Criterio derivabilità

[driver_458]

Una funzione è derivabile in un punto se i limiti destro e sinistro coincidono e sono finiti... La funzione deve essere continua?

[Sk_Anonymous]

"Albert Wesker 27":La prima condizione per cui una funzione sia derivabile in un punto $x_0$ è che sia ivi continua

E' questo l'errore che Dissonance ti ha fatto notare. Un funzione derivabile in un punto $x_0$ è ivi continua; una funzione continua in un punto $x_0$ non è necessariamente derivabile.

Cito a memoria il mio libro di testo:

Teorema 1: se una funzione $f$ è derivabile nel punto $x_0$, ivi è continua.
Osservazione 1: non vale il risultato inverso, cioè una funzione può essere continua in un punto, senza essere ivi derivabile.

[yellow2]

Sì ma quello che sosteneva lui è leggermente diverso, ossia che una funzione non è necessariamente continua in un punto se esistono le derivate laterali. Ma è un'interpretazione figlia di una definizione sbagliata (o quantomeno diversa) di derivate laterali. Definendole come "limite del rapporto incrementale laterale" la derivabilità assume lo stesso significato di esistenza e uguaglianza delle derivate laterali: pertanto entrambe le situazioni implicano la continuità.

[Albert Wesker 27]

Sisi ma su quel fatto non ho mai avuto dubbi! Volevo proprio sottolineare che la continuità di una funzione in un punto non è certo condizione sufficente perchè la funzione sia lì derivabile.

La funzione di yellow e dissonace, invece, mi sta proprio facendo riflettere

[yellow2]

"Albert Wesker 27":$f(x)={(x+1,if x<=1),(lnx,if x>1):}$

Per spiegarmi meglio, in questo esempio direi che in $x=1$ esiste la derivata sinistra ma non la derivata destra.

[Sk_Anonymous]

Ok, ci sono. L'ambiguità della seguente

"Albert Wesker 27":La prima condizione per cui una funzione sia derivabile in un punto $x_0$ è che sia ivi continua

mi ha fatto erroneamente concludere che fosse comparabile a "una funzione continua in un punto $x_0$ è necessariamente ivi derivabile".

Chiedo scusa all'autore del topic per la vacua intromissione.