0^0
Volevo solo far vedere il mio ragionamento per quanto riguarda la forma indeterminata $0^0$:
L'operatore potenza è definito come: $a^b = 1*a*a*a*...*a$ con a ripetuto b volte
all'inizio avrete notato l'1, perchè ho messo l'uno?
perchè noi sappiamo che ogni numero elevato a 0 dovrebbe dare 1, perchè si comincia ad effettuare il prodotto da 1 e non da un altro numero, perchè il numero uno è l'elemento neutro rispetto al prodotto
così anche $n*0$ da $0$ perché l'operatore prodotto è definito: $a*b = 0+a+a+a+a+...+a$ con a ripetuto b volte
quindi non capisco il motivo per cui la gente pensa che $0^0$ non è definito
Qualcuno può darmi qualche chiarimento al riguardo?
Grazie
Mega-X
L'operatore potenza è definito come: $a^b = 1*a*a*a*...*a$ con a ripetuto b volte
all'inizio avrete notato l'1, perchè ho messo l'uno?
perchè noi sappiamo che ogni numero elevato a 0 dovrebbe dare 1, perchè si comincia ad effettuare il prodotto da 1 e non da un altro numero, perchè il numero uno è l'elemento neutro rispetto al prodotto
così anche $n*0$ da $0$ perché l'operatore prodotto è definito: $a*b = 0+a+a+a+a+...+a$ con a ripetuto b volte
quindi non capisco il motivo per cui la gente pensa che $0^0$ non è definito
Qualcuno può darmi qualche chiarimento al riguardo?
Grazie
Mega-X
Risposte
Quello che dici tu probabilmente è una definizione locale che serve solo per evitare casi degeneri. Ad esempio in Teoria della misura secondo Lebesgue spesso per definizione si pone $0 *\infty=0$; questo non contraddice la teoria dei limiti, rende solo più puliti gli enunciati di certi Teoremi di integrazione.
Si', deve essere una questione di convenienza, dettata dall'ambito dove si usa $0^0$. Era per dire, che' $0^0=1$ non e' proprio per tutto il mondo, come ha detto Giusepperoma.
Non mi pare che Giusepperoma avesse voluto dire che $0^0=1$, per tutto il mondo, anzi...
"Crook":
... io ho visto che il fatto che $0^0=1$ non e' cosi' scontato, dato che ho incontrato anche $0^0=0$...
Al riguardo posso citare un mia personale esperienza. Circa una ventina di anni fà, allorchè ero membro del comitato tecnico europeo che ha steso le specifiche del sistema di telefonia cellulare GSM, mi venne chiesto dal chairman di dimostrare quantitativamente la validità di una soluzione da me suggerita. Al momento di accettare la 'sfida' ero abbastanza fiducioso poichè avevo a suo tempo composto un programma per computer che girava su UNIX HP proprio per affrontare quel tipo di problemi e di cui, avendolo sperimentato più volte con successo, ero 'supersicuro'. Il programma conteneva tra le altre cose la nota formula che da la probabilità di $k$ eventi in $n$ prove in funzione della probabilità $p$ del singolo evento...
$P_(k,n)= ((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)$ (1)
... in cui le...
$((n),(k))= (n*(n-1)*...*(n-k+1))/(k!)$ (2)
... sono i ben noti 'coefficienti binomiali'. La formula (1) non era mai stata 'messa alla prova' con $p=0$, nel qual caso è ovviamente...
$P_(k,n) = 0$ per $k>0$, $=1$ per $k=0$ (3)
E' immediato osservando la (1) che per conseguire il risultato 'esatto' nel caso $p=0$ è necessario che il termine $p^k=0^0$ sia uguale ad $1$ [come deve essere...] e non un altro numero, magari $0$. Per farla breve accadde che il programma da me ritenuto 'supersicuro' andò in buca facendomi correre il rischio di perdere la faccia di fronte ai 'colleghi' del GSM. I risultati della simulazione erano manifestamente errati anche ad uno sguardo superficiale. Altro non restava che scoprire dove stava il 'baco' e per far questo mi ridussi a far girare il programma 'step by step', ossia instruzione dopo istruzione. Periodicamente arrivavo al punto dove bisognava calcolare la formula in questione e ogni volta mi veniva fornito il risultato 'esatto'... fino a che... fino a che ad un certo momento il luogo del valore assai prossimo ad $1$ che mi attendevo saltava fuori inaspettamente uno $0$. Controllando il dato di ingresso scoprivo che era $p=0$... mi sono detto: possibile?... poi di colpo intuivo che il 'baco' che andavo cercando disperatamente non era nel programma ma era nel computer!... editando alla tastiera $0^0$ infatti compariva sullo schermo... un bello $0$!...
Inutile dire quanto fossi 'sollevato' dalla 'scoperta' che avevo appena fatto, in quanto con una banale modifica al programma tutto riprendeva a girare. Il 'bello' della vicenda doveva però ancora venire. Allorchè ebbi occasione di parlare con rappresentante della Hewlett Packard gli chiesi senza tanti preamboli come mai una macchina di calcolo del valore di 150 milioni di lire [di allora...] 'sbagliasse i conti' in maniera così grossolana. Il rappresentante, preso atto della cosa, promise che ne avrenbbe parlato con la direzione di Palo Alto. Neache una settimana dopo mi telefonò per dirmi che a Palo Alto il 'baco' era noto già da alcuni mesi e si era provveduto a fare una 'bonifica' su tutte le macchine in circolazione. Inutile dire che da vent'anni tutte le macchine da calcolo, anche quelle da due soldi, forniscono $0^0=1$. Per vedere un altro 'baco' di questo genere dovrò attendere qualche anno, allorchè si scoprirà che i primi esemplari di Pentium messi frettolosamente sul mercato... sbagliavano a fare le divisioni...
La 'storiella' che vi ho raccontato dovrebbe dissipare ogni dubbio... o no?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"Crook":
[quote="Giusepperoma"]per tipper $0^0=1$ per tutto ilo resto del mondo....
[/quote]
scusa... era un tragico errore di battitura! che ho provvedutro a correggere solo ora...
Ora non capisco io; io dicevo che per convenzione si è definito $0^0=1$... Poi, sbagliando, dicevo che questa convenzione nasce da una sorta di comodità...
per la Matematica ufficiale
$0^0$ non è definita.... poi qui qualcuno ritiene la cosa sbagliata.... io nel mio piccolo mi limito a riportare le cose così come sono e a fornire una spiegazione del perché lo siano...
$0^0$ non è definita.... poi qui qualcuno ritiene la cosa sbagliata.... io nel mio piccolo mi limito a riportare le cose così come sono e a fornire una spiegazione del perché lo siano...
Allora ho frainteso il significato del messaggio che hai modificato, pardon. (non intendevo ancora discutere il valore di $0^0$)
ottimo, mi sono stufato anch'io 
No Giusepperoma, ti sbagli, per la Matematica ufficiale $0^0$ per definizione si pone $1$, che piaccia o no, oggi la definizione è questa. La definizione ufficiale di potenza che ho dato sopra la trovi come definizione standard nei testi di Analisi Matematica. Invero, dimmi se esiste un testo di Analisi nel quale non leggi che $e^x=\sum_(k=0)^(+\infty) x^k/(k!)$; se non definisci $0^0$ tale uguaglianza non è ben posta, e come essa tante altre.
Ha ragione Luca, quello che è vero riguardo
i limiti è che se $f(x)->0$ e $g(x)->0$, non è vero
che $(f(x))^(g(x)) ->0^0 =1$.
i limiti è che se $f(x)->0$ e $g(x)->0$, non è vero
che $(f(x))^(g(x)) ->0^0 =1$.
Infatti, secondo me è opinione comune, ma errata, che definire $0^0$ sia "pericoloso" proprio perchè pare che contraddice il fatto che nei limiti esiste una forma indeterminata denotata con $0^0$.
http://matematica.uni-bocconi.it/losape ... teche1.htm
E' la prima cosa che esce con Google scrivendo "zero alla zero".
E' la prima cosa che esce con Google scrivendo "zero alla zero".
E' interessante, va da sè che da bravo analista anche io ho riportato la motivazione "serie di Taylor".
Da profano quale sono, e da analista quale non sono, posso dire che a me è piaciuta questa motivazione:
"Sergio Invernizzi":
In quanti modi si possono mettere 0 biglie in 0 scatole: in 1 modo, nel modo vuoto.
"Tipper":[/quote]
Da profano quale sono, e da analista quale non sono, posso dire che a me è piaciuta questa motivazione:
[quote="Sergio Invernizzi"]In quanti modi si possono mettere 0 biglie in 0 scatole: in 1 modo, nel modo vuoto.
Si', carina, ma in questo modo diventa solo semantica, non matematica. La motivazione di Taylor, in Analisi, non fa una piega, pero'.
Per dimostrare in maniera incontrovertibile che la quantità $c=0^0$ non può assumere valori diversi da $c=1$ senza far crollare le basi stesse della Matematica penso non sia necessario invocare l'Analisi, tanto più che qui siamo in una spazio dedicato alle scuole medie e superiori. In effetti già nell'algebra di base è necessario definire univocamente $0^0$ e la dimostrazione di ciò è data dal 'vecchio' ma sempre attuale sviluppo binomiale...
$(a+b)^n = a^n*b^0+n*a^(n-1)*b+(n*(n-1))/(2!)*a^(n-2)*b^2+(n*(n-1)*(n-2))/(3!)*a^(n-3)*b^3+... =$
$= ((n),(0))*a^n*b^0+((n),(1))*a^(n-1)*b+((n),(2))*a^(n-2)*b^2+((n),(3))*a^(n-3)*b^3+...$ (1)
E' da rimarcare la validità veramente 'assoluta' della formula, nel senso che è valida qualunque siano $a$,$b$ ed $n$, interi, reali o anche complessi. In particolare per $n=0$ la (1) diviene...
$(a+b)^0 = a^0*b^0=1$ (2)
Da notare che la (2) vale per $a$ e $b$ qualunque, in particolare anche nel caso $b=-a$. Chiarisco che non sono un insegnante e pertanto il mio parere ha valore esclusivamente 'personale'. Precisato ciò ritengo che nei testi delle scuole medie e superiori dovrebbe essere specificato in maniera chiara che per ogni numero $c$ intero,relativo, razionale, reale o complesso è univocamente $c^0=1$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$(a+b)^n = a^n*b^0+n*a^(n-1)*b+(n*(n-1))/(2!)*a^(n-2)*b^2+(n*(n-1)*(n-2))/(3!)*a^(n-3)*b^3+... =$
$= ((n),(0))*a^n*b^0+((n),(1))*a^(n-1)*b+((n),(2))*a^(n-2)*b^2+((n),(3))*a^(n-3)*b^3+...$ (1)
E' da rimarcare la validità veramente 'assoluta' della formula, nel senso che è valida qualunque siano $a$,$b$ ed $n$, interi, reali o anche complessi. In particolare per $n=0$ la (1) diviene...
$(a+b)^0 = a^0*b^0=1$ (2)
Da notare che la (2) vale per $a$ e $b$ qualunque, in particolare anche nel caso $b=-a$. Chiarisco che non sono un insegnante e pertanto il mio parere ha valore esclusivamente 'personale'. Precisato ciò ritengo che nei testi delle scuole medie e superiori dovrebbe essere specificato in maniera chiara che per ogni numero $c$ intero,relativo, razionale, reale o complesso è univocamente $c^0=1$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
grazie a Luca ho scoperto che la faccenda è tutt'altro che chiara....
ma io continuo a preeferire (personalmente) ritenere $0^0$ non definito. se poi, in alcuni casi si ottengono risultati congrui alla definizione $0^0=1$ che c'è di male?
insomma, restando su argomentazioni elementari (che secondo me sono le migliori), si osserva facilmente che:
a) $x^0=1$ per quasi ogni x, da cui la tentazione (più che legittima) di generalizzare anche per $x=0$
b) $0^x=0$ per quasi ogni x, da cui la tentazione (più che legittima) di generalizzare anche per $x=0$
solo che generalizzado, nel primo caso si verrebbe a definire $0^0=1$ e nel secondo caso $0^0=0$!!!
ora io non credo che sia giusto scegliere il primo piuttosto che il secondo solo perché così facendo si ottengono risultati congrui in alcuni casi... casi che non perderebbero la loro importanza o il loro valore se si escludesse questo particolare caso.
ma io continuo a preeferire (personalmente) ritenere $0^0$ non definito. se poi, in alcuni casi si ottengono risultati congrui alla definizione $0^0=1$ che c'è di male?
insomma, restando su argomentazioni elementari (che secondo me sono le migliori), si osserva facilmente che:
a) $x^0=1$ per quasi ogni x, da cui la tentazione (più che legittima) di generalizzare anche per $x=0$
b) $0^x=0$ per quasi ogni x, da cui la tentazione (più che legittima) di generalizzare anche per $x=0$
solo che generalizzado, nel primo caso si verrebbe a definire $0^0=1$ e nel secondo caso $0^0=0$!!!
ora io non credo che sia giusto scegliere il primo piuttosto che il secondo solo perché così facendo si ottengono risultati congrui in alcuni casi... casi che non perderebbero la loro importanza o il loro valore se si escludesse questo particolare caso.
Le ’argomentazioni elementari’ sono sicuramente ‘le migliori’… a condizione che obbediscano alle regole della ‘logica elementare’…
Quando si parte dal ‘presupposto’ che il valore $0^0$ debba essere ottenuto ‘per forza’ [nel senso che non esiste altra maniera per ottenerlo…] come ‘estensione’ di una delle due funzioni $x^0$ ovvero $0^x$ si commette un errore di ‘logica elementare’ in quanto, dando luogo tale ‘estensione’ a due risultati diversi a seconda della funzione che si ‘estende’, non si capisce assolutamente quale delle due funzioni sia quella ‘giusta’ e quale quella ‘sbagliata’…
Volendo procedere in maniera ‘elementare’ ma esatta per definire il valore $x=0^0$ [che per il momento consideriamo ‘incognito’ e perciò lo indichiamo con $x$ …] si può benissimo ricorrere alle proprietà ‘basilari’ delle potenze. Una di queste è relativa al prodotto e dice che…
$a^b*a^c=a^(b+c)$ (1)
Benissimo!… nel caso $a=b=c=0$ si ha…
$x^2=0^0*0^0=0^(0+0)=0^0=x$ (2)
… la quale è un’equazione algebrica dei secondo grado che ha per soluzioni $x=0$ e $x=1$…
Un’altra proprietà delle potenze è relativa all'inverso di una potenza e dice che…
$1/a^b= a^(-b)$ (3)
Benissimo!… nel caso $a=b=0$ si ha…
$1/x=1/(0^0)=0^(-0)=0^0=x$ (4)
… la quale è un’equazione algebrica di secondo grado che ha per soluzioni $x=1$ e $x=-1$...
Se dunque per rispettare la regola del prodotto deve essere $x=0$ o $x=1$ e per rispettare la regola dell'inverso deve essere $x=1$ o $x=-1$, qual è la $x$ che ‘rispetta’ entrambe le regole?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Quando si parte dal ‘presupposto’ che il valore $0^0$ debba essere ottenuto ‘per forza’ [nel senso che non esiste altra maniera per ottenerlo…] come ‘estensione’ di una delle due funzioni $x^0$ ovvero $0^x$ si commette un errore di ‘logica elementare’ in quanto, dando luogo tale ‘estensione’ a due risultati diversi a seconda della funzione che si ‘estende’, non si capisce assolutamente quale delle due funzioni sia quella ‘giusta’ e quale quella ‘sbagliata’…
Volendo procedere in maniera ‘elementare’ ma esatta per definire il valore $x=0^0$ [che per il momento consideriamo ‘incognito’ e perciò lo indichiamo con $x$ …] si può benissimo ricorrere alle proprietà ‘basilari’ delle potenze. Una di queste è relativa al prodotto e dice che…
$a^b*a^c=a^(b+c)$ (1)
Benissimo!… nel caso $a=b=c=0$ si ha…
$x^2=0^0*0^0=0^(0+0)=0^0=x$ (2)
… la quale è un’equazione algebrica dei secondo grado che ha per soluzioni $x=0$ e $x=1$…
Un’altra proprietà delle potenze è relativa all'inverso di una potenza e dice che…
$1/a^b= a^(-b)$ (3)
Benissimo!… nel caso $a=b=0$ si ha…
$1/x=1/(0^0)=0^(-0)=0^0=x$ (4)
… la quale è un’equazione algebrica di secondo grado che ha per soluzioni $x=1$ e $x=-1$...
Se dunque per rispettare la regola del prodotto deve essere $x=0$ o $x=1$ e per rispettare la regola dell'inverso deve essere $x=1$ o $x=-1$, qual è la $x$ che ‘rispetta’ entrambe le regole?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
carina l'idea! E' tua?
ma in realtà la proprietà
$1/a^b=a^(-b)$
vale solo se $ane0$!!!
ma in realtà la proprietà
$1/a^b=a^(-b)$
vale solo se $ane0$!!!
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