Concorso Marina Militare
Nel Syllabus per il concorso per la Marina Militare ci sono alcuni argomenti di matematica mai studiati a scuola.
Del tipo: geometria dello spazio oppure esercizio strani.
Mi date una mano? Sono sicura che il vostro aiuto sarà prezioso!
Provare che il quadrato di un numero dispari è dispari.
Provare che per ogni n i numeri $4n^4 − 1$ e $4n^4 + 1$ non sono primi.
Provare che se due numeri hanno un divisore comune, anche la loro somma e la loro differenza hanno lo stesso divisore comune.
Ad esempio questi tre come si risolvono?
Tra gli argomenti di questa sezione ci sono: Numeri naturali - Numeri primi - M.C.D. e m.c.m. - Frazioni numeriche - Operazioni con frazioni - Numeri interi relativi - Numeri razionali relativi - Potenza di numeri interi e di numeri razionali - Disuguaglianze.
Queste cose me le ricordo ma non capisco come risolvere gli esercizi.
Grazie.
Del tipo: geometria dello spazio oppure esercizio strani.
Mi date una mano? Sono sicura che il vostro aiuto sarà prezioso!
Provare che il quadrato di un numero dispari è dispari.
Provare che per ogni n i numeri $4n^4 − 1$ e $4n^4 + 1$ non sono primi.
Provare che se due numeri hanno un divisore comune, anche la loro somma e la loro differenza hanno lo stesso divisore comune.
Ad esempio questi tre come si risolvono?
Tra gli argomenti di questa sezione ci sono: Numeri naturali - Numeri primi - M.C.D. e m.c.m. - Frazioni numeriche - Operazioni con frazioni - Numeri interi relativi - Numeri razionali relativi - Potenza di numeri interi e di numeri razionali - Disuguaglianze.
Queste cose me le ricordo ma non capisco come risolvere gli esercizi.
Grazie.
Risposte
"handball_mania":
Nel Syllabus per il concorso per la Marina Militare ci sono alcuni argomenti di matematica mai studiati a scuola.
Del tipo: geometria dello spazio oppure esercizio strani.
Mi date una mano? Sono sicura che il vostro aiuto sarà prezioso!
Provare che il quadrato di un numero dispari è dispari.
Provare che per ogni n i numeri $4n^4 − 1$ e $4n^4 + 1$ non sono primi.
Provare che se due numeri hanno un divisore comune, anche la loro somma e la loro differenza hanno lo stesso divisore comune.
Ad esempio questi tre come si risolvono?
Tra gli argomenti di questa sezione ci sono: Numeri naturali - Numeri primi - M.C.D. e m.c.m. - Frazioni numeriche - Operazioni con frazioni - Numeri interi relativi - Numeri razionali relativi - Potenza di numeri interi e di numeri razionali - Disuguaglianze.
Queste cose me le ricordo ma non capisco come risolvere gli esercizi.
Grazie.
anche tu per l'accademia?? anch'io sai..quegli esercizi mi pare di averli fatti..se aspetti ujn pò cerco di ricordare..
il primo è semplice..perchè dispari *dispari=dispari
per il secondo vedi qui..
http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/v ... meri+primi
per il secondo vedi qui..
http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/v ... meri+primi
Dai il terzo è facile.
Se questo divisore comune è $q$ e i due numeri sono $a$ e $b$ allora diciamo
$a=kq$
$b=hq$
quindi
$S=a+b=kq+hq=q(k+h)$
e
$D=a-b=q(k-h)$
Ciao.
Se questo divisore comune è $q$ e i due numeri sono $a$ e $b$ allora diciamo
$a=kq$
$b=hq$
quindi
$S=a+b=kq+hq=q(k+h)$
e
$D=a-b=q(k-h)$
Ciao.
Per quanto riguarda il secondo non ho capito niente! 
Ho scomposto $4n^4 − 1$ e poi?
"Quando si tratta di primi, può essere utile provare che la cosa che vuoi verificare non è prima sia fattorizzabile. (Se trovi che ha n fattori, di cui almeno n-2 diversi da 1 sei a posto, hai dimostrato che è composto)." che vuol dire?
Il terzo è semplice, avete ragione!
Per il primo inceve: supponiamo che il numero dispari sia $2k + 1$ il quadrato di questo numero è $4k^2 + 1 +4k$ mettendo in evidenza il 2: $2(2k^2 + 2k) +1$ allora è ancora dispari.
E se mi chiedono perchè $2(2k^2 + 2k)$ è pari? Io mi metto a piangere oppure rispondo qualcosa?
Ho scomposto $4n^4 − 1$ e poi?
"Quando si tratta di primi, può essere utile provare che la cosa che vuoi verificare non è prima sia fattorizzabile. (Se trovi che ha n fattori, di cui almeno n-2 diversi da 1 sei a posto, hai dimostrato che è composto)." che vuol dire?
Il terzo è semplice, avete ragione!
Per il primo inceve: supponiamo che il numero dispari sia $2k + 1$ il quadrato di questo numero è $4k^2 + 1 +4k$ mettendo in evidenza il 2: $2(2k^2 + 2k) +1$ allora è ancora dispari.
E se mi chiedono perchè $2(2k^2 + 2k)$ è pari? Io mi metto a piangere oppure rispondo qualcosa?
"handball_mania":
E se mi chiedono perchè $2(2k^2 + 2k)$ è pari? Io mi metto a piangere oppure rispondo qualcosa?
ti risponderei che:
pari*pari=pari
pari*dispari=pari
però sinceramente la spiegazione di queste regole non la conosco..
per il secondo quesito anch'io ci ho messo un pò per capirlo..ma non te lo riesco a spiegare in altre parole..
ma devi andare a livorno?? per la selezione??
Direi che pari*pari=pari e pari*dispari=pari non sono regole così difficili da spiegare. Sapendo che $2k$ è un generico numero pari e $2h+1$ un generico dispari, allora:
$2h*2k=2(2hk)$ quindi un pari.
$2h(2k+1)=2(2kh+h)$ che è ancora pari.
Consiglio, comunque, di dare un'occhiata a un po' di aritmetica modulare e un po' di TdN in generale; all'inizio sembra strano, però posso garantirti che è davvero forte. Ad esempio, postresti cimentarti - volendo generalizzare il primo quesito - in questo:
"Dimostrare che un qualsiasi quadrato perfetto diviso $4$ dà resto $0$ oppure $1$ (nel gergo della TdN, ogni quadrato è congruo $0$ o $1$ modulo $4$)"
Fammi sapere se hai ancora bisogno.
$2h*2k=2(2hk)$ quindi un pari.
$2h(2k+1)=2(2kh+h)$ che è ancora pari.
Consiglio, comunque, di dare un'occhiata a un po' di aritmetica modulare e un po' di TdN in generale; all'inizio sembra strano, però posso garantirti che è davvero forte. Ad esempio, postresti cimentarti - volendo generalizzare il primo quesito - in questo:
"Dimostrare che un qualsiasi quadrato perfetto diviso $4$ dà resto $0$ oppure $1$ (nel gergo della TdN, ogni quadrato è congruo $0$ o $1$ modulo $4$)"
Fammi sapere se hai ancora bisogno.
"handball_mania":
Per quanto riguarda il secondo non ho capito niente!
Ho scomposto $4n^4 − 1$ e poi?
$4n^4-1=(2n^2+1)(2n^2-1)$
Semplicemente noti che questa espressione ha due fattori, almeno.
Ora: se questo fosse primo, significa che il fattore più piccolo vale 1 (infatti un primo ha due fattori, 1 e se stesso, quindi il pià piccolo è per forza 1). Quindi il fattore più piccolo qua è ovviamente $2n^2-1$ che non vale mai 1 se $n>1$.
Quindi l'espressione contiene un fattore diverso da 1 e se stesso, ergo è composto.
"handball_mania":
Per il primo inceve: supponiamo che il numero dispari sia $2k + 1$ il quadrato di questo numero è $4k^2 + 1 +4k$ mettendo in evidenza il 2: $2(2k^2 + 2k) +1$ allora è ancora dispari.
E se mi chiedono perchè $2(2k^2 + 2k)$ è pari? Io mi metto a piangere oppure rispondo qualcosa?
Per definizione di pari: è divisibile per 2. Non vedi che c'è quel due all'inizio che moltiplica?
In generale, se hai un espressione $2("qualcosa")$ allora è pari, se invece gli aggiungi 1 diviene dispari.
forse val la pena di specificare che in $2*("qualcosa")+1$, il qualcosa è un numero intero ( $(2k^2+2k)$ è intero, perché elevare al quadrato, moltiplicare per due e sommare sono leggi di composizione interne a $NN$, quindi se k è un numero naturale anche quel "qualcosa" è un numero naturale)...
provo a rifarti la scomposizione di $4n^4+1$:
$4n^4+1=4n^4+1+4n^2-4n^2=(4n^4+1+4n^2)-(4n^2)=(2n^2+1)^2-(2n)^2=[(2n^2+1)+(2n)]*[(2n^2+1)-(2n)]=(2n^2+2n+1)*(2n^2-2n+1)$.
anche qui, se $n>1$, il fattore più piccolo è maggiore di uno: $2n^2-2n+1=2n(n-1)+1$, per n=2 si ha 4+1=5...
ciao.
provo a rifarti la scomposizione di $4n^4+1$:
$4n^4+1=4n^4+1+4n^2-4n^2=(4n^4+1+4n^2)-(4n^2)=(2n^2+1)^2-(2n)^2=[(2n^2+1)+(2n)]*[(2n^2+1)-(2n)]=(2n^2+2n+1)*(2n^2-2n+1)$.
anche qui, se $n>1$, il fattore più piccolo è maggiore di uno: $2n^2-2n+1=2n(n-1)+1$, per n=2 si ha 4+1=5...
ciao.
Ho capito tutto finalmente! Grazie mille!
Ma cosa devo studiare precisamente per risolvere queste cose? Sui libri del biennio non ci sono queste cosine nello specifico....
Ma cosa devo studiare precisamente per risolvere queste cose? Sui libri del biennio non ci sono queste cosine nello specifico....
"handball_mania":
Ho capito tutto finalmente! Grazie mille!
Ma cosa devo studiare precisamente per risolvere queste cose? Sui libri del biennio non ci sono queste cosine nello specifico.... :cry:
Io comincerei con Harold Davenport, Higher Arithmetic. A settembre esce l'ottava versione, riveduta e aggiornata. Lo trovi quì. Se poi ti serve urgente, c'è anche la settima versione, quì.
Volendo, la settima ce l'ha pure il mulo.
Sta bene questo così?
Provare che due numeri consecutivi sono primi fra loro.
Supponiamo che i numeri siano n ed n+1 allora se ci fosse un divisore comune questo dovrebbe dividere la loro differenza (n +1) - n e quindi solo 1.
Per cui sono numeri primi.
Provare che due numeri consecutivi sono primi fra loro.
Supponiamo che i numeri siano n ed n+1 allora se ci fosse un divisore comune questo dovrebbe dividere la loro differenza (n +1) - n e quindi solo 1.
Per cui sono numeri primi.
questo è corretto
ai miei tempi indicavano un "classico" che può essere interessante leggere e può essere utile anche come supporto agli studi universitari:
Courant, Robbins. "che cos'è la matematica?". edizioni Boringhieri.
forse vale la pena acquistarlo. ciao.
Courant, Robbins. "che cos'è la matematica?". edizioni Boringhieri.
forse vale la pena acquistarlo. ciao.
Se gli esercizi sono di questa difficoltà, io penso che nemmeno sia necessario studiare la teoria.
Ci si può fare le ossa solo facendo esercizi e imparando da quelli (se non vengono poi guardi la soluzione, o sennò si chiede qua).
Al massimo puoi studiarti un po' di aritmetica modulare, che risulta indispensabile se la difficoltà degli esercizi è un pelino più alta.
Ci si può fare le ossa solo facendo esercizi e imparando da quelli (se non vengono poi guardi la soluzione, o sennò si chiede qua).
Al massimo puoi studiarti un po' di aritmetica modulare, che risulta indispensabile se la difficoltà degli esercizi è un pelino più alta.
"WiZaRd":
[quote="handball_mania"]Ho capito tutto finalmente! Grazie mille!
Ma cosa devo studiare precisamente per risolvere queste cose? Sui libri del biennio non ci sono queste cosine nello specifico....
Io comincerei con Harold Davenport, Higher Arithmetic. A settembre esce l'ottava versione, riveduta e aggiornata. Lo trovi quì. Se poi ti serve urgente, c'è anche la settima versione, quì.
Volendo, la settima ce l'ha pure il mulo.[/quote]
ma c'è una versione in italiano??
se non vengono poi guardi la soluzione, o sennò si chiede qua
Non ci sono le soluzioni....
Mi aiutate a capire questi?
"Determinare il polinomio $P(x)$ sapendo che $P(x + 1) = x^2 - 3x + 2$"
Sarebbe $x^2 - 3x + 1$ ?
Poi non capisco questo:
Determinare a, b, c in modo che $2/ (x^3 - 3x +2) = a/x + b/(x - 1) + c/(x - 2)$
Una volta fatti i calcoli restano tre incognite...
che devo fare?Grazie... sono disperata!
Non c'è bisogno di disperarsi. 
Ovviamente la risposta al primo non è
$x^2-3x+1$$
Quello che devi fare è andare a diminuire di 1 l'incognita $x$.
Se ad esempio hai
$p(x)=3(x-2)^2+6$
allora
$p(x-1)=3[(x-1)-2]^2+6$ quindi $3(x-3)^2+6$
Prova ad applicarlo al tuo esempio.
Potrebbe essere utile sapere che
$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$
Il secondo è facile, dovrebbe ricordarti un metodo di integrazione.
Ovviamente la risposta al primo non è
$x^2-3x+1$$
Quello che devi fare è andare a diminuire di 1 l'incognita $x$.
Se ad esempio hai
$p(x)=3(x-2)^2+6$
allora
$p(x-1)=3[(x-1)-2]^2+6$ quindi $3(x-3)^2+6$
Prova ad applicarlo al tuo esempio.
Potrebbe essere utile sapere che
$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$
Il secondo è facile, dovrebbe ricordarti un metodo di integrazione.
"cntrone":
[quote="WiZaRd"][quote="handball_mania"]Ho capito tutto finalmente! Grazie mille!
Ma cosa devo studiare precisamente per risolvere queste cose? Sui libri del biennio non ci sono queste cosine nello specifico....
Io comincerei con Harold Davenport, Higher Arithmetic. A settembre esce l'ottava versione, riveduta e aggiornata. Lo trovi quì. Se poi ti serve urgente, c'è anche la settima versione, quì.
Volendo, la settima ce l'ha pure il mulo.[/quote]
ma c'è una versione in italiano??[/quote]
Nada...fino a qualche anno fa la pubblicava la Zanichelli, che però adesso non la pubblica più.
Quindi, hai tre possibilità:
1) sei sei superfortunato (del tipo giochi una volta al superenalotto e fai non meno del cinque) e lo becchi nuovo in qualche libreira collocata non so dove
2) sei fortunato e lo trovi usato (ma onestamente non riesco a pensare a qualche folle che lo vende)
3) fai di necessità virtù e lo prendi in inglese
$P(x)=P(x+1-1)=(x-1)^2-3(x-1)+2=x^2-5x+6$. prova anche a ritroso...
$x^3-3x+2=(x-1)*(x^2+x-2)=(x-1)^2*(x+2)$ . ho usato Ruffini.
prova a fare il m.c.d. senza spostare termini dal primo al secondo membro o viceversa e ad applicare il principio d'identità dei polinomi, come si fa per trovare i coefficienti nell'integrazione con i fratti semplici... il calcolo è un po' elaborato, ma penso che porti a soluzione... ciao.
$x^3-3x+2=(x-1)*(x^2+x-2)=(x-1)^2*(x+2)$ . ho usato Ruffini.
prova a fare il m.c.d. senza spostare termini dal primo al secondo membro o viceversa e ad applicare il principio d'identità dei polinomi, come si fa per trovare i coefficienti nell'integrazione con i fratti semplici... il calcolo è un po' elaborato, ma penso che porti a soluzione... ciao.
[quote="WiZaRd
Nada...fino a qualche anno fa la pubblicava la Zanichelli, che però adesso non la pubblica più.
Quindi, hai tre possibilità:
1) sei sei superfortunato (del tipo giochi una volta al superenalotto e fai non meno del cinque) e lo becchi nuovo in qualche libreira collocata non so dove
2) sei fortunato e lo trovi usato (ma onestamente non riesco a pensare a qualche folle che lo vende)
3) fai di necessità virtù e lo prendi in inglese[/quote]
guarda tenterei anche in inglese ma non lo trovo con il mulo...vabbè mi arrangio...grazie.
Nada...fino a qualche anno fa la pubblicava la Zanichelli, che però adesso non la pubblica più.
Quindi, hai tre possibilità:
1) sei sei superfortunato (del tipo giochi una volta al superenalotto e fai non meno del cinque) e lo becchi nuovo in qualche libreira collocata non so dove
2) sei fortunato e lo trovi usato (ma onestamente non riesco a pensare a qualche folle che lo vende)
3) fai di necessità virtù e lo prendi in inglese[/quote]
guarda tenterei anche in inglese ma non lo trovo con il mulo...vabbè mi arrangio...grazie.
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