mi si era proprio posto quando, in un esercizio, mi era capitata la funzione per casi da me citata. Quindi, come dicevo all'inizio, se bisogna verificare la derivabilità di una funzione in un punto $x_0$ bisogna prima di tutto verificare che la funzione sia ivi continua.
"Albert Wesker 27":No, non è così. Questo è un fraintendimento super-classico, purtroppo.
La prima condizione per cui una funzione sia derivabile in un punto $x_0$ è che sia ivi continua ( $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $) . Una volta verificata questa condizione, una funzione risulta derivabile in tale punto $x_0$ sse $ lim_(x -> x_0^-) f'(x)=lim_(x -> x_0^+) f'(x)= L $ con $L$ finito (cioè se le due derivate laterali esistono entrambe finite e sono uguali).
Per definizione,
$f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se esiste finito il limite del rapporto incrementale centrato in $x_0$. Se questa condizione è verificata allora è automaticamente verificata pure la continuità.
Esiste poi un teorema, che non ha un nome universale - alcuni lo chiamano di Darboux, secondo cui se $f$ è continua in $x_0$, è derivabile in un intorno di $x_0$ e la derivata prima ammette limite finito in $x_0$ allora $f$ è derivabile anche in $x_0$.
Vedere anche:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#416573
"dissonance":No, non è così. Questo è un fraintendimento super-classico, purtroppo. [/quote]
[quote="Albert Wesker 27"]La prima condizione per cui una funzione sia derivabile in un punto $x_0$ è che sia ivi continua ( $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $) . Una volta verificata questa condizione, una funzione risulta derivabile in tale punto $x_0$ sse $ lim_(x -> x_0^-) f'(x)=lim_(x -> x_0^+) f'(x)= L $ con $L$ finito (cioè se le due derivate laterali esistono entrambe finite e sono uguali).
Il fraintendimento non è nella prima affermazione, no? E' innegabile che la continuità è condizione necessaria per la derivabilità. Se è così qual è il fraintendimento nella seconda affermazione?
"MariaMatematica0":No, non è così. Questo è un fraintendimento super-classico, purtroppo. [/quote]
[quote="dissonance"][quote="Albert Wesker 27"]La prima condizione per cui una funzione sia derivabile in un punto $x_0$ è che sia ivi continua ( $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $) . Una volta verificata questa condizione, una funzione risulta derivabile in tale punto $x_0$ sse $ lim_(x -> x_0^-) f'(x)=lim_(x -> x_0^+) f'(x)= L $ con $L$ finito (cioè se le due derivate laterali esistono entrambe finite e sono uguali).
Il fraintendimento non è nella prima affermazione, no? E' innegabile che la continuità è condizione necessaria per la derivabilità. Se è così qual è il fraintendimento nella seconda affermazione?[/quote]
Ah, capito! Mi autorispondo! Ho letto il link. Non sempre si può usare il teorema enunciato.
Dissonance abbi pazienza ma è da poco che sono entrato in contatto con il concetto di derivata e, piacendomi da morire la materia, per capire meglio potrei fare domande per te del tutto stupide 
Detto ciò, non capisco bene la differenza fra la tua affermazione e la mia. Una funzione è dunque derivabile in un punto x_0 sse esiste finito $ lim_(h -> 0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h $ ? Non credo ci capire bene perchè, se tale condizione è verificata, $f(x)$ debba essere necessariamente continua in $x_0$. Proprio per questo motivo, nel mio post da te quotato, ho voluto mettere a monte il fatto che la funzione, per essere derivabile in un punto, deve essere ivi neccessariamente continua. Grazie
Detto ciò, non capisco bene la differenza fra la tua affermazione e la mia. Una funzione è dunque derivabile in un punto x_0 sse esiste finito $ lim_(h -> 0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h $ ? Non credo ci capire bene perchè, se tale condizione è verificata, $f(x)$ debba essere necessariamente continua in $x_0$. Proprio per questo motivo, nel mio post da te quotato, ho voluto mettere a monte il fatto che la funzione, per essere derivabile in un punto, deve essere ivi neccessariamente continua. Grazie
"dissonance":
[quote="Albert Wesker 27"]La prima condizione per cui una funzione sia derivabile in un punto $x_0$ è che sia ivi continua ( $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $) . Una volta verificata questa condizione, una funzione risulta derivabile in tale punto $x_0$ sse $ lim_(x -> x_0^-) f'(x)=lim_(x -> x_0^+) f'(x)= L $ con $L$ finito (cioè se le due derivate laterali esistono entrambe finite e sono uguali).
No, non è così. Questo è un fraintendimento super-classico, purtroppo.
[/quote]
Piccola intrusione: se una funzione $f(x)$ è derivabile in un punto $x_0$ ivi è continua, giusto?
Il problema, a mio avviso, è che spesso si da per vera anche l'implicazione inversa, ossia quella enunciata da Albert.
"Albert Wesker 27":
Dissonance abbi pazienza ma è da poco che sono entrato in contatto con il concetto di derivata e, piacendomi da morire la materia, per capire meglio potrei fare domande per te del tutto stupide
Detto ciò, non capisco bene la differenza fra la tua affermazione e la mia. Una funzione è dunque derivabile in un punto x_0 sse esiste finito $ lim_(h -> 0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h $ ? Non credo ci capire bene perchè, se tale condizione è verificata, $f(x)$ debba essere necessariamente continua in $x_0$. Proprio per questo motivo, nel mio post da te quotato, ho voluto mettere a monte il fatto che la funzione, per essere derivabile in un punto, deve essere ivi neccessariamente continua. Grazie
$ lim_(h -> 0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h $
Che si può scrivere anche:
$ lim_(x -> x_0) (f(x)-f(x_0))/(x - x_0) = f'(x_0)$
Scrivendo fuori dal limite si ha: $(f(x)-f(x_0))/(x - x_0) = f'(x_0) + epsilon(x)$ , dove $epsilon(x) -> 0$ per $x -> x_0$.
$f(x) = f'(x_0)(x - x_0) + epsilon(x)(x - x_0) + f(x_0)$
E ora passa al limite:
$lim_(x -> x_0) f(x) = lim_(x -> x_0) [ f'(x_0)(x - x_0) + epsilon(x)(x - x_0) + f(x_0) ] = f(x_0)$
"MariaMatematica0":No, non è così. Questo è un fraintendimento super-classico, purtroppo. [/quote]
[quote="dissonance"][quote="Albert Wesker 27"]La prima condizione per cui una funzione sia derivabile in un punto $x_0$ è che sia ivi continua ( $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $) . Una volta verificata questa condizione, una funzione risulta derivabile in tale punto $x_0$ sse $ lim_(x -> x_0^-) f'(x)=lim_(x -> x_0^+) f'(x)= L $ con $L$ finito (cioè se le due derivate laterali esistono entrambe finite e sono uguali).
Il fraintendimento non è nella prima affermazione, no? E' innegabile che la continuità è condizione necessaria per la derivabilità. Se è così qual è il fraintendimento nella seconda affermazione?[/quote]
A me sembra che i fraintendimenti siano due.
Intanto, per derivata destra (sinistra) non si intende il limite da destra (da sinistra) della derivata ma il limite del rapporto incrementale con incremento a destra (a sinistra).
Seconda cosa, quel "se e solo se" è vero, anche a prescindere dalla continuità che è automaticamente verificata, con la definizione di derivate laterali che ho detto sopra. E' falso invece con la definizone che stava intendendo Albert: esistono infatti funzioni derivabili (e quindi anche continue) ma con derivata non continua. L'esempio classico è:
$\{(x^2sin(1/x), x\ne0), (0, x=0):}$
PS: pensavo di star rispondendo direttamente ad Albert e la seconda persona singolare era riferita a lui, ma mi ero confuso, ho modificato.
@MariaMatematica: Esatto. Non sempre si può applicare il teorema di Darboux, perché esistono funzioni derivabili con derivata non continua. Una funzione siffatta ha il rapporto incrementale regolare, ovvero che ammette limite finito, ma la derivata prima non regolare. Un classico esempio è la funzione
[tex]$f(x):=\begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}[/tex]
@Albert: A parte il fatto che la tua definizione è circolare (dici che una funzione è derivabile se e solo se la derivata verifica una certa condizione: ma allora cos'è la derivata?), il problema è che tu stai escludendo ogni funzione come la [tex]f[/tex] di qualche riga fa. Prova a fare i conti perché è istruttivo: [tex]f'[/tex] non ammette limite in [tex]0[/tex] ma ugualmente il rapporto incrementale di [tex]f[/tex] è regolare in [tex]0[/tex].
P.S.: Eh direi che ci stiamo accavallando un po'.
[tex]$f(x):=\begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}[/tex]
@Albert: A parte il fatto che la tua definizione è circolare (dici che una funzione è derivabile se e solo se la derivata verifica una certa condizione: ma allora cos'è la derivata?), il problema è che tu stai escludendo ogni funzione come la [tex]f[/tex] di qualche riga fa. Prova a fare i conti perché è istruttivo: [tex]f'[/tex] non ammette limite in [tex]0[/tex] ma ugualmente il rapporto incrementale di [tex]f[/tex] è regolare in [tex]0[/tex].
P.S.: Eh direi che ci stiamo accavallando un po'.
@ Delirium: non capisco perchè avrei annunciato ciò. Non credo che dal mio post si intenda che "se una funzione è continua in un punto è ivi derivabile". Le derivate laterali potrebbero essere benissimo diverse fra di loro, non esistere, essere infinite etc. con le conseguenze che tutti noi conosciamo. L'errore di partenza del topic era affermare che "se le due derivate laterali in un punto $x_0$ sono entrambe finite e coincidono, la funzione è sicuramente derivabile e quindi continua in quel punto", cosa palesemente sbagliata.
ps. potrebbe sembrare un post aggressivo, ma è solo un impressione; sono anzi molto contento di ricevere questo chiarimento
ps. potrebbe sembrare un post aggressivo, ma è solo un impressione; sono anzi molto contento di ricevere questo chiarimento
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