0^0
Volevo solo far vedere il mio ragionamento per quanto riguarda la forma indeterminata $0^0$:
L'operatore potenza è definito come: $a^b = 1*a*a*a*...*a$ con a ripetuto b volte
all'inizio avrete notato l'1, perchè ho messo l'uno?
perchè noi sappiamo che ogni numero elevato a 0 dovrebbe dare 1, perchè si comincia ad effettuare il prodotto da 1 e non da un altro numero, perchè il numero uno è l'elemento neutro rispetto al prodotto
così anche $n*0$ da $0$ perché l'operatore prodotto è definito: $a*b = 0+a+a+a+a+...+a$ con a ripetuto b volte
quindi non capisco il motivo per cui la gente pensa che $0^0$ non è definito
Qualcuno può darmi qualche chiarimento al riguardo?
Grazie
Mega-X
L'operatore potenza è definito come: $a^b = 1*a*a*a*...*a$ con a ripetuto b volte
all'inizio avrete notato l'1, perchè ho messo l'uno?
perchè noi sappiamo che ogni numero elevato a 0 dovrebbe dare 1, perchè si comincia ad effettuare il prodotto da 1 e non da un altro numero, perchè il numero uno è l'elemento neutro rispetto al prodotto
così anche $n*0$ da $0$ perché l'operatore prodotto è definito: $a*b = 0+a+a+a+a+...+a$ con a ripetuto b volte
quindi non capisco il motivo per cui la gente pensa che $0^0$ non è definito
Qualcuno può darmi qualche chiarimento al riguardo?
Grazie
Mega-X
Risposte
Giusto un minuto prima che io postassi nell'altro topic! 
A questo punto mi associo alla richiesta di chiarimenti, siccome la mia è una semplice reminiscenza dal libro del biennio
A questo punto mi associo alla richiesta di chiarimenti, siccome la mia è una semplice reminiscenza dal libro del biennio
lol sono una furia nei post riguardo alla velocità..
$0^0$ non è una forma indeterminata... semplicemente non esiste.
$n^k=n*n*...*n$ k volte per definizione
si osserva immediatamente che questa definizione ha significato solo per k naturale positivo, che significherebbe, infatti, moltiplicare n per se stesso mezza volta? o -2 volte? o, ancora, 0 volte?
A partire da questa definizione si è poi voluto estendere, per vari motivi, la definizione a esponenti prima interi, poi razionali e, infine, reali. Per estendere la definizione, però, era necessario trovare un modo tale che le proprietà delle potenze continuassero a valere.
La definizione $0^0=1$ che pure appaqre a prima vista sensata, sarebbe, tuttavia in contrazzizione con altre regole dell'aritmetica:
Se avesse senso parlare di $0^0$ si avrebbe la seguente catena di uguaglianze:
$0^0=0^(1-1)=0^1*0^(-1)=0/0$ ma $0/0 ne 1$!!!!
$n^k=n*n*...*n$ k volte per definizione
si osserva immediatamente che questa definizione ha significato solo per k naturale positivo, che significherebbe, infatti, moltiplicare n per se stesso mezza volta? o -2 volte? o, ancora, 0 volte?
A partire da questa definizione si è poi voluto estendere, per vari motivi, la definizione a esponenti prima interi, poi razionali e, infine, reali. Per estendere la definizione, però, era necessario trovare un modo tale che le proprietà delle potenze continuassero a valere.
La definizione $0^0=1$ che pure appaqre a prima vista sensata, sarebbe, tuttavia in contrazzizione con altre regole dell'aritmetica:
Se avesse senso parlare di $0^0$ si avrebbe la seguente catena di uguaglianze:
$0^0=0^(1-1)=0^1*0^(-1)=0/0$ ma $0/0 ne 1$!!!!
La definzione di elevamento a potenza data da Mega-X...
L'operatore potenza è definito come: $a^b=1*a*a*...*a$ con $a$ ripetuto $b$ volte...
... è la sola corretta, anche se la maggior parte dei 'testi' ne riporta un'altra. Sono anni che conduco una 'battaglia' riguardo al 'problema $0^0$' e mi fa piacere aver finalmente trovato un 'alleato' in Mega-X...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but neevr his nature
L'operatore potenza è definito come: $a^b=1*a*a*...*a$ con $a$ ripetuto $b$ volte...
... è la sola corretta, anche se la maggior parte dei 'testi' ne riporta un'altra. Sono anni che conduco una 'battaglia' riguardo al 'problema $0^0$' e mi fa piacere aver finalmente trovato un 'alleato' in Mega-X...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but neevr his nature
grazie, lupo grigio.... e in bocca al lupo per la tua "battaglia"
"Giusepperoma":
Se avesse senso parlare di $0^0$ si avrebbe la seguente catena di uguaglianze:
$0^0=0^(1-1)=0^1*0^(-1)=0/0$ ma $0/0 ne 1$!!!!
t'ho beccato!!!!!!!!!
$\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=\frac{0}{0}$, "ma è dimostrato che è" =1
cosa hai beccato?
Io ho detto che $0/0ne1$, non mi sono mai sognato di dire che non esista nessun limite notevole che dia 1 come risultato di una forma indeterminata del tipo $0/0$...
E poi $\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=\frac{0}{0}$ è formalmente sbagliato, proprio per quello fche ho detto sopra (scusa se insisto, lupo grigio) Quello che è corretto - concettualmente e formalmente - è affermare che
$\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1$
e che
$\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}$ è una forma indeterminata del tipo $\frac{0}{0}
Io ho detto che $0/0ne1$, non mi sono mai sognato di dire che non esista nessun limite notevole che dia 1 come risultato di una forma indeterminata del tipo $0/0$...
E poi $\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=\frac{0}{0}$ è formalmente sbagliato, proprio per quello fche ho detto sopra (scusa se insisto, lupo grigio) Quello che è corretto - concettualmente e formalmente - è affermare che
$\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1$
e che
$\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}$ è una forma indeterminata del tipo $\frac{0}{0}
Giusepperoma: se avesse senso parlare di $0^0$ si avrebbe la seguente catena di uguaglianze: $0^0=0^(1-1)=0^1*0^(-1)=...$
Ahimeh!... purtroppo in questo caso è il termine $0^(-1)$ che [non esiste infatti $1/0$...] rende il ragionamento sopra privo di consistenza...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ahimeh!... purtroppo in questo caso è il termine $0^(-1)$ che [non esiste infatti $1/0$...] rende il ragionamento sopra privo di consistenza...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
perchè, esistono diversi tipi di forme indeterminate?
quello che sto per scrivere è un'aberrazione, ma in $RR U {oo}$, $oo -oo=0/0=oo*0=oo/oo=0^0=1^oo$ è buona no?
quello che sto per scrivere è un'aberrazione, ma in $RR U {oo}$, $oo -oo=0/0=oo*0=oo/oo=0^0=1^oo$ è buona no?
giusto!
allora perchè mai dovrebbe essere $0^0=1$?
$0^x$ ha significato (e vale 0) per ogni x reale positivo,
Quale sarebbe il motivo (e quale la necessità?) di ampliare la definizione al caso x=0, dal momento che
1) $0^0$ continuerebbe a non essere definito per x<0
2) in x=0 la funxione $y=0^x$ non sarebbe nemmeno continua?
allora perchè mai dovrebbe essere $0^0=1$?
$0^x$ ha significato (e vale 0) per ogni x reale positivo,
Quale sarebbe il motivo (e quale la necessità?) di ampliare la definizione al caso x=0, dal momento che
1) $0^0$ continuerebbe a non essere definito per x<0
2) in x=0 la funxione $y=0^x$ non sarebbe nemmeno continua?
"Irrational":
perchè, esistono diversi tipi di forme indeterminate?
non capisco la domanda
"Irrational":
quello che sto per scrivere è un'aberrazione, ma in $RR U {oo}$, $oo -oo=0/0=oo*0=oo/oo=0^0=1^oo$ è buona no?
no, quelle uguaglianze sono prive di significato.... tutti i membri della tua uguaglianza hanno in comune solo il fatto di essere forme indeterminate se ottenute come risultati di limiti e di non avere senso al difuori di tale contesto.
$0/0$ non ha nessun senso neanche in $RR U {oo}$
nota che sarebbe altrettanto sbagliato scrivere (anche in $RR U {oo}$) $0/0=1$
giusepperoma, con il tuo ragionamento hai dimostrato che $0^0 = 1$
motivazione:
tu avevi detto che $0^0$ non esiste perchè si arrivava a $0^(1-1)$ e poi $0^1/0^1=0/0$ però
$0^1/0^1$ non è forse uguale a $x = 0, x^1/x^1$ e quindi anche a $lim_(xto0)x^1/x^1$ e quindi (IN QUESTO CASO) $0/0 = 1$?
Rispondi please
Mega-X
motivazione:
tu avevi detto che $0^0$ non esiste perchè si arrivava a $0^(1-1)$ e poi $0^1/0^1=0/0$ però
$0^1/0^1$ non è forse uguale a $x = 0, x^1/x^1$ e quindi anche a $lim_(xto0)x^1/x^1$ e quindi (IN QUESTO CASO) $0/0 = 1$?
Rispondi please
Mega-X
???
ma.... sei veramente convinto che $x/x$ fa 1 anche se x=0???
e che c'entrano i limiti?
certo che
$lim_(xto0)x/x=1 $
la funzione $y=x/x$ coincide su tutto $RR$ tranne che in 0 (dove non è definita) con y=1. Ovviamente può essere prolungata per continuità anche nell'origine dal momento che il limite vale 1
IL LIMITE!!!
ma.... sei veramente convinto che $x/x$ fa 1 anche se x=0???
e che c'entrano i limiti?
certo che
$lim_(xto0)x/x=1 $
la funzione $y=x/x$ coincide su tutto $RR$ tranne che in 0 (dove non è definita) con y=1. Ovviamente può essere prolungata per continuità anche nell'origine dal momento che il limite vale 1
IL LIMITE!!!
dannazione a me e alla definizione di funzione continua..
scusate per l'errore madornale..
(cmq sono ancora convinto che $0^0 = 1$)
scusate per l'errore madornale..
(cmq sono ancora convinto che $0^0 = 1$)
ok... posso chiederti perché?
ovviamente vorrei una spiegazione a partire dalla definizione di potenza...
ovviamente vorrei una spiegazione a partire dalla definizione di potenza...
proprio per come è definita l'operazione di potenza,
in informatica per definire $a^b$ dovresti fare (scrivo in metalinguaggio):
-
input a
input b
risultato = 1
ripeti b volte
risultato=risultato*a
ripeti
output risultato
-
se hai fatto caso, all'inizio ho posto risultato = 1 perché 1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto, ed essendo la potenza un iterazione di prodotti, la prima volta che si effettua il prodotto del numero si deve avere il numero stesso ovvero dobbiamo fare in modo che $a^1 = a$ e l'unico modo per ottenere tale risultato è che la potenza deve essere definita come
$a^b = 1 * a * a * ... * a$, dove $a$ è ripetuto $b$ volte
quindi se si ripete 0 volte il ciclo, QUALUNQUE sia il valore di a (può anche essere $-oo$ o $+oo$) il risultato SARA' SEMPRE UNO
Mega-X
in informatica per definire $a^b$ dovresti fare (scrivo in metalinguaggio):
-
input a
input b
risultato = 1
ripeti b volte
risultato=risultato*a
ripeti
output risultato
-
se hai fatto caso, all'inizio ho posto risultato = 1 perché 1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto, ed essendo la potenza un iterazione di prodotti, la prima volta che si effettua il prodotto del numero si deve avere il numero stesso ovvero dobbiamo fare in modo che $a^1 = a$ e l'unico modo per ottenere tale risultato è che la potenza deve essere definita come
$a^b = 1 * a * a * ... * a$, dove $a$ è ripetuto $b$ volte
quindi se si ripete 0 volte il ciclo, QUALUNQUE sia il valore di a (può anche essere $-oo$ o $+oo$) il risultato SARA' SEMPRE UNO
Mega-X
Io penso che se si dice $0^0=1$, questa sia una convenzione, scelta per ragioni di comodità, un po' come accade per lo $0!$, ma magari mi sbaglio, questa è una mia opinione.
per tipper $0^0ne1$ per tutto ilo resto del mondo.... vedi sopra
per maga X
la definizione di potenza ad esponente INTERO POSITIVO è
$a^b =a * a * ... * a$, dove $a$ è ripetuto $b$ volte
e non $a^b = 1 * a * a * ... * a$
...
né tu né io abbiamo sufficente autorità per cambiarla.
io non ne vedo la necessità, oltretutto.... solo perché a te fa piacere dire che fa 1???
per maga X
la definizione di potenza ad esponente INTERO POSITIVO è
$a^b =a * a * ... * a$, dove $a$ è ripetuto $b$ volte
e non $a^b = 1 * a * a * ... * a$
...
né tu né io abbiamo sufficente autorità per cambiarla.
io non ne vedo la necessità, oltretutto.... solo perché a te fa piacere dire che fa 1???
Definire $0^0=1$ non è una cosa priva di necessità; nessuna definizione in Matematica è inutile, ed anche la definizione di $0^0$ è utile. Per esempio, se io considero lo sviluppo di $e^x=\sum_(k=0)^(+\infty)x^k/(k!)$, quanto fa $e^0$ in base a tale formula? Poi ancora, in Algebra dei polinomi dato un polinomio $p(x)=\sum_(k=0)^n a_k x^k$, come faccio a dire che $p(0)=a_0^$?
Infine voglio solo sottolineare che nessuno in questo topic ha scritto la definizione corretta di potenza che si dà ancora in Teoria degli insiemi, una volta definiti i numeri naturali, e che è la definizione ricorsiva: per ogni $n,m$ naturali si pone $n^0=1$ e $n^m=n*n^(m-1)$ per ogni $m \geq 1$. Questa, a tutt'oggi, è la sola definizione di potenza, da cui discende banalmente che $0^0=1$.
Infine voglio solo sottolineare che nessuno in questo topic ha scritto la definizione corretta di potenza che si dà ancora in Teoria degli insiemi, una volta definiti i numeri naturali, e che è la definizione ricorsiva: per ogni $n,m$ naturali si pone $n^0=1$ e $n^m=n*n^(m-1)$ per ogni $m \geq 1$. Questa, a tutt'oggi, è la sola definizione di potenza, da cui discende banalmente che $0^0=1$.
"Giusepperoma":
per tipper $0^0=1$ per tutto ilo resto del mondo....
Io ho visto che il fatto che $0^0=1$ non e' cosi' scontato, dato che ho incontrato anche $0^0=0$.
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