Algebra per il biennio, Suggerimenti ai miei dilemmi.
Oggi mi promuovo alle superiori, non so se sarò all'altezza ma ci provo, sono parecchio indietro con gli altri studi e non vorrei rischiare di perdere troppo tempo su un solo argomento.
Obbiettivo avere l'idoneità alla terza superiore.
questo thread sarà dedicato in particolare ai problemi che trovo su algebra, poi ne aprirò altri per argomenti diversi.
grazie per chi mi volesse aiutare.
Obbiettivo avere l'idoneità alla terza superiore.
questo thread sarà dedicato in particolare ai problemi che trovo su algebra, poi ne aprirò altri per argomenti diversi.
grazie per chi mi volesse aiutare.
Risposte
ecco il primo dilemma, riguarda il teorema del resto di ruffini.
Tipo di esercizio: Calcola il resto delle divisioni senza eseguirle, pag:534.
Es.N°808
$(a^6-3a^3b^3+b^6)/(a+b)$
P(a)=+b quindi invertendo =-b
sostituisco le lettere ad A.
$(-b^6-3*(-b)^3*(b)^3-b^6)$
dovrei ottenere a parer mio ovvio: $+b^6+3b^6+b^6=5b^6$
ho corretto l'errore, avevo sostituito non solo alla variabile (a) con -b, ma anche b modificando i segni.
Tipo di esercizio: Calcola il resto delle divisioni senza eseguirle, pag:534.
Es.N°808
$(a^6-3a^3b^3+b^6)/(a+b)$
P(a)=+b quindi invertendo =-b
sostituisco le lettere ad A.
$(-b^6-3*(-b)^3*(b)^3-b^6)$
dovrei ottenere a parer mio ovvio: $+b^6+3b^6+b^6=5b^6$
ho corretto l'errore, avevo sostituito non solo alla variabile (a) con -b, ma anche b modificando i segni.
ho trovato il perché nascosto bene; perché la potenza poi diventa pari e quindi il segno cambia.
a questa non mi rispondo da solo! sui libri piace insegnarti una cosa e poi come esercizio dartene uno che non hai mai visto come struttura e resti bloccato, di sicuro si divertiranno pure agli esami a fare così e questo è male, se lo facessi io al posto loro non so se si divertirebbero sapendo che c'è in gioco qualcosa di grosso.
è una espressione da risolvere col metodo ruffini, non riesco ha trovare la soluzione
Es. pag536N°843
$[by^4+b^2y^3+(b+1)y^2-(-3b-b^2)y+b^2]/(y+b)$
purtroppo qua penso si possa scrivere con tale metodo, quindi per ora datemi qualche indicazione su come risolvere; il problema penso si trovi al terzo passaggio dove ci sono le parentesi.
è una espressione da risolvere col metodo ruffini, non riesco ha trovare la soluzione
Es. pag536N°843
$[by^4+b^2y^3+(b+1)y^2-(-3b-b^2)y+b^2]/(y+b)$
purtroppo qua penso si possa scrivere con tale metodo, quindi per ora datemi qualche indicazione su come risolvere; il problema penso si trovi al terzo passaggio dove ci sono le parentesi.
Nella colonna che precede l'ultima linea verticale: la prima riga è $3b+b^2$ (non devi mettere y e un segno è sbagliato); la seconda riga è giusta, ma devi fare i calcoli e scrivere $-b^2-b$; la terza riga, somma delle precedenti, è quindi $2b$. Completando i calcoli il resto non è zero, quindi il tuo polinomio non è divisibile per $y+b$. Sicuro di averlo scritto giusto?
ciao, a parte la y che in effetti è stato un errore dovuto a vari esperimenti che mi stava facendo con gli esercizi, ho provato a fare il conto che dici te, però mi risulta $-4b$ e non $-2b$
$-(3b-b^2)-b(b+1)=-3b+b^2-b^2-b=-4b$
se facessi come visto nel tuo esempio vedrei questo risultato:
$-(3b-b^2)-b(b+1)=-3b-b^2-b^2-b=-4b-2b^2$
aggiungo, l'unico modo visibile sarebbe porre il 3 positivo, ma avendo un meno davanti come può diventare positivo?
a parte il mio profondo dilemma sul primo $b^2$che risulta positivo, è una cosa che dovrò rivedermi bene perché non l'avevo capita a suo tempo, cioè la differenza
tra $-2^2$ e $(-2)^2$, di fatto provando il segno non capisco come possa essere diverso; facendo i vari passaggi non capisco come fai a trovare $-2b$.
dove sbaglio?
$-(3b-b^2)-b(b+1)=-3b+b^2-b^2-b=-4b$
se facessi come visto nel tuo esempio vedrei questo risultato:
$-(3b-b^2)-b(b+1)=-3b-b^2-b^2-b=-4b-2b^2$
aggiungo, l'unico modo visibile sarebbe porre il 3 positivo, ma avendo un meno davanti come può diventare positivo?
a parte il mio profondo dilemma sul primo $b^2$che risulta positivo, è una cosa che dovrò rivedermi bene perché non l'avevo capita a suo tempo, cioè la differenza
tra $-2^2$ e $(-2)^2$, di fatto provando il segno non capisco come possa essere diverso; facendo i vari passaggi non capisco come fai a trovare $-2b$.
dove sbaglio?
non deve risultare 0 ma R=$5b^2$ R inteso come resto!
Nel testo avevi scritto $-(-3b-b^2)y$ e questo è uguale a $+(3b+b^2)y$; considerando il risultato del libro, concludo che hai sbagliato a scrivere il testo e in questo caso sono giusti i tuoi calcoli. Continuando trovi proprio il resto voluto. In una tua riga c'è poi un errore di segno: i segni giusti sono $-(3b-b^2)=-3b+b^2$.
Per quanto riguarda le potenze, analizziamo i due testi, cominciando con $-2^2$. In assenza di parentesi, bisogna come prima cosa fare le potenze, e 2 al quadrato fa 4. Adesso pensiamo al rimanente: c'è un meno, quindi dobbiamo cambiare di segno: viene -4. La scritta in questione equivale a $-(2^2)$.
Passiamo a $(-2)^2$: qui le parentesi ci sono, quindi dobbiamo tenerne conto. Significano: prendete il numero -2 ed elevatelo a quadrato, cioè moltiplicatelo per se stesso. Per la regola dei segni, meno per meno fa più, quindi viene +4,
Per quanto riguarda le potenze, analizziamo i due testi, cominciando con $-2^2$. In assenza di parentesi, bisogna come prima cosa fare le potenze, e 2 al quadrato fa 4. Adesso pensiamo al rimanente: c'è un meno, quindi dobbiamo cambiare di segno: viene -4. La scritta in questione equivale a $-(2^2)$.
Passiamo a $(-2)^2$: qui le parentesi ci sono, quindi dobbiamo tenerne conto. Significano: prendete il numero -2 ed elevatelo a quadrato, cioè moltiplicatelo per se stesso. Per la regola dei segni, meno per meno fa più, quindi viene +4,
grazie, fammi assimilare quello che stavo studiando oggi, sono fuso! credo che l'argomento di oggi sia tra i più difficili da assimilare che abbia affrontato fino ad ora; si tratta della fattorizzazione dei polinomi sono circa 25pag in tutto e ne ho fatte un terzo; mi hanno quasi mandato in tilt.
appena mi riprendo torno a vedere le divisioni perché ho notato che molte altre non sono riuscito a risolverle, quindi c'è qualcosa che non ho compreso.
se mi ripiglio posto alcuni dilemmi sull'argomento appena fatto altrimenti mi dimentico, poi tornerò alle divisioni.
mi organizzo e posto.
appena mi riprendo torno a vedere le divisioni perché ho notato che molte altre non sono riuscito a risolverle, quindi c'è qualcosa che non ho compreso.
se mi ripiglio posto alcuni dilemmi sull'argomento appena fatto altrimenti mi dimentico, poi tornerò alle divisioni.
mi organizzo e posto.
niente, per ora lascio stare, vado a guardarmi qualche videolezione che ho trovato su internet, sperando di capire meglio, poi vedo di chiedere se non trovo la soluzione.
"giammaria":
Nel testo avevi scritto $-(-3b-b^2)y$ e questo è uguale a $+(3b+b^2)y$; considerando il risultato del libro, concludo che hai sbagliato a scrivere il testo e in questo caso sono giusti i tuoi calcoli. Continuando trovi proprio il resto voluto. In una tua riga c'è poi un errore di segno: i segni giusti sono $-(3b-b^2)=-3b+b^2$.
Per quanto riguarda le potenze, analizziamo i due testi, cominciando con $-2^2$. In assenza di parentesi, bisogna come prima cosa fare le potenze, e 2 al quadrato fa 4. Adesso pensiamo al rimanente: c'è un meno, quindi dobbiamo cambiare di segno: viene -4. La scritta in questione equivale a $-(2^2)$.
Passiamo a $(-2)^2$: qui le parentesi ci sono, quindi dobbiamo tenerne conto. Significano: prendete il numero -2 ed elevatelo a quadrato, cioè moltiplicatelo per se stesso. Per la regola dei segni, meno per meno fa più, quindi viene +4,
bene, mi sono letto la regoletta sulla potenza che mi hai citato e il segno, in effetti pensandoci bene, quando non hai parentesi prima si effettuano le moltiplicazioni le divisioni e le potenze, quindi il segno fa parte di un altra operazione che non ha precedenza in questo caso, mentre se si trovano tra parentesi prende significato diverso.
Grazie.
tornando alla divisione precedente trascrivo di nuovo il tutto perché sinceramente non so di preciso il conto che si deve fare; in questi giorni mi sono fermato nel continuare e mi sono riguardato le cose precedenti, divisioni fra polinomi comprese.
questo tipo di divisioni con parentesi incorporate non le digerisco bene al momento, hanno lo stesso problema che incontravo con l'esempio delle potenze tra parentesi o fuori parentesi.
la divisione in questione cerca come risultato (y).
Il risultato è : $by^3+(b+1)y-4b$
il Resto è: $5b^2$
ho notato alcuni tuoi suggerimenti e ho visto cose che non sapevo, ad esempio citando una tua parte:
Nel testo avevi scritto $-(-3b-b^2)y$ e questo è uguale a $+(3b+b^2)y$;
non pensavo si potesse moltiplicare un segno per il contenuto della parentesi prima di effettuare la moltiplicazione con y, di fatto prima del segno meno c'è di sicuro un altro numero.
ora riposto qua l'espressione, purtroppo so che non si può scrivere sul forum rispettando la struttura di ruffini, quindi se ti va e se riesci prova a suggerirmi tenendo presente l'immagine che ho postato io; ora hai tutto il risultato e resto del libro, fammi sapere se è giusto o no, almeno mi regolo!.
Grazie.
Es. pag536N°843
$[by^4+b^2y^3+(b+1)y^2-(3b-b^2)y+b^2]/(y+b)$
Il risultato è : $by^3+(b+1)y-4b$
il Resto è: $5b^2$
ho pure trovato un errore nell'espressione, l'ho corretto!
Come suggerisci, mi rifaccio all'immagine che hai postato: tutto bene fino all'ultima colonna, quella in fondo alla quale c'è il punto interrogativo. Nella prima riga devi scrivere $-3b+b^2$, cioè il coefficiente di y (con i segni cambiati per tener conto del segno -), nella seconda scrivi $-b^2-b$ (che è quello che avevi scritto, ma con i calcoli fatti) e nella terza $-4b$ (la somma delle due precedenti). La quinta e ultima colonna ha nelle tre righe rispettivamente $b^2, 4b^2, 5b^2$
"Emanuelehk":Forse allora ti è utile un altro chiarimento: un segno - davanti a un prodotto equivale a moltiplicare per -1. Sappiamo che in un prodotto i calcoli possono essere fatti in qualsiasi ordine, quindi possiamo moltiplicare per -1 uno qualsiasi dei vari fattori; in pratica, davanti a tutto scriviamo il segno + e poi cambiamo i segni di un fattore a nostra scelta.
ho notato alcuni tuoi suggerimenti e ho visto cose che non sapevo, ad esempio citando una tua parte:
Nel testo avevi scritto $-(-3b-b^2)y$ e questo è uguale a $+(3b+b^2)y$;
non pensavo si potesse moltiplicare un segno per il contenuto della parentesi prima di effettuare la moltiplicazione con y, di fatto prima del segno meno c'è di sicuro un altro numero.
"giammaria":
Come suggerisci, mi rifaccio all'immagine che hai postato: tutto bene fino all'ultima colonna, quella in fondo alla quale c'è il punto interrogativo. Nella prima riga devi scrivere $-3b+b^2$, cioè il coefficiente di y (con i segni cambiati per tener conto del segno -), nella seconda scrivi $-b^2-b$ (che è quello che avevi scritto, ma con i calcoli fatti) e nella terza $-4b$ (la somma delle due precedenti). La quinta e ultima colonna ha nelle tre righe rispettivamente $b^2, 4b^2, 5b^2$
Bene, vediamo se riesco a chiarire questa cosa:
il calcolo in definitiva è il seguente:
$[-b*1(b+1)1]-1(3b-b^2)1$
$(-b^2-b)-3b+b^2$
$-b^2-b-3b+b^2$
$-b^2+b^2=0$
$-b-3b=-4b$
quindi da quel che capisco se ci sono delle parentesi devo fare il calcolo interno, quindi non solo verticalmente ma anche orizzontalmente ; riguardo i segni in effetti erano cose che facevo pure prima, ma stavolta mi hanno confuso per il modo in cui si presentava l'espressione, ho messo gli 1 sopra solo per evidenziare la cosa.
adesso ne posto un altra lunghetta che non ho capito.
Sempre con le belle parentisi.
prima di farlo provo a vedere l'ennesima volta se la risolvo ma non penso proprio!
ho cambiato idea, avendo visto altre divisioni di diverso tipo chiedo per queste che le vedo proibitive per me, soprattutto considerando come mi stanno istruendo con gli esercizi guida!
queste divisione si devono svolgere applicando la regola invariantiva della divisione per dividere un polinomio del tipo $(ax+b)$ sempre con il metodo ruffini.
Ora leggendo la guida mi dice che dovrei dividere l'espressione per il valore del coefficiente $ax$ sempre seguendo l'esempio sopra, e se non erro sarebbe per (a) che sarà un coefficiente e poi moltiplicare il resto per lo stesso numero, così troverò il resto della divisione. Bene, mi son guardato l'esempio, vado dritto sull'esercizio e niente, manco mi avvicino al risultato!
prima scrivo l'esempio sul libro:
$(2x^3-4x^2-5x-1)/(2x-1)$
fatto questo divide per 2 che presumo si riferisca al 2 presente nel divisore e divide tutto il polinomio ma da quel che capisco nella divisione lascia inalterati sia i segni sia le variabili.
$(x^3-2x^2+5/2x-1/2)/(x-1/2)$
a questo punto fa la normale divisione di ruffini e trova il resto e il quozionte, questo esempio sarei riuscito pure io a farlo.
ora posto il primo esercizio, poi provo su carta e lo posto qua....ho provato su carta prima di postare
sono riuscito ad iniziarla, ma non trovo il resto corretto che dovrebbe essere $-1$, ora la svolgo come posso qua sotto:
$(6x^3+3x^2+4x+1)/(2x+1)$
eseguo la divisione per 2.
$(3x^3+(3/2)x^2+2x+1/2)(x+1/2)$
trovo $-a=(-1/2)$
seguendo in modo immaginario lo schema di ruffini....
abbasso il 3 e lo moltiplico per $-1/2$
salta fuori $-3/2$ che mi annulla la successiva colonna
abbasso il +2 e moltiplico per $-1/2$ salta fuori $-1$ che
se non erro lo incolonno sotto il termine noto $1/2$ provo a fare il conto e salta fuori $0/2$ e anche se lo moltiplicassi per 2
non troverei -1.
dove sta l'errore?
Grazie.
queste divisione si devono svolgere applicando la regola invariantiva della divisione per dividere un polinomio del tipo $(ax+b)$ sempre con il metodo ruffini.
Ora leggendo la guida mi dice che dovrei dividere l'espressione per il valore del coefficiente $ax$ sempre seguendo l'esempio sopra, e se non erro sarebbe per (a) che sarà un coefficiente e poi moltiplicare il resto per lo stesso numero, così troverò il resto della divisione. Bene, mi son guardato l'esempio, vado dritto sull'esercizio e niente, manco mi avvicino al risultato!
prima scrivo l'esempio sul libro:
$(2x^3-4x^2-5x-1)/(2x-1)$
fatto questo divide per 2 che presumo si riferisca al 2 presente nel divisore e divide tutto il polinomio ma da quel che capisco nella divisione lascia inalterati sia i segni sia le variabili.
$(x^3-2x^2+5/2x-1/2)/(x-1/2)$
a questo punto fa la normale divisione di ruffini e trova il resto e il quozionte, questo esempio sarei riuscito pure io a farlo.
ora posto il primo esercizio, poi provo su carta e lo posto qua....ho provato su carta prima di postare
sono riuscito ad iniziarla, ma non trovo il resto corretto che dovrebbe essere $-1$, ora la svolgo come posso qua sotto:$(6x^3+3x^2+4x+1)/(2x+1)$
eseguo la divisione per 2.
$(3x^3+(3/2)x^2+2x+1/2)(x+1/2)$
trovo $-a=(-1/2)$
seguendo in modo immaginario lo schema di ruffini....
abbasso il 3 e lo moltiplico per $-1/2$
salta fuori $-3/2$ che mi annulla la successiva colonna
abbasso il +2 e moltiplico per $-1/2$ salta fuori $-1$ che
se non erro lo incolonno sotto il termine noto $1/2$ provo a fare il conto e salta fuori $0/2$ e anche se lo moltiplicassi per 2
non troverei -1.
dove sta l'errore?
Grazie.
Nell'ultima somma che hai fatto : $1/2-1=(1-2)/2=-1/2$, che moltiplicato per 2 dà il -1 indicato come resto.
che brocco che sono
altra incomprensione sullo stesso tipo di divisione! non c'è niente da fare, qualcosa mi sfugge sempre ed è un bel problema, le cose sono moltissime da sapere e quando arrivi in un punto rischi di dimenticare l'altro, andando avanti in queste cose ci si rende conto che per mantenerle in memoria si deve stare in continuo esercizio e questa diventa una dipendenza!
riguardandomi l'esempio, mi sembra di dover correggere una mia affermazione riguardo i segni quando divido il polinomio per a(x); quindi si devono modificare pure i segni quando si applica la proprietà invariantiva della divisione.
es. N°847 pag 537
$(3x^3+8x^2-15x+2)/(3x-1)$ dove a(x) dovrebbe essere (3)
allora eseguo la proprietà invariantiva e il sistema ruffini come posso, ed esce:
$1+8/3-5$ il termine noto $2/3$ P(a)=-a=$1/3$
allora provo ad abbassare e faccio $1*1/3=1/3+8/3=3$
moltiplico $1/3*3=1-5=-4$ e fino qua sembra tutto giusto guardando il risultato
il problema arriva sul resto
moltplico $1/3*(-4)=-4/3+2/3=-2/3+2/3=0*3=0$
il resto dovrebbe essere $-2$
riguardandomi l'esempio, mi sembra di dover correggere una mia affermazione riguardo i segni quando divido il polinomio per a(x); quindi si devono modificare pure i segni quando si applica la proprietà invariantiva della divisione.
es. N°847 pag 537
$(3x^3+8x^2-15x+2)/(3x-1)$ dove a(x) dovrebbe essere (3)
allora eseguo la proprietà invariantiva e il sistema ruffini come posso, ed esce:
$1+8/3-5$ il termine noto $2/3$ P(a)=-a=$1/3$
allora provo ad abbassare e faccio $1*1/3=1/3+8/3=3$
moltiplico $1/3*3=1-5=-4$ e fino qua sembra tutto giusto guardando il risultato
il problema arriva sul resto
moltplico $1/3*(-4)=-4/3+2/3=-2/3+2/3=0*3=0$
il resto dovrebbe essere $-2$
$-4/3+2/3=(-4+2)/3=-2/3$. Moltiplicato per 3 dà -2. Ti piacciono un po' troppo gli zeri, ma la somma di due addendi non nulli è zero solo se uno è uguale all'altro cambiato di segno.
mi sembra di aver capito una cosa; questo tipo di calcolo, è poco proficuo, primo porta maggiormente ad errore rispetto ad una divisione in forma normale, secondo l'operazione è più lunga visto che devi fare molti più conti per trovare la soluzione.
Quindi non vedo il vantaggio nell'attraversare il mare con una tempesta in atto, quando so che il giorno dopo sarei potuto passare senza rischiare il collo di qualcuno!
piaciuto l'aneddoto?:D
adesso rispondimi che così imparo a navigare che sono a posto:D il pirata emanuele non teme rivali e se ne sbatte di chi è a bordo e della sua vita rischiare
Quindi non vedo il vantaggio nell'attraversare il mare con una tempesta in atto, quando so che il giorno dopo sarei potuto passare senza rischiare il collo di qualcuno!
piaciuto l'aneddoto?:D
adesso rispondimi che così imparo a navigare che sono a posto:D il pirata emanuele non teme rivali e se ne sbatte di chi è a bordo e della sua vita rischiare
anche con il sistema ruffine se il polinomio è lungo si rischia di sbagliare a scrivere i gradi visto che sono posizionati in punti differenti sul foglio, per non confondermi di solito mi segno in piccolo il grado sopra il coefficiente, altrimenti rischio di guardare un grado sbagliato.
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