Arctan1+arctan3+arctan5+arctan7+arctan8=360°
Provare che:
$arctan1+arctan3+arctan5+arctan7+arctan8=360°$
Io ho provato questa relazione mediante il calcolo vettoriale. Non potrò pubblicarla, ma posso inviarla al primo docente che me la richiede in privato e che è interessato al calcolo vettoriale.
ciao
Oliver
$arctan1+arctan3+arctan5+arctan7+arctan8=360°$
Io ho provato questa relazione mediante il calcolo vettoriale. Non potrò pubblicarla, ma posso inviarla al primo docente che me la richiede in privato e che è interessato al calcolo vettoriale.
ciao
Oliver
Risposte
La formula di addizione della tangente è sufficiente.
"qualcuno":
La formula di addizione della tangente è sufficiente.
Come già detto altrove... Se non fosse che la formula è "sbagliata".
Dopo la seconda guerra mondiale, i trattori 4T si sono convertiti tutti al motore Diesel, che a differenza dal motore a scoppio viene chiamato ad accensione per compressione o ad accensione spontanea. Infatti in questi motori Diesel nel cilindro viene immessa solo aria, che viene poi compressa, a questo punto viene iniettato il combustibile che a causa delle temperature elevate si incendia spontaneamente favorendo la combustione e cedendo lavoro allo stantuffo. Il primo trattore con motore Diesel è stato il trattore tedesco Benz-Sendling BS 6 introdotto nel 1922, mentre il primo trattore italiano con motore Diesel era il Cassani 40HP del 1926, però solo negli '60 la quasi totalità dei trattori europei possedeva un motore Diesel.
Se vuoi c'è un modello di trattore Cassani 40HP esposto al Museo nazionale della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci a Milano.
Se vuoi c'è un modello di trattore Cassani 40HP esposto al Museo nazionale della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci a Milano.
"gugo82":
Come già detto altrove... Se non fosse che la formula è "sbagliata".
$Tan(ArcTan 1+ArcTan 3)=\frac{1+3}{1-3}=-2$
$Tan(ArcTan 1+ArcTan 3+ArcTan 5)=\frac{-2+5}{1-(-2)5}=\frac{3}{11}$
$Tan(ArcTan 1+ArcTan 3+ArcTan 5+ArcTan 7)=\frac{\frac{3}{11}+7}{1-\frac{3}{11}7}=\frac{80}{-10}=-8$
$Tan(ArcTan 1+ArcTan 3+ArcTan 5+ArcTan 7+ArcTan 8)=\frac{-8+8}{1-(-8)8}=0$
Quindi:
$ArcTan 1+ArcTan 3+ArcTan 5+ArcTan 7+ArcTan 8=k\pi$
$ArcTan 1=\frac{\pi}{4}$,$ArcTan >\frac{\pi}{4}$,$ArcTan 5>\frac{\pi}{4}$,
$ArcTan 7>\frac{\pi}{4}$, $ArcTan 8>\frac{\pi}{4}$
Quindi:
$ArcTan 1+ArcTan 3+ArcTan 5+ArcTan 7+ArcTan 8>\frac{5}{4}\pi$
$ArcTan 1+ArcTan 3+ArcTan 5+ArcTan 7+ArcTan 8<5ArcTan 8<\frac{5}{2}\pi$
Quindi $k=2$
$ArcTan 1=\frac{\pi}{4},ArcTan 3>\frac{\pi}{4},ArcTan 5>\frac{\pi}{4},ArcTan 7>\frac{\pi}{4},ArcTan 8=2\pi$
Dove sta l'errore?
Nel fatto che $arctan$ non dà risultati in $""^\circ$.
"3m0o":Nella prima parte della storia di Roma, dalla sua fondazione (21 aprile 753 a.C.) a tutto il periodo monarchico (753-509 a.C.) e parte del periodo repubblicano, fino al III secolo a.C., il commercio non si basava sull'uso della moneta, ma su una forma di baratto che sfruttava come mezzo di scambio scarti di lavorazione di bronzo informi (aes rude), in base al valore intrinseco, ossia il valore del materiale.
Dopo la seconda guerra mondiale, i trattori 4T si sono convertiti tutti al motore Diesel, che a differenza dal motore a scoppio viene chiamato ad accensione per compressione o ad accensione spontanea. Infatti in questi motori Diesel nel cilindro viene immessa solo aria, che viene poi compressa, a questo punto viene iniettato il combustibile che a causa delle temperature elevate si incendia spontaneamente favorendo la combustione e cedendo lavoro allo stantuffo. Il primo trattore con motore Diesel è stato il trattore tedesco Benz-Sendling BS 6 introdotto nel 1922, mentre il primo trattore italiano con motore Diesel era il Cassani 40HP del 1926, però solo negli '60 la quasi totalità dei trattori europei possedeva un motore Diesel.
Se vuoi c'è un modello di trattore Cassani 40HP esposto al Museo nazionale della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci a Milano.
"gugo82":
Nel fatto che $arctan$ non dà risultati in $""^\circ$.
Dovresti scrivere alla Casio spiegando che le sue calcolatrici danno risultati sbagliati. Magari ti danno un premio.
Per calcolare la tangente di 15°, lo trasformi prima in radianti ?
ciao
Beh ci vuole un po' di attenzione ad usare le funzioni trigonometriche con i gradi. Non è che sia sbagliato, ma il modo più naturale è quello di utilizzare i radianti. Anche perché dire che un angolo retto è \( 90^{\circ} \) è una scelta arbitraria, perché non potrebbe essere \( 111^{\circ} \)? O perché non \( 1928374^{\circ} \) ? Il motivo è da ricercarsi nel fatto che chi ha inventato i gradi utilizzava un sistema numerico di base \(6\). Ad ogni modo puoi definire le funzioni trigonometriche anche con i gradi ma alcune cose cambiano leggermente. Ad esempio
\[ \frac{d}{dx } \sin (x^{\circ}) = \frac{\pi}{180} \cos(x^{\circ}) \]
e non più
\[ \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) \]
Non è che cambi chissà che cosa, moltiplichi per un fattore costante. Alcune identità trigonometriche vengono a cadere pertanto. Ad esempio sarebbe falso che
\[ \arctan(z) = \frac{1}{2i} \ln \left( \frac{1+iz}{1-iz} \right) \]
Questa identità segue integrando \( \frac{1}{1+z^2} \) che possiede come primitiva \( \arctan(z) \) solo se la misura d'angolo è in radianti.
Ps: non è un mistero che tutte le calcolatrici diano risultati errati, prova a calcolare \( \sqrt{2} \) e dimmi cosa ti dice. Di numeri ce ne sono infiniti la memoria della calcolatrice è finita, così come i bit, quindi la calcolatrice ti darà al più un numero finito di risultati esatti ma sempre un infinità di risultati sbagliati.
\[ \frac{d}{dx } \sin (x^{\circ}) = \frac{\pi}{180} \cos(x^{\circ}) \]
e non più
\[ \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) \]
Non è che cambi chissà che cosa, moltiplichi per un fattore costante. Alcune identità trigonometriche vengono a cadere pertanto. Ad esempio sarebbe falso che
\[ \arctan(z) = \frac{1}{2i} \ln \left( \frac{1+iz}{1-iz} \right) \]
Questa identità segue integrando \( \frac{1}{1+z^2} \) che possiede come primitiva \( \arctan(z) \) solo se la misura d'angolo è in radianti.
Ps: non è un mistero che tutte le calcolatrici diano risultati errati, prova a calcolare \( \sqrt{2} \) e dimmi cosa ti dice. Di numeri ce ne sono infiniti la memoria della calcolatrice è finita, così come i bit, quindi la calcolatrice ti darà al più un numero finito di risultati esatti ma sempre un infinità di risultati sbagliati.
Diciamo che l'angolo giro e' stato suddiviso in 360 gradi perche' e' divisibile per 2,3,4,5,6,8,12, ecc...
Nel passato un problema quotidiano era suddividere una certa quantita' in modo facile. Motivo per cui ad es. le uova venivano vendute a dozzine e ancora negli USA si sente parlare di "dozen".
Esistono poi formule "spaccacervello" per somme di tangenti.
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_t ... ts_of_sums
Nel passato un problema quotidiano era suddividere una certa quantita' in modo facile. Motivo per cui ad es. le uova venivano vendute a dozzine e ancora negli USA si sente parlare di "dozen".
Esistono poi formule "spaccacervello" per somme di tangenti.
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_t ... ts_of_sums
Per prima cosa ringrazio Qualcuno che ha avuto la buona volontà di provarci e mi ha indotto a dimostrare la formula in altro modo dalla dimostrazione vettoriale.
(1.1) \[\arctan 1+\arctan 3+\arctan 5+\arctan 7+\arctan 8=\pi \]
(1.2) \[\arctan a+\arctan b=\arctan \frac{ab-1}{a+b}\]
(1.3) \[\arctan 1+\arctan 3=\arctan \frac{1}{2}+\frac{\pi }{2}\]
(1.4) \[\arctan 5+\arctan 7=\arctan \frac{17}{6}+\frac{\pi }{2}\]
(1.5) \[\arctan \frac{1}{2}+\frac{\pi }{2}+\arctan \frac{17}{6}+\frac{\pi }{2}+\arctan 8=\pi \Rightarrow \arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{17}{6}+\arctan 8=0\]
(1.6) \[\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{17}{6}=\arctan \frac{1}{8}+\frac{\pi }{2}\]
(1.7) \[\arctan \frac{1}{8}+\arctan 8+\frac{\pi }{2}=\pi \]
Ciao
(1.1) \[\arctan 1+\arctan 3+\arctan 5+\arctan 7+\arctan 8=\pi \]
(1.2) \[\arctan a+\arctan b=\arctan \frac{ab-1}{a+b}\]
(1.3) \[\arctan 1+\arctan 3=\arctan \frac{1}{2}+\frac{\pi }{2}\]
(1.4) \[\arctan 5+\arctan 7=\arctan \frac{17}{6}+\frac{\pi }{2}\]
(1.5) \[\arctan \frac{1}{2}+\frac{\pi }{2}+\arctan \frac{17}{6}+\frac{\pi }{2}+\arctan 8=\pi \Rightarrow \arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{17}{6}+\arctan 8=0\]
(1.6) \[\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{17}{6}=\arctan \frac{1}{8}+\frac{\pi }{2}\]
(1.7) \[\arctan \frac{1}{8}+\arctan 8+\frac{\pi }{2}=\pi \]
Ciao
grave errore, sono una frana col Latec
la 1.2 è sbagliata deve essere
$arctana+arctanb=\frac{ab-1}{a+b}+\frac{pi}{2}$
la 1.2 è sbagliata deve essere
$arctana+arctanb=\frac{ab-1}{a+b}+\frac{pi}{2}$
"Oliver Heaviside":
Per prima cosa ringrazio Qualcuno che ha avuto la buona volontà di provarci e mi ha indotto a dimostrare la formula in altro modo dalla dimostrazione vettoriale.
(1.1) \[\arctan 1+\arctan 3+\arctan 5+\arctan 7+\arctan 8=\pi \]
Ciao
Ciao.
Adesso la somma fa 180^ ($\pi$) e non piu' 360^ ?
"Quinzio":
Motivo per cui ad es. le uova venivano vendute a dozzine e ancora negli USA si sente parlare di dozen
Anche qui adesso le uova sono vendute a mezza dozzina, per non parlare della classica dozzina di rose, unica quantità di fiori che può essere offerta in numero pari. Per superstizione o tradizione i fiori vanno regalati in quantità dispari.
"@melia":
[quote="Quinzio"]Motivo per cui ad es. le uova venivano vendute a dozzine e ancora negli USA si sente parlare di dozen
Anche qui adesso le uova sono vendute a mezza dozzina, per non parlare della classica dozzina di rose, unica quantità di fiori che può essere offerta in numero pari. Per superstizione o tradizione i fiori vanno regalati in quantità dispari.[/quote]
Anche le birre sono spesso vendute in pacchi da 6.
Certo, pero' qui da noi nessuno usa piu' la parola "dozzina". Secondo me molta gente non sa neanche piu' cos'e'.
Negli USA invece ti capiscono ancora se dici "half a dozen".
Anche le birre sono spesso vendute in pacchi da 6... per superstizione o tradizione, le peroni vanno sempre regalate in quantità dispari.
"megas_archon":Anche le birre sono spesso vendute in pacchi da 6... per superstizione o tradizione, le peroni vanno sempre regalate in quantità dispari.
Ho fatto confuzione col latex..
E' evidente che se
$arctan1+arctan2+arctan3=1pi$ l'altra deve essere maggiore..
appena ho un po' di tempo correggo..
@melia
Da me anche le rose vanno regalate dispari, pari è un orrore
Da me anche le rose vanno regalate dispari, pari è un orrore
basta correggere il refuso inziale scrivendo 2 pigreco invece di pigreco e la dimostrazione è corretta.
"Oliver Heaviside":
[quote="gugo82"]Nel fatto che $arctan$ non dà risultati in $""^\circ$.
Dovresti scrivere alla Casio spiegando che le sue calcolatrici danno risultati sbagliati. Magari ti danno un premio.
Per calcolare la tangente di 15°, lo trasformi prima in radianti ?
ciao[/quote]
Ma qui si parla di Matematica, non di calcolatrici... O sbaglio?
Riscrivo la dimostrazione stando attento ai refusi, e mi scuso molto per il precedente (ma sono rimasto sorpreso nessuno lo abbia immediatamente rilevato).
(1.1) \[\arctan 1+\arctan 3+\arctan 5+\arctan 7+\arctan 8=2\pi \]
(1.2) \[\arctan a+\arctan b=\arctan \frac{ab-1}{a+b}+\frac{\pi }{2}\]
(1.3) \[\arctan 3+\arctan 7=\arctan \frac{20}{10}+\frac{\pi }{2}\Rightarrow \arctan 3+\arctan 7=\arctan 2+\frac{\pi }{2}\]
(1.4) \[\arctan 5+\arctan 8=\arctan \frac{39}{13}+\frac{\pi }{2}\Rightarrow \arctan 5+\arctan 8=\arctan 3+\frac{\pi }{2}\]
sostituendo nella 1 abbiamo
(1.6) \[\arctan 1+\arctan 2+\frac{\pi }{2}+\arctan 3+\frac{\pi }{2}=2\pi \]
(1.7) \[\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3=\pi \]
questa è una nota proprietà, ad ogni modo
$\arctan 2+\arctan 3=\arctan \frac{5}{5}+\frac{\pi }{2}\Rightarrow \arctan 2+\arctan 3=\arctan 1+\frac{\pi }{2}$
e sostituendo enlla 7 abbiamo
(1.8)$\arctan 1+\arctan 1+\frac{\pi }{2}=\pi $
Spero questa dimostrazione sia utile
Ciao a tutti.
P.S: mi scuso di nuovo per il post con il refuso
(1.1) \[\arctan 1+\arctan 3+\arctan 5+\arctan 7+\arctan 8=2\pi \]
(1.2) \[\arctan a+\arctan b=\arctan \frac{ab-1}{a+b}+\frac{\pi }{2}\]
(1.3) \[\arctan 3+\arctan 7=\arctan \frac{20}{10}+\frac{\pi }{2}\Rightarrow \arctan 3+\arctan 7=\arctan 2+\frac{\pi }{2}\]
(1.4) \[\arctan 5+\arctan 8=\arctan \frac{39}{13}+\frac{\pi }{2}\Rightarrow \arctan 5+\arctan 8=\arctan 3+\frac{\pi }{2}\]
sostituendo nella 1 abbiamo
(1.6) \[\arctan 1+\arctan 2+\frac{\pi }{2}+\arctan 3+\frac{\pi }{2}=2\pi \]
(1.7) \[\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3=\pi \]
questa è una nota proprietà, ad ogni modo
$\arctan 2+\arctan 3=\arctan \frac{5}{5}+\frac{\pi }{2}\Rightarrow \arctan 2+\arctan 3=\arctan 1+\frac{\pi }{2}$
e sostituendo enlla 7 abbiamo
(1.8)$\arctan 1+\arctan 1+\frac{\pi }{2}=\pi $
Spero questa dimostrazione sia utile
Ciao a tutti.
P.S: mi scuso di nuovo per il post con il refuso
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