Circonferenza
come trovo l'equazione della circonferenza tangente in A(1;2) alla retta di equazione x-1=0 e la circonferenza passi per il punto B(9/5;2/5)......non mi interessa il risultato ma il procedimento e il ragionamento da applicare......Grazie
Risposte
Per prima cosa scrivi l'equazione generale della circonferenza.
Se dal punto di vista geometrico la circonferenza passa per i punti A e B, dal punto di vista algebrico (quello che utilizziamo per fare i conti) significa che i punti A e B sono soluzioni dell'equazione della circonferenza, cioè che puoi sostituire al posto di x e y nella circonferenza le coordinate di A e quelle di B e l'uguaglianza resta verificata.
Nel nostro caso la condizione di appartenenza di A alla circonferenza si traduce in $1+4+a+2b+c=0$.
la condizione di appartenenza di B invece in $81/25+4/5+9/5*a+2/5*b+c=0$, ci troviamo con 2 equazioni e tre incognite.
Manca un'equazione che dobbiamo trovare usando la condizione di tangenza.
La retta tangente è la retta $x=1$ che è parallela all'asse delle y, forse ricorderai che la tangente ad una circonferenza è sempre perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. Nel nostro caso quindi il raggio nel punto di tangenza appartiene alla retta $y=2$, quindi anche l'ordinata del centro vale 2, che si traduce nell'equazione $-b/2=2$, che è la terza equazione che ci serve per trovare la circonferenza.
Adesso metti a sistema le tre equazioni e risolvi il sistema.
Se dal punto di vista geometrico la circonferenza passa per i punti A e B, dal punto di vista algebrico (quello che utilizziamo per fare i conti) significa che i punti A e B sono soluzioni dell'equazione della circonferenza, cioè che puoi sostituire al posto di x e y nella circonferenza le coordinate di A e quelle di B e l'uguaglianza resta verificata.
Nel nostro caso la condizione di appartenenza di A alla circonferenza si traduce in $1+4+a+2b+c=0$.
la condizione di appartenenza di B invece in $81/25+4/5+9/5*a+2/5*b+c=0$, ci troviamo con 2 equazioni e tre incognite.
Manca un'equazione che dobbiamo trovare usando la condizione di tangenza.
La retta tangente è la retta $x=1$ che è parallela all'asse delle y, forse ricorderai che la tangente ad una circonferenza è sempre perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. Nel nostro caso quindi il raggio nel punto di tangenza appartiene alla retta $y=2$, quindi anche l'ordinata del centro vale 2, che si traduce nell'equazione $-b/2=2$, che è la terza equazione che ci serve per trovare la circonferenza.
Adesso metti a sistema le tre equazioni e risolvi il sistema.
"1972":
come trovo l'equazione della circonferenza tangente in A(1;2) alla retta di equazione x-1=0 e la circonferenza passi per il punto B(9/5;2/5)......non mi interessa il risultato ma il procedimento e il ragionamento da applicare......Grazie
Puoi ragionare così:
il centro della circonferenza sta sulla retta perpendicolare a $x-1=0$ e passante per $A$
e sta anche sulla retta luogo dei punti equidistanti da $A$ e $B$.
"@melia":
Per prima cosa scrivi l'equazione generale della circonferenza.
Un mio giudizio personale:
credo che sia, didatticamente parlando, poco opportuno partire
direttamente dall'equazione della circonferenza.
A me piace guardare dove si trova il centro della circonferenza,
fare considerazioni sul raggio, sulle corde, ecc.
Altrimenti uno studente prende l'equazione generale, mette dentro i dati
del problema senza avere chiaro cosa sta facendo..
ciò che propone FRANCED è molto molto interessante...Ma non riesco a capire come ragionare così
il raggio passante per il punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente.
il centro è equidistante da due qualsiansi punti della circonferenza.
in parole povere, il centro si può trovare come intersezione di due rette: la perpendicolare a x-1=0 passante per il punto A (cioè y=2), e l'asse del segmento AB.
non so se è quello che aveva in mente franced, ma è quello che è venuto in mente a me.
spero sia chiaro, e che ti vada bene. ciao.
il centro è equidistante da due qualsiansi punti della circonferenza.
in parole povere, il centro si può trovare come intersezione di due rette: la perpendicolare a x-1=0 passante per il punto A (cioè y=2), e l'asse del segmento AB.
non so se è quello che aveva in mente franced, ma è quello che è venuto in mente a me.
spero sia chiaro, e che ti vada bene. ciao.
"adaBTTLS":
il raggio passante per il punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente.
il centro è equidistante da due qualsiansi punti della circonferenza.
in parole povere, il centro si può trovare come intersezione di due rette: la perpendicolare a x-1=0 passante per il punto A (cioè y=2), e l'asse del segmento AB.
non so se è quello che aveva in mente franced, ma è quello che è venuto in mente a me.
spero sia chiaro, e che ti vada bene. ciao.
Io ho scritto "luogo dei punti equidistanti da $A$ e $B$" per rafforzare l'idea..
hai ragione, non avevo letto con attenzione quel post...
anzi, a dire il vero, avevo letto con attenzione il successivo, ma quello mi era proprio sfuggito...
anzi, a dire il vero, avevo letto con attenzione il successivo, ma quello mi era proprio sfuggito...
@melia non capisco perchè y=2
y=2 l'abbiamo detto anche noi.
il raggio è perpendicolare alla retta tangente.
la retta tangente ha equazione x=1, cioè è parallela all'asse y.
una qualsiasi retta perpendicolare ad essa, dovrà essere parallela all'asse x, cioè avere equazione y=costante.
ma la retta che cerchiamo noi passa per il punto A(1,2), quindi quale deve essere il valore di y ("costante")?
il raggio è perpendicolare alla retta tangente.
la retta tangente ha equazione x=1, cioè è parallela all'asse y.
una qualsiasi retta perpendicolare ad essa, dovrà essere parallela all'asse x, cioè avere equazione y=costante.
ma la retta che cerchiamo noi passa per il punto A(1,2), quindi quale deve essere il valore di y ("costante")?
adesso ho capito.......poi sostituisco......cioè a=-2x per cui a=-2 b=-2y cioè b=4 per cui sostituisco i valori di a;b alle prime 2 equazioni e ricavo c?
ho provato ma non esce giusto
-b/2 = 2 -> b= -4
che cos'hai sostituito non mi è hiaro...
che cos'hai sostituito non mi è hiaro...
vi prego di scusarmi...ma non ho capito perchè y=2 perchè y=costante ho capito che la tg è perpend al raggio che b=-2y
qual è la generica retta (o anche scrivi due o tre equazioni di rette perpendicolari a...) perpendicolare a $x=1$ ?
la retta gen è x-1=0 tg alla circ nel punto a(1;2)
la domanda che ti ho fatto, a cui è utile che tu risponda, è un'altra:
qual è l'equazione di una generica retta nel piano cartesiano (non pensare a questo problema particolare) perpendicolare alla retta x=1 ?
puoi anche prendere x=10 , o x = costante (una qualsiasi costante): queste rette sono infatti tutte parallele tra loro, per cui una retta perpendicolare ad una di esse è perpendicolare anche alle altre. allora, scrivi almeno un paio di equazioni di rette perpendicolari a queste...
qual è l'equazione di una generica retta nel piano cartesiano (non pensare a questo problema particolare) perpendicolare alla retta x=1 ?
puoi anche prendere x=10 , o x = costante (una qualsiasi costante): queste rette sono infatti tutte parallele tra loro, per cui una retta perpendicolare ad una di esse è perpendicolare anche alle altre. allora, scrivi almeno un paio di equazioni di rette perpendicolari a queste...
scusa adaBTTL ero al lavoro.......la retta perpend a X è Y esempio Y=10 Y=costante
nessun altro mi risp?
perfetto. siamo arrivati a y=costante (fascio improprio di rette, tutte parallele all'asse X).
ora, di tutte queste rette, qual è quella che passa per il punto A ?
ora, di tutte queste rette, qual è quella che passa per il punto A ?
Imponi il passaggio per A poi lo imponi per B.Sai che il centro ha coordinate C(a/2;2) poichè come ti hanno detto il centro sta sulla retta y=2. A questo punto distanza centro retta tangente uguale al raggio cioè $sqrt((a/2)^2+(b/2)^2-c)$ hai tre equazioni e tre incognite e puoi trovarti i valori di a,b e c.Se non hai capito non esitare a chiedere.ciao!
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